人教版九年级数学下册《位似》单元整体教案

人教版九年级数学下册《位似》单元整体教案

一、单元整体概述

（一）单元内容与定位分析

本单元“位似”隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的变化”主题。它是学生在九年级下册系统学习了图形的相似（包括相似多边形、相似三角形的判定与性质）之后，所接触的一种特殊且重要的图形相似关系。

从知识脉络上看，“位似”是“相似”概念的下位概念，是所有位似图形都是相似图形，但相似图形未必是位似图形。它为核心概念“相似”提供了一个具象化、操作化的理解视角。从学科发展上看，位似变换是几何变换家族（平移、旋转、轴对称、相似）中的重要一员，是一种特殊的相似变换（缩放+定位）。它深刻揭示了图形在保持形状不变的前提下，围绕一个中心点进行放大或缩小的变换本质，是连接初等几何与射影几何的桥梁。

本单元的深层教育价值在于：

1.培养几何直观与空间观念：通过观察、作图、分析位似图形，学生能深化对图形空间位置关系与比例关系的理解。

2.强化数学模型思想与应用意识：位似原理是显微镜、望远镜、投影仪、图形缩放软件等现代科技与生活工具的数学模型。学习位似，即学习如何用数学抽象描述现实世界中的缩放现象。

3.发展逻辑推理能力：探究位似图形的性质、判定以及坐标规律，需要严谨的演绎推理和合情推理。

4.渗透数学文化：位似思想在艺术（透视画法）、天文（星图绘制）、工程（图纸缩放）等领域有着悠久历史，是数学与人文科技交融的典范。

（二）学情分析

认知基础：

1.知识储备：学生已经熟练掌握比例线段、相似多边形的定义与性质、相似三角形的判定定理及应用。具备了基本的尺规作图能力和图形运动（全等变换）的认知。

2.能力水平：九年级学生具备了一定的抽象思维、逻辑推理和合作探究能力，能够进行较为复杂的图形分析与归纳。

潜在困难与障碍：

1.概念理解的抽象性：“位似中心”、“位似比”的概念，尤其是“同侧位似”与“异侧位似”的区分，对学生空间想象能力提出较高要求。

2.作图的精确性与多样性：根据条件（如位似中心、位似比）用尺规绘制位似图形，步骤虽不复杂，但要求学生有极高的作图严谨性；同时，理解位似图形与位似中心相对位置的不确定性（可放大可缩小、可在同侧可在异侧）易造成混淆。

3.坐标规律的迁移：在平面直角坐标系中，探索以原点为位似中心的坐标变换规律相对容易，但迁移到以任意点为位似中心时，思维跨度较大。

教学应对策略：采用“从生活实例到数学抽象，从动手操作到理性归纳，从特殊（原点）到一般（任意点）”的教学路径，充分利用信息技术（GeoGebra等动态几何软件）进行直观演示，化解抽象，突破难点。

（三）单元教学目标

1.知识与技能目标：

1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念。

2.掌握位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行或共线、对应线段成比例）。

3.能够利用尺规或坐标系，根据给定的位似中心和位似比，熟练作出一个多边形的位似图形。

4.掌握在平面直角坐标系中，以原点或任意点为位似中心的位似变换下点的坐标变化规律，并能据此作图。

2.过程与方法目标：

1.经历从生活实物、图片中抽象出位似图形概念的过程，发展数学抽象能力。

2.通过动手画图、软件探究，归纳位似图形的性质与作图方法，体验“观察—猜想—验证—归纳”的数学探究过程。

3.在解决实际问题和跨学科问题（如地图绘制、图像处理）中，建立位似模型，提升应用意识和模型观念。

3.情感、态度与价值观目标：

1.感受位似变换的对称美与规律美，激发几何学习兴趣。

2.体会数学与生活、科技、艺术的紧密联系，认识数学的应用价值和文化价值。

3.在合作探究中养成严谨求实、勇于探索的科学态度。

（四）单元教学重难点

1.教学重点：位似图形的概念与性质；位似图形的作图方法。

2.教学难点：位似概念中“对应点连线交于一点”与相似关系中“对应边成比例”的逻辑关联与区分；平面直角坐标系中以任意点为位似中心的坐标变换规律。

（五）单元整体教学思路（四课时规划）

本单元采用“总-分-总”的建构式教学思路，共设计四课时：

1.课时一（种子课）：位似概念的形成与初步感知。从生活实例出发，抽象共性，数学化定义位似图形与位似中心。核心任务是建立概念表象，辨析位似与相似的包含关系。

2.课时二（生长课）：位似的性质探究与尺规作图。深入探究位似图形的核心性质，并基于性质推导出尺规作图方法。核心任务是实现从“是什么”到“有什么性质”、“怎么画”的思维进阶。

