高等数学章节练习题及答案第二章

高等数学章节练习题及答案第二章

1.用定义求函数)，=3x+2的导数.

解(1)求函数增量

△y=/(x+Ax)-/(x)=3(x+Ax)+2-3x-2=3Ax；

(2)算比值

Ay_f(x+At)-/(x)_3Ax_

———3：

Ar©AY

(3)取极限

&-»0Ax

所以八x)=3

2.用定义求函数)，=2/在x=2处的导数.

解(1)求函数增量

△y=/(2+ZLV)-/(2)=2(2+AA)2+2•2?=8Ar+(AA)2；

(2)算比值

△)，8-+3)2…

—=---------=8+Ax；

Avzir

(3)取极限八2)=lim"=8.

6-Av

所以八2)=8

3.设广(%)存在，按照导数定义观察下列极限，指出字母A的含义：

(1)lim…)=A；

At

解Hm"%)-/(,%+些=.T/亿+&)一/(,%)1=:

Ai-*OAv-»O

⑵lim=A.

6->oAx

解]g〃二+(必川-/(玉))(_])=_4

At-M)—Ax

4.求曲线)，=/在工=2的切线方程.

解x=2处切线方程的斜率为大=八2)=3x(2/=12,代入x=2,求得切点坐标为

(2,8).由点斜式求切线方程，y-8=12(x-2),即12A-y-16=0.

5.求曲线y=丁-3x上切线平行x轴的点.

解曲线上任意一点切线斜率2=)，'=3/_3.因为切线平行于x轴，所以)/=0.即

x=±l,因此所求点为(1,-2),(-1,2)

6.求曲线)，=2/在处切线方程.

解在x=l处切线斜率为Z=)，'|I=4%L=4,又当x=l时)，=2,由点斜式切线方程为

y-2=4(X一1),即4x-y-2=0.

7.(1)用定义求函数y=«的导数

解(1)Ay=f(x+2kr)-f(x)=\[x+~Kx-\/x；

竺_/(x+Ax)-/(x)_Jx+Ar-4_]

(2)算比值

AxAA-AXVX+AX+x/x

(3)取极限fM=lim]----L~f==—.

(2)求曲线y=4在x=l处切线方程.

解在x=l处切线斜率为A=)L|=3=|=g,又x=l时,

y=i所以切线方程为

x-2y+l=0.

8.在曲线y=x2上求一点，使得该点处切线平行于y=4x-\.

解曲线y=Y上切线斜率为k=y=2x,因为切线平行于y=4x—l,所以2x=4,x=2,

代回原函数)，=4,即所求点为(2,4).

9.已知物体的运动规律为s=/(m),求

(I)物体在，=2s至/=4s这段时间内的平均速度

(2)物体在，=2s时的瞬时速度.

解(1)三竺=£Z2_=28(%；

N4-2/§

(2):=*=3产|厘=12(%).

作业2.1.2.(1)

一、填空题

1.设函数y=sinx-cosiz,则)，'=.

解y=cosx+0=cosx。

2.设函数y=xtanx,则牛=.

解--Xtanx+x(tnnx)'=tanx+xsec2x.

clx

3.曲线y=xlnx在x=2处切线斜率为.

解k=/|_2=(ln.r+x--)=In2+1.

XK=2

4.如果函数f(幻和g(x)对于区间Q㈤内每个点都有尸(x)=g'(x)，则在区间(。力)内

必有f(x)=_____________

解fM=g(x)+C.

一、解答撅

1求下列函数的导数.

(1)y=f(2+码;(2)y=x3cosx；

5

解y=2x2+x2解y'=3.r2cosx-x3sinx

Inx

(4)y=~

smx

1•,

87_[-sinx-lnxcosx

解y=N-M+i解―厂下一

(sinx)

8-7-5--

y=-X?--X6--X3

363

sin/

(5)u=---------

sinr+cos/

,cosr(sinz+cosr)-sinr(cost-sint)1

解•______________________________—___________

(sin/+cosr)2(sin/+cos/)2

2.求下列函数在给定点的导数.

(1)y=sinx+cosx»在x=0及x处；

解/=cosx-sinx,代入％=0和x=四得尸(0)=)=-1.

22

(2)f(x)=x2+XC0SX-1,在X=F及X=7t处；

解f\x)=2x+cosx-xsinx»代入工=一加和1=兀得(一兀)=一2九一1,/'(兀)=2兀-1

(3)/(x)=/lnx,在x=l处.

解f(x)=3x2lnx+r,代入x=l得⑴=1.

3.曲线)，=^-x在N处切线平行于x轴，求N点的坐标.

