六年级数学下册期中复习数形结合思想专项教案

六年级数学下册期中复习数形结合思想专项教案

一、教学背景与设计理念

（一）教学内容分析

本节课是针对六年级下学期期中考试前，以“数形结合”思想为核心组织的一节专题复习课。内容涵盖本学期前半段所学的核心知识点，包括负数、百分数（二）、圆柱与圆锥、比例等。通过将抽象的数学概念、数量关系与直观的图形、模型相结合，帮助学生构建知识网络，深化对核心概念的理解，提升综合运用知识解决问题的能力，特别是应对试卷中考查数学思想方法和综合应用能力的题目，即所谓的“B卷”拓展题。

（二）学情分析

六年级学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，但个体差异显著。大部分学生能够掌握基础知识和基本技能，但在面对需要灵活运用数形结合思想解决复杂问题时，往往感到困难，缺乏将抽象问题转化为直观模型的意识和策略。部分学生对知识之间的联系理解不深，存在知识点碎片化现象。因此，本节课旨在通过系统的梳理和典型的例题，引导学生感悟数形结合的价值，掌握其基本方法，提升思维的深刻性和灵活性。

（三）设计理念

依据课程改革理念，本节课以发展学生核心素养为导向，强调数学思想方法的渗透与内化。设计上遵循“问题引领、自主探究、合作交流、归纳提升”的原则。通过创设具有挑战性的问题情境，激发学生思维；引导学生经历“以形助数”和“以数解形”的双向过程，在操作、观察、思考、表达中领悟数形结合的精髓；注重知识的纵向贯通与横向联系，帮助学生构建系统化、结构化的认知体系，从而实现从“学会”到“会学”的转变，为后续学习奠定坚实的基础。

二、教学目标

（一）知识与技能【基础】

1.系统复习负数、百分数、圆柱与圆锥、比例等单元的核心概念，能准确运用相关公式和法则进行计算。

2.理解并掌握数形结合的思想方法，能借助图形直观解释抽象的数量关系，并能将图形中的信息用代数式或方程表示出来。

3.能够熟练运用数形结合的策略，解决期中考试B卷中常见的综合性、探究性问题。

（二）过程与方法【重要】

1.经历用线段图、面积模型、数轴、几何图形等工具表征数学问题的过程，体会“以形助数”的直观性与简洁性。

2.通过对图形中数量关系的分析，经历“以数解形”的过程，发展逻辑推理和代数化思想。

3.在小组合作与交流中，学会倾听、质疑与反思，提升分析问题和解决问题的能力。

（三）情感态度与价值观【基础】

1.感受数学知识之间的内在联系，体会数学的整体性与统一性，激发学习数学的兴趣。

2.在克服困难的探究过程中，培养勇于探索、严谨求实的科学精神。

3.欣赏数学的简洁美与对称美，增强运用数学思想方法解决问题的意识与信心。

三、教学重难点【难点】【高频考点】

（一）教学重点

运用“以形助数”的策略，将抽象的百分数应用题、比例应用题、圆柱与圆锥的体积关系等问题，转化为直观的图形模型，从而找到解题突破口。

（二）教学难点

1.根据问题的具体情境，灵活、准确地选择和构建恰当的图形模型（如线段图、矩形图、数轴、几何体切拼示意图等）。

2.在“以数解形”过程中，能够从复杂的图形中发现隐含的数量关系，并用准确的数学语言（如比、比例、方程）进行表达。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

采用“问题驱动法”、“数形转化法”、“小组合作探究法”。教师作为引导者，通过精心设计的问题串，驱动学生主动思考；学生作为探究者，在画图、看图、析图、算图的活动中，亲历知识的建构过程。

（二）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（PPT），动态演示数形转化过程；设计印制“探究学习单”，包含核心例题与变式练习。

2.学生准备：直尺、圆规、铅笔、橡皮等作图工具；不同颜色的笔，用于标注图形中的关键信息；整理自己在前半学期学习中遇到的难题。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒经验，揭示课题（约5分钟）

1.情境导入：教师呈现一个看似复杂的百分数问题：“某商品先提价20%，再降价20%，现价与原价相比是涨了还是降了？”引导学生独立思考。片刻后，请学生汇报自己的想法，可能会有学生通过计算得出结论。教师追问：“如果不通过繁琐计算，能否直观地看出结果？”引导学生思考能否用一个简单的图形来表示原价、提价部分和降价部分的关系。

2.学生活动：尝试用线段图或长方形条块表示原价和变化过程。学生在学习单上画图，教师巡视并选取典型作品展示。

3.揭示课题：通过学生的图形展示，大家能够直观地看到，降价的20%比提价的20%数量更多（因为是在更高的价格基础上降价），因此现价比原价低。教师总结：这就是用图形来帮助理解数量关系，这种方法我们称之为“数形结合”。它在解决数学问题中有着神奇的力量，也是我们期中考试B卷中考查的重点。今天我们就一起来上一节“数形结合思想”的专题复习课，用这把金钥匙打开更多难题的大门。