3.课时三（应用课）：位似原理的综合应用与实践。链接生活与科技场景（如视力表、投影、模型制作），解决实际问题。核心任务是深化理解，发展应用能力与模型思想。

4.课时四（拓展课）：坐标系中的位似变换。将位似从“形”的研究过渡到“数”的研究，探索坐标规律，实现形数结合。核心任务是掌握坐标工具，提升思维的普适性和精确性。

（六）教学资源与技术支持

1.主资源：人教版九年级数学下册教材。

2.技术工具：GeoGebra动态几何软件、多媒体投影、实物展台。

3.辅助材料：网格纸、作图工具（尺、规）、精选的生活图片（地图、照片、艺术设计图）、视力表、小孔成像演示仪。

二、分课时教学设计详案

第一课时：走进位似世界——概念的形成与初探

课时目标：

1.能从一组图片和实物中，发现并归纳出位似图形的共同几何特征。

2.能准确叙述位似图形、位似中心、位似比的定义，并辨析位似与全等、相似的关系。

3.能判断两个图形是否位似，并能指出位似中心和估算位似比。

教学重点：位似图形概念的形成过程。

教学难点：对“对应点连线交于一点”这一本质特征的理解。

教学过程：

环节一：创设情境，激疑引趣（预计时间：8分钟）

1.【情境呈现】教师同步展示三组素材：

1.2.组A（自然与科技）：一张树叶与其在阳光下的影子（大小不同，形状相同）；显微镜下细胞图像与显示器上的放大图像。

2.3.组B（艺术与生活）：一张建筑物的照片与同一建筑物不同距离拍摄的另一张照片；一个Logo设计图与其在宣传册上的放大版本。

3.4.组C（互动生成）：请一位学生到讲台前，教师用手机为他拍照，并现场将照片在投影上放大显示。

5.【问题链驱动思考】

1.6.Q1：观察这些每组中的两个图形，它们有什么共同关系？（预设：形状相同，大小不同——相似）。

2.7.Q2：（聚焦组A的影子、组C的投影）这种“相似”关系是如何产生的？图形是通过怎样的“变换”从一种状态到另一种状态的？（引导学生思考“光源”、“镜头”的中心作用）。

3.8.Q3：如果我把每组中的两个图形抽象为几何图形（多边形），并用点将其主要特征点标注出来（例如建筑物的拐角、Logo的顶点），连接两个图形上你认为“对应”的点，猜猜这些连线有什么特点？

9.【技术验证】教师利用GeoGebra，将其中一组图片（如建筑物）抽象为两个相似五边形，并动态连接预设的对应顶点。所有连线清晰地相交于一点（模拟拍摄点/光源）。学生发出惊叹，直观感知特征。

设计意图：从多维度真实情境出发，避免概念的空降。问题链引导学生从“相似”这一旧知出发，向更深层的几何特征迈进。信息技术瞬间验证猜想，将隐含的数学规律可视化，极大激发探究欲。

环节二：操作探究，抽象定义（预计时间：15分钟）

1.【动手实验，收集证据】

1.2.任务：学生两人一组。在学案上，给出两个大小不同的相似三角形ABC和A‘B’C‘，但其位置是任意放置的（非位似）。要求学生尝试移动其中一个三角形（用透明胶片绘制），或通过画线连接对应顶点，探索能否让它们满足“所有对应点连线交于一点”的状态。