解N点处切线斜率k=y，=F_],因为切线平行于x轴，所以&=0.即x=l.所

以N点的坐标(1,-3).

4

4.求曲线y=2V-f在工=1处的切线方程.

解在x=l处的切线斜率为攵=升日=(6寸-2机_「4,又当X=1时)，=1.所求切线方

程为4x—y—3=0

5.求曲线y=W+2sinx在x=0处切线方程.

解在r=0处切线斜率为M=Mr=u=(2x+2cosx)ku=2.又当丫=0时)，=0所求方程为

2.利用微软高级计算器求下列函数的导数.

A+3

(Dy=e；

解利用操作面板在输入窗格输入9(eT(x+3)),点击输入得到)，'=e"3.

dx

⑵)，=声，

解利用操作面板在输入窗格输入L(2f(2xT2-1)),点击输入得到)，'=4xln22Q.

(3)y=e2cos3.r；

解利用操作面板在输入窗格输入"(eT(-%)cos3x),点击输入得

,cos3xe2°~

y=------------3sin3xe-.

•2

(4)y=5v,nr；

解利用操作面板在输入窗格输入—(5t(xln(x)))，点击输入得)，'=5，加，In5•(Inx+1).

dx

<4+1

(5)y=-----

x

解利用操作面板在输入窗格输入且(正亘)，点击输入得)，'=—

dxx2x\/x+1x

(6)y=arctan&.

解利用操作面板在输入窗格输入京”g),点击输入得广忌中

3求函数y=，3日-5在x=3处的导数.

解yr=—^=-/I=-

2x/3^5"I4

4求函数y=1n(l+/)在x=l处的导数.

解八备，几户

I十人

5已知曲线丁=6/71+力在(0,1)切线斜率为2,求4〃

解/=―Z——»当工=0时，—=2,«=4,代入(0,1)徨b=—3

2y/x+l2，停

6.求曲线y=(x+1).行工在(2,3)处的切线方程.

■2[2

解y=^/3n+(x+l)--(3-xp,所以斜率为女=VT^+(x+l)w(3-x)3

33

m2

由点斜式得切线方程为x-y+\=O.

作业2.1.2.(3)

1求下列隐函数的导数.

(1)X2-2.D+9=0；

解两边同时对上求导，2x-2y-2xy=0y*=---.

x

(2)x2+y2-+3x=1；

解两边同时对x求导得2x+2yy'-y-岁'+3=0所以/=—―匕^

x-2y

(3)xev-10+/=0；

解两边同时对x求导得ex+xey-y'+2yy'=0所以),'=-------

xe+2y

(4)x-sin-+tancr=0；

x

,_X2+J'COS—

解两边同时对X求导得l-cos匕包？=0,故)，'=---------

(5)xy=e；

解两功同时对x求导得)，+.*)/=，•V,故V=--—.

e--x

(6)/-盯2=3.

2

解两边同时对x求导得ey-y-y2-x-2y-yf=0,收/=，—

e-2xy

2.求V+9=4在(1,6)处的切线方程.

解由于y=-土，所以曲线在(1,6)处的切线斜率为左=-」，故切线方程为

yV3

x+Gy-4=().

3.利用软件matlab求下列隐函数的导数

(1)tan(x+j)+xy=2x

操作：在命令窗口中输入：

»Dy_dx=maple('implicitdiff(tan(x+y)+x*y=2*x,y,x)')

按Enter键，显示：

Dy_dx=-(-1+tan(x+y)/'2+y)/(1+tan(x+y)A2+x)

n.t，1+lan2(%>')+>'sec2(A)0+y

即y=--------；-------=---------：-------

一l+tarrCyy)+x—l+tan(Ay)+x

222

(2)/+y，=齐.

操作：在命令窗口中输入：

»Dy_dx=maple('implicitdiff(xA(2/3)+yA(2/3)=aA(2/3),y,x)')

按Enter键，显示：

Dy_dx=-yA(l/3)/xA(l/3)

I

即yz=-4.

1.求下列函数的二阶导数

(I)y=x^-2x2+3；

解y*=3x2-4x,y"=6.r-4.

(2))，="+夕”；

解),，=歹—6-)严="+小3

(3)；y=23r

解y=23Aln2-3/=23x(ln2-3)2.

(4)y=2x2+Inx；

解y1=4x+-»),”=4-L

Xx~

(5)y=xex；

解y'=ex+xex=er(l+x),y"=ev(l+x)+ex=ex(2+x).

(6)y=ln(l+x)；

,_]„_T

解)1+/)(l+x)2-

⑺y=(x2+2)lnx：

解y'=2xlnx+'=2x\nx+x+—>y"=2Inx-马+3•

XX'X2

(8)y=x3Inx

解y'=3x2lnx+x2,y*=6xlnx+5x.

