高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1z二+,2）（a>0）的定义域为D二o

2、二重积分\n（x2+y2）dxdy的符号为。

喇印i

3、由曲线y=lnx与直线x+y=e+l,y=l所围图形的面积用二重积分表

示为，其值为O

4、设曲线L的参数方程表示为厂=叫（aWL）,则弧长元素

y=y/⑴

ds=o

5、设曲面£为/+）/=9介于z=0与z=3间的部分的外侧，则

jj（x2+y2+l）ds=o

6、微分方程电=2+3上的通解为o

axxx

7、方程严-4），=0的通解为o

8、级数Z—的和为_________________o

急〃（〃+1）

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数z=/（x,y）在（X。,光）处可微的充分条件是（）

（A）/（工,），）在5,>0）处连续；

（B）f：（x,y）,在（%,%）的某邻域内存在;

（C）Az-£（%,凡加-/：（.%,）%）△），当而后G7-0时，是无穷小：

（D））2=0。

鼠"+（△）—

2、设〃=加土）+5与其中/具有二阶连续导数，则工典+）,我等于

yx小.dy

(A)x+y；(B)x；(C)y；(D)0°

3、设Q:/+)/+z2«l,zN0,则三重积分/=等于()

n

(A)4Jj"6j；d。J(,$亩°cos(pdr;

(B)JJ可o〃可。/sinfpdr;

，汽工I

(C)Jd0\^d(p\rysin(pcQS(pclr;

(D){J"可："双，sin(pcQS(pdro

4、球面/+）/+z2=4/与柱面/+y2=2”所围成的立体体积V=

(A)心

(B)

(C)8Jj"0j；r14(/一产dr;

(D)心珂:％7^7〃。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数

Pa,y）,Q（x,），）在D上具有一阶连续偏导数，则£Pdx+Qdy=（）

/D、ITSQ3P\」»

（C）喝烹”⑻幅-第叱。

6、下列说法中错误的是（

（A）方程孙和+2）严+炉）,=。是三阶微分方程;

（B）方程y半+工半=ysinx是一阶微分方程;

CIXCIA

（C）方程（r+2肛3）△+（），+3工2y2）dy=0是全微分方程；

（D）方程电/工=区是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲线），=），（幻经过原点，且在原点处的切线与直线2x+），+6=0平

行，而）J）满意微分方程W+5y=（）,则曲线的方程为丁=

()

(A)-exsin2x;(B)ex(sin2.v-cos2x);

(C)ex(cos2x-sin2x);(D)exsin2xo

8、设lim〃〃=0,则yun()

n=l

(A)收敛；(B)发散;(C)不肯定；(D)肯定收敛。

三、求解下列问题(共计15分)

1、（7分）设均为连续可微函数。〃==+

七dudu

*kox，kdy°

2、(8分)设〃(取)=「"/(z)dz,求学当。

Jidxdt

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算/=1时："％，。（7分）

2、计算/=JjJ（x2+y2wv,其中。是由一+）,2=2z,z=l及z=2所围成的空

n

间闭区域（8分）。

五、（13分）计算，/用，其中/是叼面上的任一条无重点且分

段光滑不经过原点。（0,0）的封闭曲线的逆时针方向。

（A）连续且偏导数存在;（B）连续但偏导数不存在;

（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。

2、设〃6），）在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满意

则（）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；

（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；

（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。

3、设平面区域D：@一2）2+（），-1）2"若乙=小工+4加，，2=JJ（x+），）3db

DD

则有（）

（A）7,</2；（B）/,=/2；（C）（D）不能比

4、设。是由曲面z=孙），=x,x=l与z=0所围成的空间区域，则

jjjxy2z3dxdydz=（）

5、设/«），）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为「二8⑺

），=少⑺

（aVY/3），其中奴/）,以，）在①⑶上具有一阶连续导数，且

“2⑺+⑺W0,则曲线积分JJ(x,y)ds

甲⑴）出

(C)/(*),〃"))[o'?⑴+⑴山;(D)(⑴⑴，叭t))dto

6、设E是取外侧的单位球面，+z?=1,则曲面积分

||xdydz+ydzdx+zdxdy-()

