九年级上学期数学考点突破与提分-因式分解法练习题（含答案）

因式分解法目标导航目标导航课程标准(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.知识精讲知识精讲知识点01因式分解法因式分解法解一元二次方程根据将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,即，则；实质将一元二次方程转化为两个一元一次方程1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点（1）方程一边为；（2）另一边易于分解成两个乘积的形式.【注意】（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.（2）用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.（3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法（1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.（2）逆用平方差公式和完全平方公式来分解因式.3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤示例：解释1、移2、分3、化4、解知识点02简单的十字相乘法①化简下列整式乘法：【总结】那么对于二次三项式=②化简下列整式乘法：【总结】那么对于二次三项式=③化简下列整式乘法：【总结】那么对于二次三项式=那么对于二次三项式=【注意】简单的十字相乘法，必须要让一元二次方程的a=.知识点03灵活选用合适的方法解一元二次方程方法特点举例直接开方法解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为的形式,则宜选用直接开平方法求解配方法解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式公式法解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程因式分解法解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解【注意】一元二次方程的解法选择1.选择顺序:→→.2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用.3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用.4.若方程二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用.5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.能力拓展能力拓展考法01因式分解法【例题1】方程x（x+5）=0的根是（

）A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5【即学即练1】三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（

）A．8

B．8和10

C．10

D．8或10【即学即练2】一元二次方程的根是（

）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【即学即练3】解方程，最简便的方法是（

）A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法【即学即练4】用因式分解法解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．考法02十字相乘法【例题2】关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【即学即练1】已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．8或10【即学即练2】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（

）A．2 B．4 C．8 D．2或4考法03选择适当方法解一元二次方程【例题3】选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【即学即练1】用适当的方法解下列方程（1）x2＋10x＋21＝0（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9考法04整体代换【例题4】若，求的值．【即学即练1】解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．分层提分分层提分题组A基础过关练1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（

）A．2 B．3 C．3或2 D．3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或94．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．485．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（

）A． B． C． D．6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（）A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．9．解下列方程

（1）（用配方法）（2）（因式分解法）（3）（公式法）（4）（直接开平方法）10．解下列一元二次方程：（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）（2）4（x+3）2=25（x﹣2）211．已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0，（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.题组B能力提升练1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝02．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知，则等于（

）A．或 B．6或1 C．或1 D．2或34．方程的解是（

）A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或05．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或156．已知，则的值是_____________．7．解方程：.题组C培优拔尖练1．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．2．已知，，，求值．3．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．（1）求的值．（2）求的值．（3）若，，为整数，且，试求，，的值．4．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016．5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.第04课因式分解法目标导航目标导航课程标准(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.知识精讲知识精讲知识点01因式分解法因式分解法解一元二次方程根据将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,即，则；实质将一元二次方程转化为两个一元一次方程1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点（1）方程一边为0；（2）另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.【注意】（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.（2）用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.（3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法（1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.（2）逆用平方差公式和完全平方公式来分解因式.3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤示例：解释1、移移项，将方程右边化为02、分将方程左边因式分解3、化令每个因式都为零4、解解这两个一元一次方程知识点02简单的十字相乘法①化简下列整式乘法：【总结】那么对于二次三项式=②化简下列整式乘法：【总结】那么对于二次三项式=③化简下列整式乘法：【总结】那么对于二次三项式=;那么对于二次三项式=【注意】简单的十字相乘法，必须要让一元二次方程的a=1.知识点03灵活选用合适的方法解一元二次方程方法特点举例直接开方法解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为的形式,则宜选用直接开平方法求解配方法解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式公式法解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程因式分解法解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解【注意】一元二次方程的解法选择1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法.2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法.3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法.4.若方程二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用配方法.5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.能力拓展能力拓展考法01因式分解法【例题1】方程x（x+5）=0的根是（

）A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5【答案】D【解析】解：方程x(x+5)=0,可得x=0或x+5=0,解得:=0,或=-5.故选D.【即学即练1】三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（

）A．8

B．8和10

C．10

D．8或10【答案】C【解析】x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论：①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10．故选C．【即学即练2】一元二次方程的根是（

）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【答案】D【解析】或，x2=-1．故选：D．【即学即练3】解方程，最简便的方法是（

）A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法【答案】C【解析】∵方程中有公因式（x-1），故可采用因式分解法求解，故选C.【即学即练4】用因式分解法解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．【答案】（1）；