2.求下列函数在指定点处的二阶导数

(1)y=f-3/+1,求y"L；

22

解y=4^-9x/=12X-18X,/|t=1=-6.

1“I

(2))'=匚7，求)L-I

解y=—所以)，"|=1.

(l-x)2(I-A-)34

(3))'=.、，求)'L。

解y=er(l+x),y"=e、(2+x)，所以再向=2.

3.利用高级计算器求函数)，=x/，在入=1处的二阶导数.

解利用操作面板在输入窗格输入--r(Ae个(2x)),点击输入得>>*-4工/，十4/、.在输

dx"

入窗格内输入1，点击按钮"store”，在输入窗口显示一>,输入x,点击“输入”，然后双击

功能区内所显示的结果“4-4小”，则显示结果8/.

说明：此操作赋变量x的值为1,结束操作后，应该点击杳看一存储变量，在显示的存

储变量中，清除“x:=l"，否则再输入x,仍然保持赋值的状态.

1将适当的函数填入下列括号，使等式成立.

(1)d()=2公；(2)d()=2xdx；

解d[2x+c)=2cbc；解d(x2+c)=2xdx；

(3)d()=costdt：(4)d[)=-rfv；

x

解d(sint+c)=costdt；解d(Inx+c)=-dx

x

(5)£/ln(l+x2)=()J(l+x2)=()cbc.

2x.,

解“ln(l+/)=(:---.

l+x

2求下列函数的微分

(1))，=,2-5/；

bJTf,—IOx,—5x,

解ay=-]------ax=-------ax：

2x/2-5x2V2-5x2

(2)y=xcosx；

解小=(xcosx+x(cosxy)dx=(cosx-xsinx)dx；

(3)y=ecou；

解av=*J(—csc2©〃r；

x

(4)

.1,(I+x~)—.v,2x.\—x~.

解ay=--------------ax=------ax.

(\+x2y(i+x2)2

3.求函数1y=V在x=2,Ar=0.01时的增量及微分.

解Ay=f(2+0.01)-/(2)=2.012-22=0.041

dy\x=2=2-20.01=0.()4

\v-0.0I

4.函数)，=2/+x-l在％=1处，当AT=0.01时的微分.

解力=(4x+l)办,dy\x=i=0.05

Ai=0.0l

5.利用高级计算器求下列函数的微分

(1)y=Ineos」

x

/、

Aitan(-)

解利用操作面板在输入窗格愉入工(In(cosd))),点击愉入得y'=—多，所以

dxX

tan(—)

dv=——7^-tZr.

x2

解利用操作面板在输入窗格输入—(7t2)，点击输入得

dx7x12+1

，丁2x的a,.A32x、」

y=-----------丁+「----所以内=(---------+-==)dx.

(x2+l)2"〜I，+1户"+1

6求下列由参数方程确定的函数的导数

(x=2+r,

<1)­

y=t\nt.

施dy_(/ln/)fd/_In/+1

辰—(2+『)'(—2t•

,v=tzcosz

⑵:

y=bsini

解空=(bsint)'dt_bcost

dv(acosf)'di-asint

13)卜——

y=3t-\nt

3-1

解曳=(3f-In二-/=3f-l

dv-(一+21)&-3/+2-3-+2f•

，八卜=2/

[4);

y=tef

d>'_(te1)'df_e'+te'

~^~(2e2tYdt~4e21

7.求由参数方程卜=皿“广）在,=]处切线方程.

y=arctant

I

解空=1^e=_1切线斜率为2=_L=_[,又当时，=1时，x=]n2,y=-,由点斜

Ox2/2t2tt=[2-4

1+―

式得切线方程为x-2y+Jn2=0.

J2

一、填空

1.曲线/（"=In3x在区间内是单调增加函数.

解力=（0,+oo）,f（x）=~,所以在（0,+oo）内是单调增加函数

X

2.函数），=x+』的单减区间为.

X

1y,2_|

解。=（-00,0）口（0,一）y=l一一r=土三，当xe（—1,0）50,1）时，/＜0.所以函

x~x~

数,，=%+■!■的单减区间为（-1,0）50,1）.

x

3.设在（。力）内，/（X）可导，且r（X）＞0,JV1＜%2小，刍€（。力），则/（%）-/（再）•

解因为（。）＞0,所以函数单调递增即，又王〈修，所以/（与）＜/（与）.即

/（^）-/（^2）＜0.

二、解答题

I.求下列函数的增区间

(1)fXx)=x(x-2)；

解令r(x)>0得x<0,x>2,所以/(x)在(TO,0)52,位)上单调增加.