E

(A)0；(B)2TI；(C)乃；(D)4乃o

7、下列方程中，设必,)，2是它的解，可以推知必+为也是它的解的方程

是()

(A)y'+〃(x)y+q(x)=0;(B))，〃+p(x)y'+q(_r)y=0;

(C))，"+p(x)y'+q(x)y=f(x);(D)y"+p(x)y'+q(x)=0。

8、设级数为一交织级数，则()

n=\

(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散；①)若0(〃T0),则必收

敛。

三、求解下列问题(共计15分)

1、(8分)求函数〃=ln*+后万)在点A(0,1,0)沿A指向点B(3,

一2,2)

的方向的方向导数。

2、(7分)求函数f(x,y)=/y(4-x-y)在由直线x+y=6,y=0,x=0所围

成的闭区域I)上的最大值和最小值。

四、求解下列问题(共计15分)

dv

1、（7分）计算/=必其中。是由x=0,y=0,z=0与

3

C(1+x+y+z)

x+y+z=l所围成的立体域。

2、（8分）设/（幻为连续函数，定义匹心山⑵+汽炉+严9,

Q

其中。={（”2）|0w2«〃,/+>'2“},求（

五、求解下列问题（15分）

1>（8分）求/=J（/siny-/股）dx+（e'cosy-〃?）"》，其中/是从A（a,0）

经y=y/cLX-x2到0(0,0)的弧。

2、(7分)计算/=jj.r2JyJz+y~dzdx4-z2clxdy,其中£是/+y?=/(O4z4a)

的外侧。

六、（15分）设函数夕（x）具有连续的二阶导数，并使曲线积分

JJ3p'（工）-2双用+xe2x]ycb:+”（工）力与路径无关，求函数（p{x}«

高等数学（下册）试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设〃=「"力，则包二______。

JXMOZ

2、函数/3,〉）=盯+sin（x+2y）在点（0,0）处沿，=（1,2）的方向导数

田(0.0)=--------°

3、设。为曲面Z=l---y2,z=o所围成的立体，假如将三重积分

I=jjjf(xyy,z)dv化为先对z再对y最终对x三次积分，则

n

1=O

4、设/(，")为连续函数，贝lJ/=型-^/“八川乩”,其中

22

Dix+y<Co

5、，+y2)杰=，其中L:/+y2="。

6、设Q是一空间有界区域，其边界曲面8c是由有限块分片光滑的曲

面所组成，假如函数尸(x,)，,z),Q(x,)，,z),R(x,)，,z)在O上具有一阶连

续偏导数，则三重积分与其次型曲面积分之间有关系

式：，该关系式称为

公式。

7、微分方程+9y=/_6工+9的特解可设为

y*=。

8、若级数£与二发散，则〃o

n=i〃

二、选择题(每小题2分，共计16分)

1、设/：(〃,力)存在，则叫'(—A"7向二()

(A)£'(〃,〃)：(B)0；(C)2/：(〃,〃)：(。)；/：(〃,/?)c

2、设2=一，结论正确的是()

(A)--->0；(B)—--=0；

dxdydydxdxdydydx

z\d2zd2z/［、、d2zd2z

(rC)---------<0;(D)---------。0。

dxdydydxdxdydydx

3、若/«)，)为关于4的奇函数，积分域D关于)，轴对称，对称部分记为

D,,D2,/«)，)在I)上连续，则JJ7",)，Wb=(

(A)0；(B)2jjf(x,)，)"cr；(C)4jj/(A,y)da；(D)2JJ/(x,)，)dcr。

设Q：X2+y2+Z2<R2,则川\f+y2)斌ydz二(

55(D)

(A)2做s；(B)-TVR;(C)-TTR;E

5、设在wy面内有一分布着质量的曲线L,在点(x,y)处的线密度为

夕区)，)，则曲线弧上的重心的x坐标［为(

(C)fxp(x,y)ds；(D)x-—［xds,其中M为曲线弧2

JLMJt

的质量。

6、设2为柱面/+y2=］和工=(“=o,z=l在第一卦限所围成部分的外

侧，则曲面积分.y2zdxdy4-xzdydz+x2ydxdz—

(A)0；

7、方程y〃-2y，=.f(x)的特解可设为()

