第5章 一元一次方程（15大压轴题型）（解析版）-华东师大版(2024)七下

第5章一元一次方程（15大压轴题型）【经典例题一方程的解】1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可．【详解】解：将代入，得：，解得：，故选：C．2．（23-24七年级下·河南周口·期中）如果是关于x的方程的解，那么．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可．【详解】解：由题意知，，整理得，，∴，故答案为：．3．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）在练习解方程时，作业上有一个方程“”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与时，代数式的值相同”．(1)求当时，代数式的值；(2)求原方程中■的值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）先把所求代数式去括号，然后合并同类项化简，再把代入求值即可；（2）根据（1）所求得到，把带入方程中进行求解即可．【详解】（1）解：，当时，原式；（2）解：由题意得，方程的解为，∴，∴．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元一次方程的解，正确计算出（1）中代数式的值是解题的关键．【经典例题二一元一次方程的定义】4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；其中一元一次方程的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次方程，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此解答即可．【详解】解：①分母中含有未知数，不是整式，故①不符合题意；②，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；③，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；④的未知数的最高次数是2，不符合一元一次方程的定义．故④不符合题意；⑤，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；⑥中含有2个未知数，不符合一元一次方程的定义．故⑥不符合题意．综上所述，一元一次方程的个数是3个．故选：B．5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是关于x的一元一次方程，则．【答案】1【详解】根据题意，得，解得或．因为，所以．综上可知，．6．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是关于的一元一次方程.(1)求的值；(2)先化简，再求的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可；（2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可．【详解】（1）解：由题意，得，∴，又∵，∴，∴；（2）原式，当时，原式．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键．【经典例题三等式的性质】7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列等式变形不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等式的性质逐项判断即可．【解答】解：A、若，两边同时加上1，得，∴A正确；B、若，当时，，∴B不正确,C、若，两边同时乘c，得，∴C正确；D、若，两边同时加上a，得，∴D正确；故选：B．8．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是．（填序号）【答案】②③④【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可．【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确；②如果，那么，故②正确；③如果那么，故③正确；④如果，那么，故④正确．故答案为：②③④．9．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查等式的基本性质，（1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论；（2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论；（3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论；（4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论；解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．【详解】（1）解：两边同时加，得：，两边同时除以，得：；（2）两边同时加，得：，两边同时乘，得：；（3）两边同时减去，得：，即：，两边同时除以，得：；（4）两边同时加，得：，即：，两边同时除以，得：．【经典例题四解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】10．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，理解新定义运算规则是解题的关键．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：当时，，，解得，∵，∴符合题意；当时，，解得，∵，∴不符合题意．∴方程的解为．故选：A．11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则．【答案】或【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解一元一次方程，代数式求值等知识点，根据已知条件推出与的值是解题的关键．根据有意义，可得，进而推出，依据题意可得，于是可得或，然后分类讨论求出与的值，再代入求值即可．【详解】解：∵有意义，∴，∴，依据题意，可得：，∴或，当时，，∵，∴，，不符合题意，∴；当时，，，，不符合题意；当时，，，，当时，解得：，当时，解得：，∴，，∴或，故答案为：或．12．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）已知a，b，c是整数，满足，，求m的值．【答案】或或．【分析】本题主要考查绝对值的非负性及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；由题意可分①当时和当时，然后分类进行求解即可．【详解】解：由且a，b，c是整数，可分：①当时，即，，∵，∴，则有，即，∴，当时，∴，解得：或4（都不符合题意，舍去）；当时，∴，解得：或；②当时，则有，∴，∴或，，当时，则有，化简得：，又分当时，则，解得：，当时，则，所以此种情况不成立；当时，则有，化简得：，由可得，解得：；综上所述：或或．【经典例题五解一元一次方程(二)--去括号】13．