（2）；（3）；（4）．【解析】（1），∴，∴；

（2），∴，∴，∴；（3），∴，∴，∴，∴；（4），∴，∴，∴．考法02十字相乘法【例题2】关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【答案】C【解析】x2-4x+3=0，分解因式得：（x-1）（x-3）=0，解得：x1=1，x2=3，故选C．【即学即练1】已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．8或10【答案】C【解析】x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；所以此等腰三角形的周长是4+4+2=10．故选C．【即学即练2】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（

）A．2 B．4 C．8 D．2或4【答案】A【解析】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．考法03选择适当方法解一元二次方程【例题3】选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【答案】(1)x1＝0，x2＝；(2)x1＝1，x2＝﹣．【解析】(1)3x﹣1＝±(x﹣1),即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),所以x1＝0,x2＝；(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,所以x1＝1,x2＝﹣．【即学即练1】用适当的方法解下列方程（1）x2＋10x＋21＝0（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9【答案】（1）x1=－7，x2=－3；（2）x1=－，x2=4【解析】解：（1）x2＋10x＋21＝0；（x+3）（x+7）=0；x+3=0,x+7=0,，；（2）4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9；；；(3x+2)（x-4）=0；；.考法04整体代换【例题4】若，求的值．【答案】4【解析】解：设，则有，即，．∴，．∵，∴不合题意，舍去．∴．【即学即练1】解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．分层提分分层提分题组A基础过关练1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定【答案】B【解析】解：方程变形得：，解得：，，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，故选：B．2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（

）A．2 B．3 C．3或2 D．【答案】A【解析】解：由一元二次方程的定义得：解得关于x的一元二次方程有一个根为0，∴，解得或（与不符，舍去），故选A．3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【答案】A【解析】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0解得：，当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，故选：A4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．48【答案】B【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．5．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，那么有：(x－3)(x－4)＝0，∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．故选C.6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（）A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）【答案】B【解析】根据题意可得解得所以二次三项式为x2+x-30因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）故选B.7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．【答案】14【解析】解：，（x-2）（x-6）=0，x1=2，x2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．【答案】7【解析】x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．所以三角形的周长为7．故答案为7．9．解下列方程

（1）（用配方法）（2）（因式分解法）（3）（公式法）（4）（直接开平方法）【答案】（1），；（2），；（3），；（4）【解析】解：（1），，，，所以，；，或，所以，；（3），，所以，；（4），所以．10．解下列一元二次方程：（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）（2）4（x+3）2=25（x﹣2）2【答案】（1）x1=

x2=﹣；（2）=或=.【解析】（1）解：原式=（2﹣5x）+（2﹣5x）（3x+4）=0∴（2﹣5x）（1+3x+4）=0解得：x1=

x2=﹣（2）解：4（x+3）2﹣25（x﹣2）2=0，[2（x+3）+5（x﹣2）][2（x+3）﹣5（x﹣2）]=0，∴（7x﹣4）（-3x+16）=0∴=或=.11．已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0，（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.【答案】证明见解析4和2【解析】（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）等腰三角形的腰长为4，将x=4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）=0，解得：m=5，∴原方程为x2﹣6x+8=0，解得：x1=2，x2=4．组成三角形的三边长度为2、4、4；所以三角形另外两边长度为4和2．题组B能力提升练1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【解析】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：2．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：①当0＜x＜6时，设点P（x，﹣x+6），∴矩形PBOA的面积为5，∴x（﹣x+6）=5，化简，解得，，∴P1（1，5），P2（5，1），②当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），∴矩形PBOA的面积为5，∴﹣x（﹣x+6）=5，化简，解得，（舍去），∴P3（，），∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．故选：C．3．已知，则等于（

）A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3【答案】A【解析】∵∴∴∴=或.故选A.4．方程的解是（

）A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0【答案】B【解析】解：∵，∴，∴或或，故选：B．5．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15【答案】B【解析】把x＝2代入方程x2−（5＋m）x＋5m＝0得4−2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，方程化为x2−7x＋10＝0，解得x1＝2，x2＝5，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12．故选B．6．已知，则的值是_____________．【答案】5或10【解析】解：同时除以：或∴，7．解方程：.【答案】【解析】解：移项得：，两边平方得：，整理得：，解得：，，经检验不是原方程的解，舍去，∴是原方程的解.题组C培优拔尖练1．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