(A)A,若/(x)=l；(B)Aex,若/(x)=e'；

(C)/lx4+Rr3+Cx2+Dx+E,若/(幻二/一2工；

(D)x(Asin5.E+4cos5x),若/(x)=sin5x。

8、设f(x)二尸一］八＜。，则它的Fourier绽开式中的见等于()

1OvxK乃

(A)—|l-(-iri；(B)0；(C)_L；(D)—o

〃乃nrcnn

三、(12分)设y=f(x"),，为由方程F(x,yJ)=0确定的％)，的函数，其

中具有一阶连续偏导数，求％。

四、（8分）在椭圆公+”2=4上求一点，使其到直线21+3），-6=0的距离

最短。

五、（8分）求圆柱面一+），2=2），被锥面和平面z=。割下部分的

面积A。

22

六、（12分）计算/=jjxyzdxdy,其中2为球面/+y+2=1的了20,），之0

£

部分

的外侧。

七、（10分）设也竺2=l+sin、，求/（X）。

tZ（cosx）

八、八0分）将函数f（x）=ln（l+x+/+J）绽开成X的基级数。

高等数学（下册）试卷（四）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、由方程划z+程2++z?=所确定的隐函数z=z（x,y）在点（1,0,

-1）处的全微分dz=

2、椭球面F+2），2+3z?=6在点（1,1,1）处的切平面方程

是o

3、设D是由曲线），=/,y=x+2所围成，则二重积分

/=JJ（1+A：2）dxdy=。

D

4、设Q是由/+J，=4,z=0,z=4所围成的立体域，则三重积分

/=m，+V油尸。

C

5、设E是曲面2=庐万介于z=O,z=l之间的部分，则曲面积分

/=jj（x2+y2）ds-o

£

6、1x2i/.v=o

2222

l1x.^vy4-y^+zz==0a

7、已知曲线y=），（x）上点M（0,4）处的切线垂直于直线1-2），+5=0,且

），（幻满意微分方程），〃+2）/+），=0,则此曲线的方程

是。

8、设f（x）是周期T=2乃的函数，则/（A）的Fourier系数

为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1函数z=arcsin上+的定义域是（）

(A){(%)，)|N<N，xwo}；(B){(式,)，)|国之3，工工()}；

(C){(x,>)|W2y20,xwO}U{(x,y)|x<y<0,x^0};

(D){(x,y)\x>0,y>0}U{(x,y)\x<0,y<0}。

2、己知曲面z=4---劣在点p处的切平面平行于平面2x+2y+z-\=0,

则点P的坐标是()

(A)(1,-1,2)；(B)(-1,1,2)；(C)(1,1,2)；(D)

(-1,-1,2)o

3>若积分域D是由曲线y=/与),=2--所围成，则JJ“X,yjdo■二

D

()

(A)J：阳；/(x,y}dy;(B)J：时；丁)办；

(C)£dyj；:f(x,y)dx;(。)J：'八')')八°

2222

4、设。］：/+)，2+Z2VR2,ZN0；Q2：X+y+Z</?,X>0,>'>0,Z>0,则

有（）

(A)JUxdv=4Jjjxdv;(B)jjjydv=4jj|ydv;

5!

(C)jjjxyzdv=4jjjxyzdv;(D)jjjzdv=4川zdv。

Cin,QiQ,

5、设2为由曲面2=而疗与平面z=l所围成的立体的表面，则曲面

积分JJ，+),)”$二()

I

(A)1^,7；(B)-；(C)—(D)0o

222

6、设E是球面/+)，2+22=/表面外侧，则曲面积分

JJX、dydz+y^dzdx+z3dxdy=()

£

(A)ga3；(B)£江/；(C)/；(D)苧

7、一曲线过点（e,1）,且在此曲线上任一点M（x,y）的法线斜率

&=_」!£,则此曲线方程为（)

x+yinx

(A)y=-4-xIn(ln.r);(B)y=—+x\nx;

ee

(C)y=^x+xln(lnx);(D)y=—+ln(lnx)o

'e

8、基级数£(〃+l)/的收敛区间为()

n-l

(A)(-1,1)；(B)(-00,+00)；(C)(-1,1)；(D)

