初三数学九上圆所有知识点总结和常考题型练习题

圆是初中几何的核心内容，也是中考数学的重点和难点。它不仅包含丰富的性质定理，还常常与三角形、四边形等平面图形结合考查，对同学们的逻辑推理能力和空间想象能力有较高要求。下面，我们将系统梳理本章的核心知识点，并通过典型例题的练习，帮助大家巩固所学，提升解题技能。一、圆的知识点总结1.圆的基本概念*圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点叫做圆心，这条线段叫做半径。从集合观点看，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。*圆的表示：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。*基本元素：*半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。圆的半径决定圆的大小。*直径：经过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。在同圆或等圆中，直径是半径的两倍，即d=2r。*弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。*弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示）。*等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等。*等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧必须是长度和弯曲程度都相同的弧，仅仅长度相等的弧不一定是等弧。2.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：*点P在圆内⇨d<r*点P在圆上⇨d=r*点P在圆外⇨d>r3.圆的基本性质*圆的对称性：*圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。*圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，这是圆的旋转不变性。*垂径定理及其推论：*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。*推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦（不是直径）；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧。（简记为“知二推三”）*圆心角、弧、弦之间的关系：*在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。*在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*圆周角定理及其推论：*圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。*推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。*推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。*推论3：圆内接四边形的对角互补。（即圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角）4.直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：*直线l和⊙O相离⇨d>r⇨无公共点*直线l和⊙O相切⇨d=r⇨有唯一公共点（切点）*直线l和⊙O相交⇨d<r⇨有两个公共点（交点）5.切线的性质与判定*切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（有切线必连圆心和切点，得垂直）*切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。*判定切线的两种思路：1.已知直线与圆有公共点：连半径，证垂直。2.未知直线与圆是否有公共点：作垂直，证半径（即证明圆心到直线的距离等于半径）。*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。*切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。6.三角形的外接圆与内切圆*三角形的外接圆：*经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。*外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。*外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆的半径）。*锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。*三角形的内切圆：*与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。*内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心。*内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等（都等于内切圆的半径）。*任意三角形的内心都在三角形内部。7.正多边形和圆（简要）*正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。*把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。*正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心。*正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。*正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距（即内切圆的半径）。*正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于360°/n。二、常考题型练习题（一）概念辨析与基本性质应用1.选择题(1)下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.半圆是弧C.过圆心的线段是直径D.圆心相同半径相等的两个圆是同心圆(2)下列命题中，真命题是（）A.相等的圆心角所对的弦相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧是等弧D.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2.填空题(1)在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB所对的圆周角的度数为______。(2)已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在⊙O的______（填“内部”、“外部”或“上”）。(3)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD=6，BE=1，则⊙O的半径为______。（二）垂径定理的应用3.解答题如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE为3cm，求⊙O的半径。（三）圆心角与圆周角的关系4.解答题如图，在⊙O中，AC是直径，弦BD交AC于点E，连接AB、CD。若∠AOB=60°，求∠ADB和∠ACD的度数。（四）切线的性质与判定5.解答题如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。6.解答题已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。（五）三角形的外接圆与内切圆7.解答题已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其内切圆半径为r，求证：△ABC的面积S=r(a+b+c)/2。（若能记住此公式，可用于解决相关计算问题）8.选择题直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其外接圆的半径为（）A.4B.5C.6D.8（六）综合应用9.解答题如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC。若∠P=30°，求∠B的度数。---参考答案与提示：1.(1)B；(2)D提示：(1)直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；半圆是弧的一种；过圆心的弦才是直径；同心圆是圆心相同半径不同的圆。(2)A选项缺少“同圆或等圆”条件；B选项平分的弦不能是直径；C选项等弧必须在同圆或等圆中，且能完全重合。2.(1)30°或150°；(2)内部；(3)5提示：(1)一条弦对着两个圆周角，它们互补。(3)设半径为r，利用勾股定理(r-1)²+3²=r²。3.解：连接OA。因为OE⊥AB，所以AE=AB/2=4cm。在Rt△AOE中，OE=3cm，AE=4cm，由勾股定理得OA²=OE²+AE²=3²+4²=25，所以OA=5cm，即⊙O的半径为5cm。4.解：∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∠OAB=60°。∠ADB与∠AOB都对弧AB，∴∠ADB=∠AOB/2=30°。∠ACD与∠ABD（或∠AOD的一半，需看具体图形连线），若连接AD，∠ACD=∠ABD=∠OAB/2=30°（或直接利用同弧所对圆周角相等，∠ACD=∠ABD，而∠ABD=∠OAB=60°？此处需根据准确图形，假设AC、BD交于E，∠ACD与∠ABD所对弧不同，可能∠ACD=∠AOB/2=30°，因为∠AOB所对弧AB，∠ACD所对弧AD？原题表述若AC是直径，∠ADC=90°，∠AOB=60°，则弧AB=60°，弧BC=120°，∠BAC=30°，∠ADB=∠ACB=30°，∠ACD=∠ABD=30°。答案∠ADB=30°，∠ACD=30°。5.证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD。又∵AD⊥CD，∴AD∥OC。∴∠DAC=∠OCA。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。6.证明：连接OD。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵OB=OD，∴∠B=∠ODB。∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。7.提示：连接内心与三个顶点，将三角形分成三个小三角形，每个小三角形的高都是内切圆半径r，底分别为a、b、c。S=S△IAB+S△IBC+S△ICA=(ar)/2+(br)/2+(cr)/2=r(a+b+c)/2。8.B提示：直角三角形外接圆半径为斜边的一半。斜