（二）以形助数，化抽象为直观【非常重要】【高频考点】（约20分钟）

1.模块一：线段图与分数、百分数应用题

（1）【基础回顾】呈现问题1：“修一条路，第一天修了全长的25%，第二天修了余下的1/3，还剩120米没修。这条路全长多少米？”【重要】

（2）学生自主探究：要求学生在学习单上先用一条线段表示全长，然后根据题意，将线段分段，并在图上清晰地标注出已知条件和所求问题。

（3）合作交流：小组内交流各自的画法。重点讨论：“余下的1/3”是指谁的1/3？如何在图上表示？教师选取有代表性的画法投影展示，引导学生评价哪种画法更清晰、更准确。

（4）列式解答：引导学生观察线段图，发现120米对应的分率是多少。学生根据图意列出算式或方程。如：先求第一天修完后余下的长度：120÷(1-1/3)=180米；再求全长：180÷(1-25%)=240米。或设全长为x米，列方程x-25%x-(1-25%)x×(1/3)=120。

（5）【难点突破】呈现问题2：“甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，相遇时，甲车行的路程比乙车多25%。已知甲车每小时行60千米，乙车每小时行多少千米？”【非常重要】

（6）小组讨论：这里的25%是谁的25%？如何用线段图表示“甲车行的路程比乙车多25%”？引导学生在学习单上画出两车所行路程的关系图。

（7）深度剖析：学生展示画法，多数学生能画出两条线段分别表示甲、乙的路程，并能表示出甲比乙多出的部分相当于乙的25%。教师追问：“从图中你能发现甲与乙的路程比是多少吗？”引导学生得出甲:乙=(1+25%):1=125:100=5:4。

（8）转化求解：教师引导：“在时间相同的情况下，速度比等于什么？”学生得出速度比等于路程比。从而求出乙车速度：60÷5×4=48千米/时。教师强调：此题的关键在于将抽象的百分数关系转化为直观的线段比，进而转化为速度比，体现了数形结合在打通数量关系间的桥梁作用。

2.模块二：面积模型与“和倍”、“差倍”问题【热点】

（1）【基础回顾】呈现问题3：“一个长方形，长和宽的比是3:2，如果将长增加2米，宽不变，新长方形的面积比原来增加18平方米。原来长方形的面积是多少平方米？”

（2）画图建模：引导学生先画出一个长方形，并标出长宽比。然后思考“长增加2米”意味着什么？如何在图上表示“增加的面积”？学生尝试在原图右侧补出一个小长方形来表示增加的部分。

（3）数形转化：观察图形，增加的部分是一个小长方形，其宽就是原长方形的宽，长是2米，面积是18平方米。学生很快能求出原长方形的宽：18÷2=9米。

（4）回归求解：根据原长宽比3:2，且宽为9米，可求出原长：9÷2×3=13.5米。进而求出原面积：13.5×9=121.5平方米。

（5）【思维拓展】呈现问题4：“有甲、乙两个圆柱形容器，底面积之比是4:3。甲容器中水深5厘米，乙容器中水深2厘米。再往两个容器中注入同样多的水，使得水深相等。这时水深多少厘米？”【非常重要】【难点】

（6）小组探究：此问题难度较大，学生一时难以找到切入点。教师引导：“可以用一个矩形来表示水的体积吗？底面积不同，水深不同，如何用图形表示？”引导学生思考，可以将水的体积用“底面积乘以高”来理解，相当于一个“水柱”的体积。我们可以在草稿纸上画出两个粗细不同的长方形（表示底面积不同），高度表示水深。

（7）构建模型：学生尝试画图。甲圆柱画得宽一些（底面积大），初始高度5；乙圆柱画得窄一些（底面积小），初始高度2。现在要往里面加同样多的水，使最后高度相等。这个“同样多的水”如何用图形表示？就是在甲和乙的图上，各自再增加一块高度未知、但体积相等的“水柱”。

（8）数形结合推理：设最后水深为h厘米。那么甲中增加的水的体积为S甲×(h-5)，乙中增加的体积为S乙×(h-2)。因为注入水体积相等，所以S甲×(h-5)=S乙×(h-2)。又知S甲:S乙=4:3，可设S甲=4k，S乙=3k。代入上式得：4k×(h-5)=3k×(h-2)，消去k，得到方程4(h-5)=3(h-2)。解得h=14厘米。

（9）方法总结：此题成功的关键在于，利用长方形面积模型（或体积模型）将抽象的“注入等体积水”转化为直观的“等积变形”问题，再根据图形中隐含的等量关系列出方程。这再次印证了“形”可以帮助我们找到“数”的关系。

（三）以数解形，化模糊为精确（约15分钟）

1.模块三：从几何图形中发现数量关系【重要】

（1）【基础回顾】呈现问题5：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。那么这个圆柱的底面直径与高的比是多少？（π取3.14）