[T，1]。

三、(10分)已知函数〃(与+空(马，其中/送具有二阶连续导数，

求

+y粤的值。

改dxdy

四、（10分）证明：曲面DZ=C、3（C>0）上随意点处的切平面与三坐标面

所围成立体的体积为肯定值。

五、（14分）求抛物面Z=4+/+y2的切平面万，使得）与该抛物面间

并介于柱面

（X—1）2+）,2=1内部的部分的体积为最小。

六、（10分）计算/=J,（e、si”+y）dr+（e）cosy,其中L为

2

y=-y14-x由A(2,0)至B(—2,0)的那一弧段。

七、（8分）求解微分方程）,〃+上叶=0。

i-y

八、（8分）求幕级数工工的和函数Sa）。

，T〃

高等数学（下册）试卷（五）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设2=/（%,），）是由方程2-丁-工+工6:'7=0所确定的二元函数，则

2、曲线卜2+/+z"3x=O在点（1,1,1）处的切线方程

2x-3y+5z-4=0

是。

3、设Q是由Y+y2+z2w],则三重积分口[*公=o

Q

4、设/⑴为连续函数，〃,〃？是常数且”0,将二次积分

化为定积分

为。

5、曲线积分JPdx+Qdy与积分路径UAB)无关的充要条件

JL(AB)

为o

6、设2为z=y］a2-x2-y2,则

jj(x2+y2+z2)ds=o

£

7、方程<+3)，=小的通解

为o

8、设级数£*收敛，±b„发散，则级数£0+4)必

1=1〃=|〃=1

是O

二、选择题(每小题2分，共计16分)

i、设/a,)，)=7寿’)，在点(o，0)处，

0,(%)，)=(0,0)

下列结论()成立。

(A)有极限，且极限不为0；(B)不连续；

(c)/；(0,0)=/；(0,0)=0；(D)可微。

2、设函数z=/(x,)，)有戛=2,且=/、*,0)=x,则/(工,),)二

办

()

(A)\-xy^y2;(B)1+xy+y2；(C)i-x2y+y2;(D)

\+x2y+y2o

3、设D：1«/+)，244,/在D上连续，则JJVQF+V)如■在极坐标

D

系中等于()

(A)2九，［炉(r)dr;(B)2^^tf(r2\lr;

(C)2万［J『.f(心=J//⑺加；(D)2町］(户"一口/(一)公1。

4、设。是由/=0,），=0/=0与工+2），+2=1所围成，则三重积分

JJJ炉(x,y,z)人=()

(A)J：岗02dzj：'xf(x,y,z)dy;

l-x-2v

(B)tW闷j(f(x,y,z)dz;

-2v

(C)Af(x,y,z)dz;

(D)J'时：d)j；M'(x,y,z)dzo

5、设Z是由％=Qy=0,z=0,x=ly=l,z=l所围立体表面的外侧,则曲面

积分

.xdydz+ydzdx+zdxdy=()

(A)0；(B)1；(03；(D)2o

6、以下四结论正确的是（）

(A)JjJ(x2+y2+z2)dv=—7ras;

片十

(B)jj(x2+y2+z2)js=44aA;

x2^y2^z2=a2

(C)0(x2+y2+z2)dxdy=4乃a4;

/+丁2+/="2外侧

(D)以上三结论均错误。

7、设g（x）具有一阶连续导数，仪0）=1。并设曲线积分

Jyg(x)tanxdx-g(x)dy与积分路径无关，则

JL

J工')'g⑸tanxdx-g(x)dy=()