（23-24九年级下·重庆·期中）已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法：①若，，，则，，三个数中最大的数是8；②若，，，且，，中最小值为，则或2或；③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了数字的变化类和单项式乘多项式，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出正确的算式和方程．①根据已知条件，列出算式，进行计算，然后比较即可；②根据已知条件，列出方程，解方程，进行解答即可；③根据第一次和第二次操作的结果，找出规律，然后解答即可．【详解】解：①，，，故最大数为8正确，故①符合题意；②由题意知，一次操作得到的结果为，，，∵，∴当最小时，，，解得，，x=2；当最小时，，，解得，，；综上所述，x=2或；故②不符合题意；③，∴；∴∴；同理可求：；，发现，而某一次操作的结果为，，，满足和为，故③符合题意．故选：C．14．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则．【答案】【分析】先求得一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有整数解的情况确定的取值即可.【详解】解：∵，∴，∴，∵关于的一元一次方程有整数解，∴，则，∴或或或，解得故答案为：【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，理解一元一次方程整数解的意义是解题的关键．15．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：．【答案】【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可．【分析】解：当时，原方程可化为：，解得：，不符合题意，舍去；当时，原方程可化为：，解得：，不符合题意，舍去，当时，原方程可化为：，解得：x取的实数；当时，原方程可化为：，解得：．不符合题意，舍去，综上：．【经典例题六解一元一次方程(三)--去分母】16．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列解方程的过程中，变形正确的是（

）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得【答案】D【分析】本题考查了用等式性质变形一元一次方程，熟练掌握等式性质是解题的关键．根据等式性质，即知变形是否正确．【详解】解：A、由，得，所以选项A错误，不符合题意；B、由，得，所以选项B错误，不符合题意；C、由，得，所以选项C错误，不符合题意；D、由去分母，得，所以选项D正确，符合题意．故选：D．17．（2024·重庆九龙坡·二模）任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则；若四位数，满足，，则．【答案】2311986【分析】本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，根据新定义的法则，列出算式以及方程进行计算即可．【详解】解：当时，则：，∴；当时，则：，∵，∴，∴，，∴，解得：，∴；故答案为：231，1986．18．（24-25七年级上·四川成都·期末）计算：；计算：；解方程：；解方程：．【答案】；；；．【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和一元一次方程的解法．有理数混合运算的顺序是先算乘方、再算乘除、最后算加减，如果有括号先算括号里面的；解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．根据有理数的加法法则进行计算即可；根据乘方的定义和有理数乘法法则进行计算，可得：原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算；首先去括号得到：，然后再移项、合并同类项可得：，最后系数化为即可；首先把方程两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母可得：，然后再去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求出方程的解．【详解】解：；解：；解：，去括号：，移项：，合并同类项：，系数化为：；解：去分母：，去括号：，移项得：，合并同类项：，系数化为：．【经典例题七一元一次方程解的综合应用】19．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：．20．（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）设，，当时，的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，得到，即，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案．【详解】解：，，当时，，即，当时，，则，即，解得；当时，，则恒成立，即；当时，，则，即，解得；综上所述，当时，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．21．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、1、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．(1)若，则________；(2)若，求的值；(3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？【答案】(1)(2)的值为或(3)这时点、、表示的数各是，，或13，，13【分析】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．（1）可得点为的中点，即可解答；（2）分三种情况，点在点左侧，点在点右侧，点在点、之间，列方程即可解答；（3）分三种情况，，点在左侧；，点、相遇；，点追上点，在点右侧，列方程即可解答．【详解】（1）解：当时，可得点为的中点，可得，故答案为：；（2）解：∵分3种情况①若点在点左侧∵∴，∴，②若点在点右侧∵∴，∴③若点在点、之间∵∴这与题目条件矛盾∴综上所述的值为或．（3）解：设移动的时间为秒，则动点，，对应的数分别为，，，分三种情况：①，点在左侧∴，∴，此时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．②，点、相遇∴，∴，此时，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：．③，点追上点，在点右侧∴（舍去）；综上所述，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时点、、表示的数各是，，或13，，13．【经典例题八工程问题(一元一次方程的应用)】22．（21-22七年级上·广东广州·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了由一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用七年级完成的工作量八年级完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：，即．