2.3.学生活动：尝试移动、旋转、翻转三角形，并画出连接AA‘、BB’、CC‘的直线，观察其交点情况。

4.【对比分析，归纳共性】

1.5.教师选取两组典型作品展示：一组成功使连线交于一点（位似），一组未成功（仅相似）。

2.6.引导学生对比：成功的操作中，两个图形除了相似，还有什么特殊的相对位置关系？

3.7.学生归纳：①图形不仅相似，且对应顶点（点）的连线都经过同一个点O。②这个点O到两个图形对应点的距离成比例。

8.【提炼语言，形成概念】

1.9.教师引领学生用数学语言描述上述发现，逐步给出严谨定义：

1.2.10.位似图形：如果两个相似多边形对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形。

2.3.11.位似中心：这个交点叫做位似中心。

3.4.12.位似比：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，这个比值称为位似比。

5.13.概念辨析：强调定义中的两个关键条件：“对应点连线交于一点”和“相似”。缺一不可。利用反例（仅相似但对应点连线不共点）巩固理解。

设计意图：概念不是被告知的，而是被发现的。通过动手操作，让学生亲历从一般相似图形中“筛选”出具有特殊位置关系的位似图形的过程。对比分析深化了对本质特征“共点”的认识。从操作经验到数学语言的转化，是数学抽象的关键一步。

环节三：剖析深化，构建联系（预计时间：12分钟）

1.【关系网络构建】教师引导学生用韦恩图或层级图表示位似、相似、全等、全等变换（平移、旋转、轴对称）之间的关系。

1.2.全等是相似比为1的相似。

2.3.位似是具备特殊位置关系（共点且对应边平行）的相似。

3.4.全等变换是位似比为1的位似变换的特例（此时位似中心在无穷远处？可做趣味引申，但不做要求）。

4.5.结论：全等⊂位似⊂相似。

6.【概念辨析练习】

1.7.判断下列说法是否正确，并说明理由：

1.2.8.任意两个正方形都是位似图形。（错，位置不确定）

2.3.9.任意两个等边三角形都是位似图形。（错）

3.4.10.位似图形一定是相似图形。（对）

4.5.11.相似图形一定是位似图形。（错）

5.6.12.全等图形是位似比为1的位似图形。（对，需指明位似中心的位置）

13.【寻找位似中心与位似比】

1.14.给出几组明确是位似的图形（网格图或精确几何图），要求学生：

1.2.15.用直尺延长对应点连线，找出位似中心O。

2.3.16.测量并计算位似比k=OA‘/OA。

3.4.17.观察：位似比k>1，图形是放大还是缩小？0<k<1呢？

设计意图：构建知识网络，使学生将新概念“位似”精准锚定在已有的“图形关系”认知结构中，防止概念孤立。辨析练习从正反两面打磨概念理解。实操寻找位似中心和计算位似比，是对概念的初步应用，并为下一课时学习性质埋下伏笔。

环节四：小结展望，布置任务（预计时间：5分钟）

1.【学生自主小结】邀请学生用“我今天学到了…”、“我认识到…的关键是…”等句式分享收获。

2.【教师升华】位似，是图形世界一种优雅的“分身术”与“缩放术”。它用一个点（位似中心）和一个比例（位似比），就规定了图形放大缩小的全部规则。下节课，我们将解锁这位“缩放师”的更多秘密：它有哪些不变的性质？我们如何成为掌控规则的“设计师”，亲手画出位似图形？

3.【分层作业】

1.4.基础性作业：教材课后练习，巩固概念判断。

2.5.实践性作业：在家中或校园里，寻找一对你认为可能是位似关系的物体或图案，拍照并尝试说明（如：同一盏灯下的两个手影）。

3.6.预习性作业：思考：已知△ABC和位似中心O，位似比2:1，如何画出放大的△A‘B’C‘？把你的想法用草图表示出来。

第二课时：解密位似法则——性质探究与尺规作图

课时目标：

1.探究并证明位似图形的核心性质。

2.掌握利用位似中心与位似比进行尺规作图的方法。

3.能区分“同侧位似”与“异侧位似”，理解位似图形的不唯一性。

教学重点：位似性质的探究与尺规作图方法。

教学难点：位似作图原理的理解及其多种情形的讨论。

教学过程：

环节一：温故引新，提出猜想（预计时间：7分钟）

1.【复习回顾】快速问答：什么是位似图形？位似中心有何特征？位似比与相似比的关系？

2.【聚焦问题】上节课我们学会了“识别”位似。本节课我们要成为“创造者”。核心问题：已知一个多边形和位似中心O，以及位似比k，如何作出它的位似图形？

3.【猜想性质】要解决作图问题，必须先知道位似图形有哪些确定的性质可供我们利用。结合定义和上节课的观察，猜想位似图形有哪些性质？（学生可能提出：对应角相等；对应边成比例；对应点连线过O点；对应边平行……）