(A)*(B)-T（D）¥*

8、级数£里二的和等于（）

“■I2

（A）2/3；（B）1/3；（C）1；（D）3/2o

三、求解下列问题（共计15分）

1、（8分）设〃求丝包包。

dxdydz

2、（7分）设〃=八反马，/具有连续偏导数，求八。

yz

四、求解下列问题（共计15分）

1、（8分）计算+小。'）乩7,其中。：/+丁2《正。

2、（7分）计算/=JJJ（x+y+z+l）小，其中C:/+y2+z?M。

Q

五、（15分）确定常数2,使得在右半平面x>0上，

f2D，+），2），公72，+»，2尸山,与积分路径无关，并求其一个原函数

JL

“(1,y)o

六、（8分）将函数/@）=急绽开为”的基级数。

七、（7分）求解方程），"一6），'+9），=0。

高等数学（下册）试卷（六）

一、单选题（共15分，每小题3分）

1.设函数/（A-,y）在P（占,%）的两个偏导£（%,%），4（与，为）都存在，则

)

A./«），）在P连续B./（x,y）在尸可微

C.lim/(x,为)与lim/(%,y)都存在D.lim/(x,y)存在

1%0(*.p)一>(%.”>

2.若2=严,则&等于（).

y,nxInyy,nxIn8.j

A.--------+-------

x)'X

C.ynxln>YZr4-}?ln|n)?^

.3八+3〃y

xXy

3.设。是圆柱面/+）,2=2》与平面z=0,z=l所围成的区域，则

JJJ/Cay，z)aMMz=().

Q

A.Jo2de1："dr//(rcos仇/sin0yz)dz

aJ；°de/"IJ"c°s8,rsinaz)dz

Cdo."Jo，"cos°,〃sin0,z)dz

f打f2cosxf1

D.j""J。MrJ。/(rCOS0,rsin8,z)dz

4.4.若1）”在x=-l处收敛，则此级数在x=2处（）.

0=1

A.条件收敛B.肯定收敛C.发散3.敛散性不能确定

5.曲线「一,了彳在点（L1，2）处的一个切线方向向量为（）.

z=x~+y

A.（-1,3,4）B.（3,-1,4）C.（-1,0,3）D.（3,

0,-1）

二、填空题（共15分，每小题3分）

1.设x+2y-2xyz=0，则

z；（U）=-

2.交换/=「公『"（匕），）内的积分次序后，/=.

3.设u=2xy-z2,则u在点M（2,-1J）处的梯度

为.

4.已知ev=V—，则

5.函数z=V+V_3/_3）；的微小值点是.

三、解答题（共54分，每小题6—7分）

1.（本小题满分6分）设z=yarctan£,求丝，旦.

x&8y

2.（本小题满分6分）求椭球面2/+3），2+z2=9的平行于平面

2x-3），+2z+l=0的切平面方程，并求切点处的法线方程

3.（本小题满分7分）求函数z=f+）,2在点（］,2）处沿向量/=$+争方向

的方向导数。

4.（本小题满分7分）将/«=’绽开成x-3的基级数，并求收敛域。

x

5.（本小题满分7分）求由方程2/+2/+22+8）2-2+8=0所确定的隐函数

z=z（x,y）的极值。

6.（本小题满分7分）“算二重积分

jj（x2+y2。由曲缭=-Jl-y。），=一1,）,=1与x=-2围成.

7.（本小题满分7分）利用格林公式计算（孙2“」/）疝，其中心是圆周

/+/=/（按逆时针方向）.

8.(本小题满分7分)计算“卜心42，其中C是由柱面/+),2=］与平面

z=l,x=O,y=O所围成且在第一卦限内的区域.

四、综合题(共16分，每小题8分)

1.(本小题满分8分)设级数匕，都收敛，证明级数£(〃〃+□)收敛。

n=ln=\/i=l

2.(本小题满分8分)设函数/«)，)在解内具有一阶连续偏导数，且y=2x,

dx

证明曲线积分J/冷心+/(x,)，)4v与路径无关,若对随意的/恒有

(

f02xydx+f(x,y)dy=f0*2xydx+f(xyy)dy,求,f(x,y)的表达式.

