第6章 一次方程组（学生版）-华东师大版(2024)七下

思维导图第6章一次方程组思维导图【类型覆盖】类型一、二元一次方程组的整数解【解惑】已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【融会贯通】1．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（

）A．6 B．8 C．10 D．122．已知关于的方程组（1）若方程组的解满足，则．（2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，．3．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：(1)请你直接写出方程的正整数解；(2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为；(3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．类型二、二元一次方程组的整体代入解法【解惑】若方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（

）A． B． C． D．2．关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为．3．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为：．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解．类型三、二元一次方程组的新定义运算【解惑】对于实数，定义新运算：，其中，为常数．已知，，则的值为（）A．14 B．15 C．13 D．11【融会贯通】1．对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（

）A．41 B．42 C．43 D．442．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则．3．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，．(1)求，的值；(2)求关于，的方程的正整数解．类型四、二元一次方程组的规律【解惑】相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9【融会贯通】1．对5个正整数，，，，，作规律探索，①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③以下几个结论正确的是：①取，5个正整数可以为：4，6，8，7，9②F能表示为（m、n为正整数）③若，则一共有8种组合以上结论正确的个数有（

）A．3 B．2 C．1 D．02．观察下列方程组：，，，，，若第方程组满足上述方程组的数字规律，则第方程组的解为．3．小明为了方便探究关于x，y的二元一次方程（）解的规律，把x和y的部分值分别填入如下表，（x的值从左到右依次增大）．x028y107p1(1)p的值为__________（填正确的序号）．①17；②3；③(2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是__________（填正确的序号）．①；②；③，(3)已知关于x，y的二元一次方程（）的部分解如下表所示：x…0…8y…q…13则方程组的解为__________（填正确的序号）①；②；③；④类型五、二元一次方程组的应用——方案问题【解惑】某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格：型号A型B型每只船载客（人）53每只船租金（元）160105(1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？(2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？【融会贯通】1．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满．(1)求七年级师生的总人数；(2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？2．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？3．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）【任务一】拟定裁切方案（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：方案一：裁切靠背板______块和座板______块．方案二：裁切靠背板______块和座板______块．方案三：裁切靠背板______块和座板______块．【任务二】确定搭配数量（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．类型六、二元一次方程组的应用——销售、利润问题【解惑】请根据图中信息，回答下列问题：(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由．【融会贯通】1．某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．类型价格AB进价（元／件）标价（元／件）(1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？2．小明想购买一副羽毛球拍与5盒羽毛球，他发现、两商场的每副羽毛球拍与每盒羽毛球的标价均相同，这两项合计为300元，但他们的售卖方案不同．商场的售卖方案是：顾客每购买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，另外购买的羽毛球则按原价出售．商场的售卖方案是：顾客购买的羽毛球拍与羽毛球均按原价的9折出售．小明发现，他要购买的羽毛球拍与羽毛球在这两家商场应付的钱一样多，问：羽毛球拍与羽毛球的单价分别是多少？3．为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元．(1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？(2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？类型七、二元一次方程组的应用——几何问题【解惑】如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答）【融会贯通】1．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长．2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽．3．如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题．类型八、二元一次方程组的应用——整体思想问题【解惑】[阅读感悟]一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．[解决问题](1)已知二元一次方程组，则___________，___________．(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．【融会贯通】1．数学思想·整体思想

综合与实践【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：．【观察发现】（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；【探索猜想】（2）运用上述方法解下列方程组：．2．阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：(1)已知二元一次方程组，则________，_______；(2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买39支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需多少元？(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．3．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组将②式变形，得③．将①式代入③式，得，解得．将代入①式，得，解得，该二元一次方程组的解为(1)类比“整体代换”法解方程组(2)已知，满足方程组求的值．类型九、二元一次方程组的新定义应用【解惑】定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如．(1)若关于的方程组是“相关倒反方程组”，则，．(2)若关于的方程组可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．【融会贯通】1．中考新考法阅读理解题

新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题：关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值．2．我们定义：若整式与满足：为整数，我们称与为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于的平衡整式．(1)若与为关于的平衡整式，求的值；(2)若与为关于的平衡整式，与为关于的平衡整式，求的值．3．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”，在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为，，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，但，所以1456不是“七巧数”．(1)最大的“七巧数”是，最小的“七巧数”是；(2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值；(3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”．类型十、项目化学习【解惑】项目化学习项目主题：确定最省钱的租车方案项目背景：为迎接“七·一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往武乡革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动．数据收集：①七八年级师生共485人，交通费支出预算为9000元．②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．③下表是该公司租车记录单上的部分信息：租用A型客车数量租用B型客车数量租金总费用323800133600问题解决：利用以上数据完成下列问题．(1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元．(2)该学校本次研学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案．(3)是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案，并说明理由；如果不存在，请计算至少要追加多少预算金额．【融会贯通】1．某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）．请根据图中信息回答下面的问题：(1)放入一个小球水面升高（

）．．

．

．

．(2)若放入大球、小球共个，要使水面上升到，设放入大球个，放入小球个，则下列方程不正确的是（

）．

．．

．(3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是（

）①往烧杯中放入个大球和个小球②往烧杯中放入个大球和个小球⑤往烧杯中放入个大球和个小球④往烧杯中放入个大球和个小球⑤往烧杯中放入个大球．①②④⑤

．②④⑤

．①④⑤

．②③④2．根据素材，完成活动任务：素材一为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成

素材二项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．解决问题任务要求解决办法任务一一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）．方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：任务二基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用．项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．任务三某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率．任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．3．项目式学习如何设计计算油漆用量的方案？素材1小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案．他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆．素材2奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）．示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积．问题解决任务1在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S．________________________任务2得出格点多边形的面积公式根据图2和图3的数据，求常数m，n的值．任务3计算油漆的用量求需要红色油漆多少升？【一览众山小】1．和都是方程的解，则的值是（

）A． B．2 C．3 D．72．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，其卷八方程第十题题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x和y，则可列方程组是（

）A． B． C． D．3．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（）①当时，方程组的解也是的解；②均为正整数的解只有1对；③无论取何值，、的值不可能互为相反数；④若方程组的解满足，则．A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③4．如果，满足方程组，那么的值是．5．如图所示，在长方形中放入个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为．6．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方差数