设计意图：从“识别”到“创造”，明确本课核心任务，激发挑战欲。将作图问题前置，驱动学生主动思考作图所需的“理论依据”（性质），使性质探究目的明确。

环节二：合作探究，验证性质（预计时间：15分钟）

1.【实验验证】学生四人一组，利用GeoGebra软件。教师提供共享文件，内含动态三角形ABC、一点O及可调节的滑动条k（位似比）。

1.2.任务一：构造点A‘，使得O、A、A’共线，且OA‘=k*OA（软件直接输入关系式）。同理构造B‘、C’。

2.3.任务二：连接A‘B’、B‘C’、C‘A’，形成△A‘B’C‘。拖动原三角形或点O，改变k值，动态观察。

3.4.任务三：在实验报告单上记录并验证以下猜想：

1.4.5.性质1：对应点连线AA‘，BB’，CC‘是否恒交于一点O？`

2.5.6.性质2：△ABC与△A‘B’C‘是否恒相似？相似比是多少？

3.6.7.性质3：对应边AB与A‘B’，BC与B‘C’，CA与C‘A’的位置关系如何？（平行）

4.7.8.性质4：测量OA‘/OA，OB’/OB，OC‘/OC，它们与k值的关系？

9.【归纳与证明】

1.10.各组汇报发现，师生共同归纳位似图形的核心性质：

1.2.11.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（k）。

2.3.12.位似图形的对应线段平行（或在同一直线上）。

3.4.13.位似图形是相似图形，位似比等于相似比。

5.14.教师引导对性质2进行简明的几何证明（利用性质1及相似三角形判定）。

设计意图：信息技术使动态、精确、高效的探究成为可能。学生通过操作-观察-记录-归纳，亲身经历数学性质的“再发现”过程。证明环节将实验发现的确定性上升为逻辑的必然性，培养推理能力。

环节三：基于性质，掌握作图（预计时间：18分钟）

1.【原理分析】教师引导：现在，我们有了“武器”（性质）。如何只用尺规，实现GeoGebra中的构造过程？关键是利用性质1：要作点A的对应点A‘，必须保证O、A、A’三点共线，且OA‘/OA=k。

2.【示范讲解：同侧位似（放大）】

1.3.已知：△ABC，位似中心O在形外，位似比k=2。

2.4.作法示范与原理阐述：

1.3.5.步骤1：连接OA，并延长。

2.4.6.步骤2：如何截取OA‘=2OA？引导学生回忆平行线分线段成比例的推论。过点A作辅助线，利用尺规构造出2倍OA的长度。更通用的方法是：在OA延长线上，以O为圆心，无法直接量取？引出关键技巧——在射线OA上，利用另一条通过O点的射线和比例刻度来转移比例。但最直接的尺规方法是：在OA延长线上，以A为起点，再截取一段等于OA的长度，得到A‘（因为OA‘=2OA）。这适用于k为整数或简单分数。

3.5.7.步骤3：同理作出B‘、C’。

4.6.8.步骤4：连接A‘B’，B‘C’，C‘A’。

7.9.强调：每一步的几何原理（共线、定比）。

10.【变式探究：异侧位似与缩小】

1.11.提出问题：如果位似比k=1/2（缩小）呢？如果要求位似图形在原图形的“另一侧”（即点A‘在OA的反向延长线上）呢？

2.12.学生小组讨论，尝试画出k=1/2，同侧缩小的情形。再尝试画出k=2，但A‘在OA反向延长线上（异侧放大）的情形。

3.13.教师总结并板书关键：

1.4.14.同侧位似：对应点位于位似中心的同侧。k>1为放大，0<k<1为缩小。

2.5.15.异侧位似：对应点位于位似中心的异侧。此时可将位似比视为负值（k<0）。这是更高观点的统一，初中阶段可直观理解为“反向延长线上”。

3.6.16.作图要领：先定线（连接O与顶点并延长或反向延长），再定点（按比例截取）。

设计意图：将作图的每一步都与已证性质紧密挂钩，实现“理”与“法”的统一。变式探究打破了学生思维定势（认为位似图形只能在同侧放大），揭示了位似的全貌，培养了思维的全面性和深刻性。引入“异侧”概念，为高中学习“位似变换与符号k”做铺垫。