(2)r(x)=Cv+l)2(x+2).

解令f\x)>0得x>-2,所以f(x)在(-2,+oc)上单调增加.

2.求下列函数的单调区间.

(1)y=x3+x

解函数的定义域为(70,+OO),

1/=3/+1>0,所以函数在定义域(TO,-KC)上单调递增.

(2)y=x-ln(l+x)；

解函数的定义域为(T,+oo),

/=i一一—,令y=o,得大=o列表得：

'l+x\+x

X(TO)0(0,+x>)

y'—0+

y

从表中可以看出，函数在(-1,0)上单调递减，在区间(o,y)上单调增加

(3)y=xex\

解函数的定义域为(YO,+OO),y'=e，(x+l),令)/=0,得工=-1列表得:

X(-00,-1)-1(-L+00)

y'—0+

yX/

从表中可以看出，函数在(-oo,-1)上单调递减，在区间(-l,+oo)上单调增加

(4)y=2x5+9x2+12x-3

解函数的定义域为(TO,”)，y=6x2+18x+12=6(x+l)(x+2),令y'=0,得

x=T,x=-2列表得:

X(-00,-2)-2(-2,-1)-I㈠什)

yf+0-0+

y//

从表中可以看出，函数在(f,-2)u上单调递增，在区间(-2,-1)上单调递减.

(5)y=(A-l)(x+l)3

解函数的定义域为(YO,+oo),y=(X+1)2(4X-2)令y，=0,得x=1列表得

，'2

X0I”,

y,—0+

y/

从表中可以看出，函数在［8,；)上单调递减，在区间(J,a)上单调增加

(6)y=x2ev

解函数的定义域为(-00,田)，)，'=)，'=2x172"，=x］(27),令)，'=(),得

x=0,x=2歹ll表得：

X(y,o)0(0,2)2(2,-K»)

y-0+0-

y

从表中可以看出，函数在(TO,0)。(2,y)上单调递减，在区间(0,2)上单调增加

(7)y=l(^-3x)

解函数的定义域为(YO,+oo),y'=y1=x2-1,令y，=0,得x=l,x=-l列表得:

X(f-i)-i(Ti)1d,+x)

y+0-0+

y//

从表中可以看出，函数在(YO,-1)。(1,内)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减

一、填空题

1.函数y=f-2%的极小值是.

解y=2(x-i),当“〈I时，)，'<(),当4>1时，y>o.所以有极小值/⑴=一1.

2.函数y=4x+x4的极值点是.

解y=4(i+A3),当人<一1时，y<o,当人)一1时，y>o.所以人=一1是极小值点.

3.r(/)=o是可导函数在点与取得极值的条件.

解若/(x)在点/取得极值，且在该点导数存在，则必有r(x)=O/'(.%)=0是可

o9

导函数在点与取得极值的必要条件.

4.函数)，=ln(.F+1)在卜1,2］上的最大值为.

解令)，'=(),得x=0

\+x

因为/(O)=o,/(-1)=In2,/(2)=ln5,所以最大值为/(2)=5.

二、求下列函数的极值点和极值.

(1)y=，-a+2；

解函数的定义域为(fo,*o)

/=3(x2-1)-2x令y'=0,得x=O,x=±l列表得：

Xm)-1(-1,0)0(0,1)1(L+oo)

y1-0-0+0+

y无极值极小值1无极值

从表中可以看出，函数有极小值为/(0)=1.

(2)y=x-ev

解：函数的定义域为(-co,田)，=e，，令_/=0,得x=0列表得:

X(-oo,0)0(O,-K»)

y+0-

y极大值-1

从表中可以看出，函数有;极大值为/(0)=-1.

(3)/(x)=£-3/十7；

解函数的定义域为(•-OO,-KO),yr=3x2-6x=3x(x-2)令y'=0,得x=0,x=2列表

得：

Xy.o)0(0,2)2(2*)

y1+0-0+

y/极大值7极小值3/

从表中可以看出，函数有极大值为八0)=7,极小值为/(2)=3.

1+x2,

解：函数的定义域为(YD,+00)

2(17-),令)/=0,得入=±1歹|J表得:

(1+/)2

X—)-1(-U)1。，+8)

y-0+0-

y极小值-1/极大值1

从表中可以看出，函数有极，、值为/(-1)二一1,极大俏为/(1)=1.

2

(5)y=3x3-x；

解：函数的定义域为(TO,-KO)

y=,令y=o,得x=8,当x=0时)/不存在.列表得：

Xy,o)0(0,8)8(8,田)

y'-不存在+0