J(0.0)J(0,0)

高等数学（下册）试卷（一）参考答案

一、1>当0<。<1时，0</+）,24］；当々>1时，x2+y2>\;

2、负号；3、=%；4、J."（力+“'2（/）4；

D

5^180乃;6、sin—=Cx；

x

xlr2v

7y=GcosV2x+C2sin+Cye+。频-、;8^1；

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

一13"，、

二、1、,r,duxg（x+xy）:

oxcy

2、粤=/（X+，）_/（XT）；~f（x+0+-t）；

dxdt

四、1、J。dx^e~ydy=J（），（）e'dx=ye~y4=；（1一e4）；

2、町"+J：硝砒入苧;

2」

五、令尸=——=则黑Y争（x,y）工（0,0）;

于是①当£所围成的区域D中不含0（0,0）时，磐,孚在D内连续。

dydx

所以由Green公式得：1=0；②当/所围成的区域I）中含0（0,0）时,

当挈在D内除0（0,0）外都连续，此时作曲线广为

dydx

♦+y2=£2（o<£<i）,逆时针方向,并假设「为。与厂所围成区域,

则

+fr=f/-/-+£・G，ee，r公式JJ（孚-黑）否。+f=2兀

六、由所给条件易得:

/(0)=-—=/(0)=0

1-72(0)

/(0+/3)_

lim—O.

又r(x)=]im/C幻

Ax->0AtAi。

二lim1+/(幻/(©)-/(0)

=/，(O)[l+/2«]

AIOi-/(x)f(Ar)AJV

7'3)

即=f(O)

l+/2(x)

/.arctanf(x)=/'(O)•x+c即f(x)=tan"，(O)x+c]

又/(O)=0即c=k兀,kGZ/.f(x)=tan(/r(O)x)

oof2n+l

七、令x—2=r,考虑级数—

M2/1+1

〃

,/lim2+3

2〃+1

当〃<1即M<1时，亦即1―<3时所给级数肯定收敛;

当卜|<1即人>3或人<1时，原级数发散；

R1

当/=_］即X=1时，级数盲㈠严五匕收敛;

当"1即x=3时,级数才(-1)”1收敛;

n=l2n+1

二.级数的半径为R=l,收敛区间为［1,3］o

高等数学(下册)试卷(二)参考答案

一、1、1；2、-1/6：3、J(x,y)公+公;4、'(0);

5^一8万；6、2(x+y+z);7、y"+y1-2y=0；8、0；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8^C；

三、1、函数』=ln(Hz2)在点A(1,0,1)处可微，且

duI

(1.0.1)=1/2；

~dx八x+^y24-z2

du1y-。•

(1,0,1)-u，

8)'Ax+y]y2+z4y2+z?

du

3=1/2

dz

而7=而=(2,-2,1),所以r故在A点沿，=瓦方向导数为:

JJJ

du।L6〃IAJ.I

cos«+—4-cos/y+—A-cos/

dydz

---+0«(--)+--=l/2.

23323

2、由k2二4-飞+泮)=。得口内的驻点为〃⑷)，且心=4,

fY=x-(4-x-2,y)=0

X/(0,y)=0,/(x,0)=0

而当x+y=6,xN0,yNO时，f(x,y)=2.r3-12x2(0<x<6)

令(2/-12/y=0得$=0,々=4

于是相应％=6,.y2=2且/(0,6)=0J(4,2)=-64.

.•./(x,y)在D上的最大值为/(2,1)=4,最小值为/(4,2)=-64.

0<x<I

四、1、。的联立不等式组为Q:OWyWx-l

0<z<l-x-j

所以f:心时:dz

(l++x+y+z)3

1fi13-x.,1._5

=—I(z-----------=—In2-----

2J«x+l4)djc216

2、在柱面坐标系中

=J'T[z2+f(r2)]rdz=2^^[hf(r2)r+^h3r]dr

F⑴

所以

第=24W2)/+!h3t]=2就仃(产)+/]

dt33

五、1、连接扇,由公式得：

/—J/.+J(M-fL+OAJ^TA

G座门公式rr

=JI(e"cosy-e'cosy4-m)clxdy+0

x2+y2Sar,y20

1

=-rn7ui~

8

2、作协助曲面[Mi,上侧,则由Gauss公式得:

