2025京师高中数学建模竞赛押题密卷及官方标准答案

2025京师高中数学建模竞赛押题密卷及官方标准答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在建立人口阻滞增长模型时，若令最大环境容量为K，则Logistic方程dP/dt=rP(1−P/K)中参数r的物理意义是A.瞬时增长率B.环境阻力系数C.初始人口D.稳定人口2.对同一组观测数据分别用y=ae^{bx}与y=ax^b拟合，若决定系数R²相同，则下列说法正确的是A.两种模型预测精度一定相同B.残差平方和一定相等C.两种模型对原始数据线性化后的相关系数相同D.参数a的经济含义相同3.在图论最短路径问题中，Dijkstra算法不能处理的边权情形是A.所有边权为正整数B.存在零权边C.存在负权边D.权值为有理数4.若线性规划标准型为maxz=cx，s.t.Ax=b,x≥0，则对偶问题中约束矩阵为A.AB.A^TC.−AD.A^{-1}5.蒙特卡洛估计定积分∫_0^1f(x)dx时，若f(x)在[0,1]上取值范围为[0,2]，则减小方差最有效的方法是A.增加样本量B.采用重要抽样C.采用对偶变量D.采用控制变量6.在层次分析法中，若判断矩阵A的最大特征值λ_max=8，阶数n=8，则一致性比率CRA.必小于0.1B.必大于0.1C.可能为0D.无法判断7.对时间序列{x_t}建立AR(1)模型x_t=φx_{t−1}+ε_t，若|φ|>1，则序列A.平稳B.非平稳且方差趋于零C.非平稳且方差爆炸D.是随机游走8.在传染病SIR模型中，若基本再生数R0<1，则疾病A.必然灭绝B.必然流行C.形成地方病D.出现周期解9.若用主成分分析降维，前k个主成分累计贡献率等于A.前k个特征值之和除以总特征值之和B.前k个特征值之积C.第k大特征值D.最大特征值的k倍10.对线性回归模型y=Xβ+ε，若Cov(ε)=σ²I，则OLS估计量Var(β̂)=A.σ²(X^TX)^{-1}B.σ²X^{-1}C.σ²ID.σ²X^TX二、填空题（每题2分，共20分）11.用最小二乘法拟合直线y=kx+b，若x̄=3，ȳ=7，Σx_iy_i=150，n=10，Σx_i²=120，则k=____。12.在线性规划灵敏度分析中，若目标系数c_j允许增加量为+∞，则该变量在最优解中____（填“必为零”或“可为正”）。13.若随机变量X~U[0,1]，则P(X≤0.3|X≤0.5)=____。14.对图G=(V,E)，若|V|=20，且G为树，则|E|=____。15.在排队论M/M/1模型中，若到达率λ=8人/小时，服务率μ=10人/小时，则系统空闲概率P0=____。16.若矩阵A=[12;34]，则其行最简形矩阵的秩为____。17.用Euler法求解dy/dt=−y，步长h=0.1，初值y(0)=1，则y(0.2)的近似值为____。18.在灰色预测GM(1,1)中，若发展系数a=−0.3，则系统呈____（填“增长”或“衰减”）趋势。19.若样本相关系数r=−0.9，则解释变量与被解释变量呈____相关。20.对整数规划问题，若松弛最优解为(3.7,2.4)，则加入割平面后，目标函数值____（填“不增”或“不减”）。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.线性规划最优解若存在，则一定在可行域顶点取得。22.若随机变量X,Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)一定成立。23.在图论中，欧拉回路必为哈密顿回路。24.对同一组数据，多项式阶数越高，拟合效果一定越好。25.若时间序列的ACF拖尾、PACF截尾，可初步判定为MA模型。26.对任意方阵A，A与A^T具有相同特征值。27.在整数规划中，分支定界法比穷举法时间复杂度更高。28.若f(x)为凸函数，则其局部极小即为全局极小。29.用指数平滑预测时，平滑系数α越大，对历史数据遗忘越慢。30.对偶问题的对偶是原问题。四、简答题（每题5分，共20分）31.简述建立Logistic人口模型时“环境容量K”的估计思路，并指出两种现实数据获取途径。32.说明在蒙特卡洛模拟中采用“对偶变量法”降低方差的基本原理。33.写出线性规划对偶定理的核心内容，并指出其在经济解释中的意义。34.概述主成分分析中“贡献率”与“累计贡献率”的区别，并说明如何选取主成分个数。五、讨论题（每题5分，共20分）35.某市共享单车的调度成本与用户需求呈现明显时空差异，请构建一个两阶段优化框架：第一阶段预测需求，第二阶段优化调度，并讨论两阶段之间数据接口的关键变量。36.在新冠肺炎疫情预测中，SIR模型假设“均匀混合”受到质疑，请提出两种改进思路并比较其建模复杂度与数据需求。37.某电商平台欲用强化学习动态定价，但库存约束与顾客流失风险并存，请设计状态、动作、奖励三要素，并讨论探索与利用的平衡策略。38.面对“双减”政策背景，某培训机构需转型素质教育，请利用层次分析法给出“课程选择”决策模型，并指出如何构造判断矩阵以降低主观偏差。官方标准答案一、1A2C3C4B5B6C7C8A9A10A二、11.1.512.必为零13.0.614.1915.0.216.217.0.8118.增长19.强负20.不增三、21√22√23×24×25×26√27×28√29×30√四、简答题答案31.先利用历史人口数据作散点图，观察增长率随人口增加而下降的趋势，用非线性回归拟合Logistic曲线反推K；也可通过区域资源承载力指标（水资源、粮食产量）综合计算K。现实途径：1.统计部门历年人口普查与户籍数据；2.卫星遥感估算城市建成区面积与资源上限。32.对偶变量法每次同时生成随机数u与1−u，对应计算两个估计值，利用它们负相关的特性，使方差Var[(X+X′)/2]=1/4[VarX+VarX′+2Cov(X,X′)]中Cov为负，从而整体方差下降。33.对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两者最优目标值相等；若原问题无界，则对偶问题无可行解。经济意义：资源影子价格等于对偶最优解，揭示单位资源增量带来的收益增值，为决策提供边际价值参考。34.贡献率是单个特征值与全部特征值之和的比，表示该主成分解释原始方差的比例；累计贡献率是前k个特征值之和的比，用于衡量降维后信息保留度。选取原则：累计贡献率≥85%或特征值大于1，也可结合碎石图拐点综合判定。五、讨论题答案35.第一阶段以天气、节假日、POI等作特征，用XGBoost预测各区域时段需求；第二阶段以预测需求为输入，建立混合整数规划：目标含调度车辆数与搬运成本，约束含车辆守恒、道路通行、电池电量。关键接口变量：预测需求矩阵、区域间距离矩阵、车辆可用量。36.1.网络模型：将城市划分为社区节点，用通勤网络替代均匀混合，复杂度O(N²)，需手机信令数据；2.年龄分层模型：引入多年龄组接触矩阵，复杂度随组数指数增长，需社会调查数据。前者数据获取易但精度受限，后者精度高却需大规模调查。37.状态：当前库存、时段、价格弹性估计；动作：价格折扣等级；奖励：利润减去库存持有与流失惩罚；