（2）学生独立思考：引导学生回忆圆柱侧面展开图是一个长方形，长是底面周长，宽是高。当展开图是正方形时，意味着底面周长等于高。

（3）数形转化：设底面直径为d，则底面周长为πd。因为高等于底面周长，所以高h=πd。那么底面直径与高的比是d:πd=1:π。

（4）精确计算：若π≈3.14，则比值为1:3.14，化简为100:314=50:157。教师强调：由“形”（正方形）的特征，我们得到了一个精确的“数”（比例关系）的关系。

2.模块四：数轴上的数与形【热点】

（1）呈现问题6：在数轴上，点A、B分别表示数a和b，且|a|>|b|，a×b<0，a+b>0。请判断点A、B在原点的哪一侧，并比较a、b、-a、-b的大小。

（2）合作探究：学生小组讨论。由a×b<0可知a、b异号；由a+b>0可知正数的绝对值较大；再由|a|>|b|可知，绝对值较大的数是a。因此可以推断，a是正数且绝对值大，在原点的右侧；b是负数且绝对值小，在原点的左侧。

（3）画图定位：学生在数轴上大致标出A、B的位置。然后根据对称性，找到表示-a和-b的点。

（4）得出结论：从数轴上的位置可以直观地看出大小关系：-a<b<-b<a。此题完美诠释了借助数轴这个“形”，可以将抽象的绝对值、相反数、有理数加法法则等“数”的关系变得一目了然。

（四）综合应用，挑战B卷【非常重要】【高频考点】（约15分钟）

1.呈现真题（或改编题）：【非常重要】

题目：如图，在一个底面半径是5厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块（完全浸没），水面上升了0.3厘米。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？

（注：课件中呈现圆柱和圆锥的示意图，并动态演示铁块放入后水面上升的过程。）

2.审题与析形：

（1）学生读题，观察课件演示。教师提问：“水面为什么会上升？”（因为铁块占据了水的空间，把水挤上来了）

（2）“上升的这部分水的形状是什么？”（是一个圆柱形）

（3）“上升的这部分水的体积与什么有关？”（等于圆锥形铁块的体积）

3.建立等量关系【基础】：

学生通过讨论明确：V_水上升=V_圆锥

4.以数解形，列式计算：

（1）求上升水的体积：V_水=底面积×高=π×5²×0.3=7.5π立方厘米。

（2）圆锥体积公式：V_圆锥=1/3×底面积×高=1/3×π×3²×h=3πh立方厘米。

（3）根据等量关系列方程：3πh=7.5π。

（4）解方程：两边同时除以π，得3h=7.5，所以h=2.5厘米。

5.变式与拓展【难点】：

教师提问：“如果这个圆锥形铁块是慢慢地从容器中拉出，当它被拉出水面一部分时，水面会如何变化？”引导学生思考，这部分问题可以留待课后探究，为后续学习埋下伏笔。

（五）总结提升，构建体系（约5分钟）

1.学生总结：请学生回顾本节课的复习过程，谈谈自己对“数形结合”思想的新认识。可以用自己的话来说说什么是“以形助数”，什么是“以数解形”。

2.教师提升：数形结合是数学学习中最重要的思想方法之一。华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”【重要】这句话深刻地揭示了数和形之间的辩证关系。在解决数学问题时，我们要有意识地让“数”和“形”携起手来：当遇到抽象的数量关系时，多想一步，能否用图形来帮忙？当面对复杂的几何图形时，多看几眼，里面隐藏着怎样的数量关系？希望同学们在今后的学习中，能主动运用数形结合的思想，让它成为你攻克难题的锐利武器。

3.知识网络构建：教师引导学生将本节课涉及的数与形的结合点进行梳理，形成知识网络。例如：分数、百分数应用题——线段图；比和比例应用题——面积模型、按比例分配图；圆柱圆锥体积关系——几何直观图；负数、数的大小比较——数轴等等。

六、板书设计

六年级数学下册数形结合思想专题复习

一、以形助数（化抽象为直观）

1.线段图：分数、百分数应用题（找分率、对应量）

例：修路问题、行程问题（转化比）

2.面积/体积模型：和倍差倍、等积变形

例：长方形面积变化、圆柱注入等体积水（列方程）

二、以数解形（化模糊为精确）

1.几何图形中的比

例：圆柱侧面展开图（高=底面周长）

2.数轴上的点

例：根据条件判断位置、比较大小

核心思想：数<——>形

（华罗庚：数缺形时少直观，形少数时难入微）

七、作业布置

（一）基础巩固【基础】

完成学习单上的“基础演练”部分，包含2道用线段图解决的百分数应用题和1道用面积模型解决的图形题。

（二）能力提升【重要】

学习单上的“挑战B卷”部分，包含2道综合题，要求学生必须画出分析图，并写出完整的解答过程。

1.一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的