环节四：综合演练，内化技能（预计时间：5分钟）

1.【课堂练习】学案上给出两个任务：

1.2.任务1（基础）：已知四边形ABCD和点O，以O为位似中心，位似比1:2，作出同侧缩小的四边形A‘B’C‘D’。

2.3.任务2（挑战）：已知五边形和点O，以O为位似中心，作出一个放大2倍的五边形，要求与原图形在点O的异侧。

4.【互评与纠错】学生完成后，同桌交换，根据性质检查：对应点连线是否过O？对应边是否平行？用刻度尺粗略验证比例是否正确。

设计意图：及时巩固，将方法转化为技能。挑战性任务检验对“异侧”的理解。互评环节促进学生反思和批判性思维。

第三课时：位似之用——跨学科应用与问题解决

课时目标：

1.能够识别实际问题中的位似模型。

2.会利用位似原理解决简单的实际问题，如测量、绘图、解释现象等。

3.体会位似在科学、技术、艺术等领域的广泛应用。

教学重点：建立实际问题的位似模型。

教学难点：从复杂情境中抽象出位似几何关系。

教学过程：

环节一：生活链接——从视力表说起（预计时间：10分钟）

1.【现象观察】出示标准对数视力表（E字表）。提问：为什么视力表上从4.0到5.3的“E”字，看起来形状一模一样，只是大小不同？它们是什么几何关系？（位似）位似中心在哪里？（理论上，位似中心应在观察者眼睛所在的位置，但制表时预设了标准检查距离）。

2.【数学建模】

1.3.情境：医生测得某患者站在距视力表3米处，只能看清最上面（最大）的“E”字（对应视力4.0）。已知该“E”字缺口在5米处形成的视角为5‘（1/12度）。问：在3米处，他所能看清的这个最大“E”字，其物理尺寸是多少？

2.4.简化模型：将“看清”抽象为视网膜上的像大小达到临界值。由于眼睛晶状体相当于透镜，物体与像近似构成位似关系（小孔成像模型），位似中心约在晶状体光心。但在此距离、小视角下，可简化为三角形比例计算，其数学核心仍是比例关系，与位似思想同源。

3.5.引导学生利用相似三角形（位似的应用）解决问题：视角相同⇒相似⇒物体大小/距离=常数。计算得出E字尺寸。

6.【感悟】揭示：视力表的设计、视力检查的原理，底层逻辑之一就是位似与比例。

设计意图：选取学生熟悉的医疗场景，揭示其背后的数学原理，震撼力强。建模过程略去复杂光学，聚焦核心的几何比例，体现数学作为基础工具的力量。

环节二：科技透视——投影与成像（预计时间：15分钟）

1.【实验演示】使用简易小孔成像装置（暗箱、蜡烛、半透明膜）或播放高清模拟动画，展示蜡烛火焰通过小孔在屏上成倒立像的过程。

2.【探究分析】

1.3.问题：火焰上的点A、B、C与像上的点A‘、B’、C‘，满足什么几何关系？

2.4.引导学生发现：AA‘、BB’、CC‘都经过小孔O，且由于光的直线传播，物点、孔、像点三点共线。⇒满足对应点连线交于一点。

3.5.测量（或根据动画数据）：OA‘/OA，OB’/OB是否相等？⇒满足定比。

4.6.结论：物与像是位似图形，小孔是位似中心。成像特点是：倒立、可放大可缩小（取决于物距与像距）。

7.【迁移联想】讨论：现代投影仪、照相机镜头的成像原理与小孔成像有何异同？（原理相通，都是中心投影，构成位似关系；但镜头利用透镜优化了成像质量）。电影《流浪地球》中宇航员通过休眠舱窗口看到地球逐渐变小的镜头，也蕴含了位似视角。

设计意图：通过经典物理实验，将抽象的位似概念转化为可观测的科学现象。从古老的小孔成像到现代光学仪器，展现位似模型穿越时空的普适性，强化STEM融合教育理念。

环节三：艺术与设计——透视与缩放（预计时间：12分钟）

1.【名画赏析】展示达·芬奇《最后的晚餐》的透视分析图，或一幅典型的街道透视图。指出所有平行于画面纵深方向的直线，在画面上都相交于一个或两个“消失点”（透视学中的灭点）。

2.【数学解读】解释：在透视法中，等距的树木、路灯、电线杆，在画面上会呈现为近大远小的序列。抽象来看，这一系列形状相同的物体，可以看作是同一个物体经过一系列以观察者眼睛（或灭点）为位似中心、位似比依次减小的位似变换的结果。灭点，可以理解为多个位似中心的集合或延伸。