故选：．23．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，其中有一个数学问题“今有垣厚一丈，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？”．译文：“有一堵一丈（旧制长度单位，1丈=10尺=100寸）厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．问它们几天可以相逢？”请你用所学数学知识方法给出答案：．【答案】天【分析】算出前四天累计所打的墙厚，得出相逢时间在第四天，设第四天，大老鼠打x尺，小老鼠打尺，得出方程，解出x，从而得出第四天内进行的天数，再加上前3天的时间，即可得出结果.【详解】解：根据题意可得：∵墙厚：1丈=10尺，第一天：大老鼠打1尺，小老鼠打1尺，累计共2尺，第二天：大老鼠打2尺，小老鼠打尺，累计共尺，第三天：大老鼠打4尺，小老鼠打尺，累计共尺，第四天：大老鼠打8尺，小老鼠打尺，累计共尺，故在第四天相逢，设第四天，大老鼠打x尺，小老鼠打尺，则，解得：x=，故第四天进行了天，∴天，答：它们天可以相逢.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题时要理解情景中的意思，仔细算出每一步的量，最后不要忘记加上前三天的时间.24．（24-25七年级上·全国·假期作业）名工人加工一批零件，如果工作小时后，增加名工人，则可提前小时完成任务；如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务，则这批零件有多少个？【答案】个【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划小时完成任务，每个人每小时的原定工作量是个，利用工作总量人数工作效率时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合“如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务”，可求出个人小时按原定工作量可加工的零件数量，再结合原计划完成任务所需的时间，即可求出这批零件的数量，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【详解】解：设原计划小时完成任务，每个人每小时的原定工作量是个，根据题意得，，即，解得，又如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务，个人小时按原定工作量可加工零件个，这批零件共有个，答：这批零件有个．【经典例题九销售盈亏(一元一次方程的应用)】25．（2024七年级上·全国·专题练习）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；如果按原价的九折出售，那么每件盈利20元．这种衬衫的原价是（

）A．160元 B．180元 C．200元 D．220元【答案】C【解析】设这种衬衫的原价是x元．依题意，得，解得．26．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由、、三种水果混合搭配）．其中，甲种水果礼盒每盒装有1千克，3千克，1千克；乙种水果礼盒每盒装有2千克，1千克，2千克．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中，，三种水果的成本之和．已知种水果每千克成本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为：乙种水果礼盒的利润率为．若这两种水果礼盒的总销售利润率达到，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是．（商品的利润率）【答案】/【分析】本题考查一次方程的应用．设销售甲种水果礼盒的数量为，乙种水果礼盒的数量为，先求出1千克和1千克的成本价之和，进而求出乙种水果礼盒每盒的成本价，再根据两种礼盒的总销售利润率达到，列出方程求解即可．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是求出1千克和1千克的成本价之和，找准等量关系，列出方程．【详解】解：∵种水果每千克成本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为，∴1千克和1千克的成本价之和为元，∴甲种水果礼盒每盒的成本价为：元，乙种水果礼盒每盒的成本价为：元，设销售甲种水果礼盒的数量为，乙种水果礼盒的数量为，由题意，得：，∴，∴；故答案为：．27．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．(1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件；(2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？(3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）：方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣．例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）．方案二：原价总和优惠标准不超过300元的部分九折优惠超过300元但不超过600元的部分七折优惠超过600元但不超过900元的部分六折优惠超过900元的部分五折优惠例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款：（元）．已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？【答案】(1)购进A，B两款服装分别为200件、150件(2)B款服装的原售价是378元(3)小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元、1290元【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．（1）设购进A款服装x件，则购进B款服装件，根据用72000元同时购进A、B两款服装共350件，列出方程进行求解即可；（2）设A、B两款服装的原售价分别为元，元，根据10月份售出A，B两款服装共获利40%，列出方程进行求解即可；（3）设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：设购进A款服装x件，则购进B款服装件，由题意得：，解得：，∴，答：购进A，B两款服装分别为200件，150件；（2）解：设A、B两款服装的原售价分别为元，元，由题意得：，解得：，∴（元），（元），答：B款服装的原售价是378元．（3）解：设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，两人组合，一次性购买所有物品，按照方案二实际付款为：（元）．∵，∴两人各自购物实际付款总额为：（元），∵小钟所购物品的原总价高于小依，∴，∴，①当时，，解得：，与矛盾；②当时，，解得：（元），符合题意；此时，（元）；③当时，，解得：（元），符合题意；此时，（元）；答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元，1290元．