工£|£|£+4Z|

川2(x+y+z)dxdydz-jja2dxdy

x2^y2<z2,O<z<a

=2J：dzjjzdxdy-7ra4

xry'v

3,414

=2Tizaz-mi=——Tia

Jo2

六、山题意得：3(p\x)-2(p(x)+xe2x=(pn(x)

即o"(x)-3夕'(x)+2(p(x)=xe2x

特征方程户-3r+2=0,特征根「1,r2=2

x2x

对应齐次方程的通解为：y=c}e+c2e

2x

又因为4=2是特征根。故其特解可设为：y=x(A,K+B)e

代入方程并整理得：从=1B=—l

即)「=gT(r-2jo2"

故所求函数为：e(x)=C£'+c?/'+；x(x-2)e2x

高等数学(下册)试卷(三)参考答案

-■、1、yey:-xex:52、后；3、'f(x,y,z)dz;

4、/(0,0);5、2加%6、jjj(—+^+—)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,

n°”3)'也,XT

Gauss公式；7、Ax2+Bx+C8、P<0o

二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；

8、B

三、由于6=心+,力6"）力，F；dx+F；dy+F；dt=O

由上两式消去口，即得：包JO：

"F；"；F；

四、设6y）为椭圆V+4y2=4上任一点,则该点到直线2x+3y-6=0的距离

为

2

d」6-2=3y|；^L=(6_2x-3v)2+2(x+4/-4),于是由：

Vl3

Lx=-4(6-2X-3V)+2ZV=0

•Ly=-6(6-2x-3y)+82)，=0

22

=x+4y-4=0

得条件驻点：加总令,心(一：,令,%(—1,一］),.%(£,-令

JJJJJJJJ

_|6-2x-3j|._V13

依题意，椭圆到直线肯定有最短距离存在，其中d超

“「13

=2=8

六、将Z分为上半部分々：2=--i一4和下半部分7：Z=-2—y2,

21,，2在面My上的投影域都为：D、y:A-2+）?<l,x>0,>'>0,

于是：Jjxyzdxdy=|j-x2-y2dxdy

工心

极:坐坐标标,必\,I-------------I

=~Psin3cosO-yj}-p~-pdp=——;

0°15

JJxyzdxdy=JJ^(-71-x2-y2)(-dxdy)=2

£,D>r13

七、因为也”义=1=sin2x,即/(cosx)=1+sin?x

(cosx)

所以r(x)=2—x?z.f(x)=2x--xy+c

八、,/f(x)=ln[(l+^)(l+x2)]=ln(l+x)+ln(l+x2)

又ln(1+〃)=之£(-1J]

00(_1\/l-l8(_1\n-l

・•・/(X)=£^—Z—

=Y^—^(\+xn\xe(-l,l]

n=l〃

高等数学（下册）试卷（四）参考答案

153

一、1dx-y/2dy;2、x+2y+3z=6;4、327r；5、——7i\

^02

2,_

6、—mi3;7、y=2(2+x)e~x;

7?

8、a0=—ff(x)—dx；ak=—ff(x)coskxdxk=1,2,…〃，…

7rJY2"」F

网

b=—1rf(x)s\nkxdxk=l,2,…几…

k乃J-尸

二、1、C；2、C；3、A；4、D；5、A；6、B；7、A；8、C

三、♦牛尸(土…-4仁)

oxyxxx

翳二广心-上人+—心+4〃（马

oxyyxxxxxx

)““小

=­1/(一)+—fg(一)

yyxx

鲁“二广口+与①-与心Wg*

dxdyy~yxxxxxx

士/r3~〃6~〃八

dx~dxdy

3

四、设M（Xo，），o，Z0）是曲面F==。上的随意点，JjJlJxoyozo=c,

在该点处的法向量为：

一r3r3r3111

"(理，耳叽=3,…由=(-,-，

于是曲面在“点处的切平面方程为：

—(x-x0)+—(^-y0)+—(z-zo)=0

X。)'oz°

即_L+上+3=1

3/3%3z0

因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

1oa

V=赤。卜13yoi•3z0|=M-yoZol=

o22

这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面Z=4+/+y2,柱面（x—］）2+）,2=i与平面z=0之间的立

体体积为定值，所以只要介于切平面乃，柱面。-