3.【设计任务】给出一个简单的卡通图案（如一只小猫剪影）。任务：请你作为设计师，设计一套该图案的系列图标，要求大小分为大、中、小三种，且形状严格保持一致。你会如何保证它们形状一致？（使用位似缩放，在绘图软件中使用“缩放”工具并按住Shift键，其算法基础就是位似变换）。

设计意图：连接数学与人文艺术，提升审美情趣，展现数学的“美”。透视规律的数学解释，让学生体会到理性思维对于感性创造的支持。设计任务将知识拉回现实应用，体现数字化时代位似的实现方式。

环节四：综合问题解决（预计时间：8分钟）

问题：如图，为了测量一条河的宽度AB，在河对岸选定一个目标点C，再在河这边选点D，测得CD=30m。在CD上取点E，使CE=10m。过点D作DF//CA，交EC的延长线于F，测得EF=15m。求河宽AB。

（引导学生识别模型：△CDE与△CDF是位似关系吗？△CAB与△CDF呢？如何通过层层相似/位似关系，求出AB？）

设计意图：提供一个融合了测量、相似三角形和位似思想的综合几何题。培养学生从复杂图形中识别基本模型、构建比例关系链解决问题的能力，将本单元知识融入更广阔的几何图景中。

第四课时：数形交融——坐标系中的位似变换

课时目标：

1.探索在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的坐标规律。

2.探索以任意点P(a，b)为位似中心的位似变换的坐标规律，并掌握其作图方法。

3.能熟练运用坐标规律进行相关计算和作图。

教学重点：以原点为位似中心的坐标规律。

教学难点：以任意点为位似中心的坐标变换规律的推导与应用。

教学过程：

环节一：温故孕新，坐标切入（预计时间：5分钟）

1.【复习】在坐标系中，我们学习过哪些图形变换？它们的坐标规律是什么？（平移：坐标加减；轴对称：关于谁对称谁不变，另一个变号；旋转90度、180度：坐标互换、变号等）。

2.【引入】今天，我们将为坐标系中的变换家族增添一位新成员——位似变换。首先研究最简单的中心：原点O(0，0)。

设计意图：将位似置于“坐标系下的图形变换”这一上位概念中学习，建立系统性认知。

环节二：探究原点位似的坐标律（预计时间：15分钟）

1.【实验与发现】

1.2.任务一：在GeoGebra坐标系中，任取一点A(2，3)。设置滑动条k（位似比）。

2.3.任务二：构造点A‘，满足O、A、A’共线，且OA‘=k*OA。（软件可直接输入A’=k*A）。

3.4.任务三：拖动k（分别取2，0.5，-2，-0.5），记录点A‘的坐标。

1.4.5.k=2时，A‘()。

2.5.6.k=0.5时，A’()。

3.6.7.k=-2时，A‘()。

4.7.8.k=-0.5时，A’()。

8.9.任务四：猜想坐标(x，y)与对应点坐标(x‘，y’)之间的关系。

10.【归纳与验证】

1.11.学生汇报猜想：x‘=kx，y’=ky。

2.12.教师引导学生进行几何证明：如图，过A、A‘作x轴垂线，由相似三角形即可证明。

3.13.总结规律：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k（k≠0）的位似变换下，对应点的坐标满足(x‘，y’)=(kx，ky)。

4.14.强调：当k>0时，同侧位似；当k<0时，异侧位似。

设计意图：又一次“实验-猜想-验证”的探究过程，让学生自主发现关键的坐标伸缩规律。证明环节将代数规律与几何图形紧密联系，巩固形数结合思想。

环节三：升华到一般中心位似（预计时间：18分钟）

1.【问题升级】如果位似中心不是原点，而是任意一点P(a，b)，位似比为k，那么对应点坐标(x‘，y’)与(x，y)有什么关系？

2.【策略引导】教师引导：我们能否将复杂问题转化为已知问题？即，能否将“以P(a，b)为中心”的情况，通过某种变换，转化为“以O为中心”的情况？

1.3.提示：观察图形，在“以P为中心”的位似中，关键的向量关系是：向量PA‘=k*向量PA。

2.4.根据向量坐标运算：(x‘-a，y’-b)=k*(x-a，y-b)

。

5.【推导与总结】

1.6.由上述向量等式，直接得出坐标关系式：

1.2.7.x‘-a=k(x-a)

2.3.8.y‘-b=k(y-b)

4.9.即：x‘