【经典例题十数字问题(一元一次方程的应用)】28．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案．【详解】解：如图，当，，∴②，∴每一行的和，∵，∴，，∵，∴③，∴，∴，，∴每一行的和为：，∴，①，如图，∴A不符合题意；如图，当时，则②，∴②，∵，∴，∵②，∴②，∴每一行的和为：，∴，，∴①，③，如图，∴C不符合题意；如图，当时，则，∴，∵，∴，∴每一行的和为：，∴，①，③，，②，如图，∴D不符合题意；如图，当时，则每一行的和为：，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴给定的值不能补全图3．故选：B29．（24-25七年级上·重庆·期末）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M各数位上的数字之和为；有一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是．【答案】【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，读懂题意，推导出与是解题的关键．由四位正整数M为“共进退数”推出，由推出，从而解得，，继而得解；由推出N的各位数字，继而表示出与，由N是一个“共进退数”推出，利用是一个平方数推出，从而得到z的值和，从而利用是整数求出x，从而得解．【详解】解：设M的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，则，∵四位正整数M为“共进退数”，∴，又∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，即M各数位上的数字之和为12．∵，即N的千位数字是，百位数字是1，十位数字是y，个位数字是，∴，，又∵N是一个“共进退数”，∴，化简得：，∴，∵，，∴，∴，，又∵是一个平方数，，∴，即，∴，，∵，，∴，，解得：，∴，∴，又∵是整数，∴是7的倍数，∴x=0，，∴．故答案为：12；1125．30．（2024七年级·全国·竞赛）有一个六位数，个位数字是1，它除以3后仍是六位数，只是个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，求这个六位数．【答案】428571【分析】设这个六位数为，根据这个六位数除以3后仍是六位数，个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，得到新六位数为，，列方程计算即得．本题主要考查了一元一次方程的应用——数字问题．熟练掌握列多位数表达式，列方程，是解决问题的关键．【详解】设这个六位数为，则，解得．答：这个六位数是428571．【经典例题十一几何问题(一元一次方程的应用)】31．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（

）A．AD B．DC C．BC D．AB【答案】C【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答．【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；……四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上．故选择C．【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，长方形中，，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为，P，Q点的运动速度分别为/秒，/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使和的面积相等，请写出所有满足条件的t值的．【答案】2.4或或8或【分析】本题考查了旋转的性质和三角形的面积，矩形的性质，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．需分五种情况，根据运动的路径和和的面积相等列出方程，求解即可．【详解】解：由题意进行分类讨论：①当P点在AB上，Q点在上时，，∵与面积相等，∴，解得：；②当P点在AD上，Q点在上时，，要使与面积相等，则，即，解得：（舍去）；③当P点在AD上，Q点在CD上时，，∵与面积相等，∴，解得：；④当P点在CD上，Q点在CD上时，，要使与面积相等，则，即，解得：；⑤当P点在上，Q点在CD上时，，∵与面积相等，∴，解得：；综上，满足条件的t值为或或8或，故答案为：或或8或．33．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点．(1)当时，求的度数；(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；(3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，10，，，40【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键．（1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果；（2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果；（3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可【详解】（1）解：过点E作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）过点F作交于点K，∵，，，∴，∵CF平分，∴，设，，∵，∴则，∵，∴则，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴；（3）由（1）得，，∴，∴，∵CF平分，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，∴，∵绕点顺时针旋转，速度为每秒，∴，当时，如图所示：，∴，解得：；当旋转到如图所示位置时，，，同理得：，解得：；当时，如图所示：，∴，∴，解得：；当旋转到如图所示位置：同理得：，解得：；当时，如图所示：同理得：，解得：；当旋转到如图所示位置：同理得：，解得：（不符合题意，舍去）；综上所述，t的值为，10，，，40．【经典例题十二和差倍分问题(一元一次方程的应用)】34．（2024七年级上·全国·专题练习）父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（

）岁．A．28 B．30 C．32 D．35【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的应用——年龄问题．熟练掌握年龄差不变，是解题的关键．设两年前儿子x岁，则两年前父亲岁，根据父子二人今年年龄之和为40岁，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．【详解】解：设两年前儿子x岁，则两年前父亲岁，由题意得：，解得：，∴，即两年前父亲32岁，故选：C．35．（22-23九年级下·重庆渝中·阶段练习）过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝．【答案】6【分析】设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，求出第一次刷题时阅读题的得分，再依据第二次刷题的题量与得分列出方程求解即可．【详解】解：设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，第一次阅读题平均每题得y分，得分为n分，∵几何题的得分+二次函数的得分=总得分的几何题的得分+阅读题的得分=总得分的∴∴又∴∴第二次刷题几何题、二次函数、阅读题的题量依次为：2a，1.2b，c，几何题每道得分，二次函数每道得分，阅读题每道得分，根据题意得，把代入上式，整理得，解得，∴故答案为：6．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，本题阅读量大，数量关系复杂，弄清数量关系并找到等关系是解答此题的关键．36．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”.已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题：(1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______；(2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______；(3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围．【答案】(1)3或11(2)或或或或或(3)或【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用；（1）设线段的“双倍点”为P，P表示的数为，分两种情况讨论：①点P在A、B之间；②点P在B的右边，根据列方程求解即可；（2）首先由得出，再分三种情况讨论：①点O为线段的“双倍点”；②点A为线段的“双倍点”；③点B为线段的“双倍点”，分别根据“双倍点”的定义列方程求解即可．（3）运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，求出点A和点B的“双倍点”为，为，然后分别求出四种临界情况：当点D到达时；当点C到达时；当点D到达时；当点C到达时；即可得到t的取值范围．【详解】（1）解：设线段的“双倍点”为P，P表示的数为x，①当点P在A、B之间时，∵，∴，解得；②当点P在B的右边时，∵，∴，解得，故答案为：3或11；（2）解：∵，∴，即，，，分三种情况：①如果点O为点的“双倍点”，那么，根据题意可得：或，∴或，∵，∴，或，；②如果点O为点的“双倍点”，那么，根据题意可得：或，∴或（舍去）；③如果点A为点的“双倍点”，那么，∴，∴；④如果点A为点的“双倍点”，那么，∴，∴；⑤如果点B为点的“双倍点”，那么，∴，∴或（舍去）；⑥如果点B为点的“双倍点”，那么，根据题意可得：或，解得：或，∵，∴或；综上可得：a的值是或或或或或，故答案为：或或或或或；（3）解：运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，∵，∴点A和点B的“双倍点”为：或，设点A和点B的“双倍点”的位置是，的位置是，当点D到达时，可得，解得：；当点C到达时，可得，解得：；当点D到达时，可得，解得：；当点C到达时，可得，解得：；∴t的取值范围为：或．【经典例题十三日历问题(一元一次方程的应用)】37．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）2025年1月的月历如下表，表中用阴影框住了9个数，若将阴影框上下左右移动，按照同样的方式可框住九个数，则框住的九个数的和不可能得到的数是（

）A．88 B．97 C．133 D．205【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设阴影框内处于左上方的数为，则框内其它数依次为，所以阴影框内九个数的和为，逐一代入求解即可判断．【详解】解：设阴影框内处于左上方的数为，则框内其它数依次为，所以阴影框内九个数的和为:，令框住的四个数的和为88，则，解得，故选项A不符合题意；令框住的四个数的和为97，则，解得，在2下面第三行最右侧的数字，与2025年1月的月历的位置矛盾，所以框住的九个数的和不可能为97，故选项B符合题意；令框住的四个数的和为133，则，解得，故选项C不符合题意；令框住的四个数的和为205，则，解得．故选项D不符合题意．故选：B．38．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为．【答案】27【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设中间这个数为，则：最小数为，最大数为，根据题意，列出方程进行求解即可．【详解】解：设中间这个数为，则：最小数为，最大数为，由题意，得：，∴，∴最大数为：；故答案为：2739．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图是2024年10月的月历，观察月历，回答问题：(1)小艳国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小艳是星期几出发的？(2)“十型”阴影图形覆盖其中五个方格，设“十型”阴影覆盖的最小数字为x，五个数字之和为S，已知2024年是建国75周年，S的值能否等于75？若能求出x值；若不能，请说明理由．【答案】(1)四(2)S的值能等于75，理由见解析【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用：（1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可；（2）根据月历的特点可得另外四个数为，，，，则解方程得到，据此可得结论．【详解】（1）解：设小明出发的日期是，则另外两天的日期分别是，，根据题意得：，解得：，月日是星期四，小明是星期四出发的；（2）解：S的值能等于75，理由如下：假设S的值能等于75，“十型”阴影覆盖的最小数字为x，“十型”阴影覆盖的另外四个数字分别为，，，，根据题意得：，解得：，月8日是星期二，在第三列，此时能形成“十型”阴影，符合题意，假设成立，即S的值能等于75．【经典例题十四古代问题(一元一次方程的应用)】40．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据两蔓相遇时，长度之和为墙高，列出方程即可．【详解】解：设经过x天两蔓相遇，，由题意，得：；故选A．41．（22-23七年级上·广西柳州·开学考试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成现代汉语就是鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则鸡有只，兔有只．【答案】2312【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设鸡有只，则兔有只，根据下有九十四足，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即鸡的只数），再将其代入中，即可求出兔的只数．【详解】解：设鸡有只，则兔有只，根据题意得：，解得：，，鸡有23只，兔有12只．