专题08 不等式（组）及其应用（8大题型+过关训练）（解析版）

专题08不等式（组）及其应用目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一不等式的基本性质】 1【题型二一元一次不等式及其解法】 2【题型三不等式组的解法及数轴】 4【题型四不等式组的整数解问题】 6【题型五由不等式组的解的情况求参数】 7【题型六不等式组与方程组的综合问题】 9【题型七一元一次不等式（组）的应用】 11【题型八与不等式有关的新定义类问题】 13【题型一不等式的基本性质】例题：（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可．【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，本选项不符合题意；B、由，可得，原不等式不成立，本选项不符合题意；C、由，可得一定成立，本选项符合题意；D、由，可得，原不等式不成立，本选项不符合题意；故选：C．【变式训练】1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列变形过程正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可．【详解】解：A．由，则，故选项A错误，不符合题意；B．由，，则，故选项B错误，不符合题意；C．由，则，故选项C正确，符合题意；D．由，则，故选项D错误，不符合题意．故选：C．2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是关键．利用不等式性质得到，即可得出答案．【详解】解：，，，故答案为：，【题型二一元一次不等式及其解法】例题：（24-25八年级上·浙江·期中）不等式的解集在数轴上表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可．【详解】解：，，，显然只有B选项符合题意．故选：B．【变式训练】1．（24-25八年级上·浙江·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是．【答案】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．解：∵一元一次不等式组的解集为，，解得．故答案为：．2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上：(1)；(2)【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析；(2)，解集在数轴上表示见解析．【分析】（）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；（）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：，∴解集在数轴上表示如图，；（2）解：，∴解集在数轴上表示如图，．【题型三不等式组的解法及数轴】例题：（24-25七年级下·全国·期中）解不等式组：并把解集表示在数轴上．【答案】，见解析【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得．所以原不等式组的解集为．把解集表示在数轴上如图所示．.【变式训练】1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组，并在数轴上表示其解集：．【答案】，数轴见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将其在数轴上表示出来即可．【详解】解：由①得：，由②得：，∴原不等式组的解集为：，数轴表示为：2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集．【答案】不等式组的解集为，数轴见解析【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，将不等式组的解集在数轴上表示如下：【题型四不等式组的整数解问题】例题：（2023·四川达州·模拟预测）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于注意分析不等式组的解集的确定．此题需要首先解不等式，根据整数解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵此不等式组仅有3个整数解，∴这3个整数解为0，1，2，∴a的取值范围是．故选：A．【变式训练】1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）不等式组的最大整数解是（

）A．5 B．4 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了求不等式组的整数解，正确求解是关键；分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分，即可求得最大整数解．【详解】解：解第一个不等式得：，第二个不等式得：；则不等式组的解集为：，所以不等式组的整数分别为，0，1，2，3，4，则最大整数解为4；故选：B．2．（24-25七年级上·吉林·期末）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是【答案】【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，∵不等式组有四个整数解，即为，∴，故答案为：．【题型五由不等式组的解的情况求参数】例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围．【详解】解：，对于，解得：，对于，解得：，不等式组的解集为，该不等式组恰好有个整数解，其整数解是和，，对于，解得：，对于，解得：，，故选：．【变式训练】1．（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解．【详解】解：关于的不等式组有解，∴，故选：D．2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据不等式的解集为，可知，解之即可．【详解】解：∵不等式的解的解是，∴，则．故答案为：．【题型六不等式组与方程组的综合问题】例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论．【详解】解：关于x，y的方程组为，解得：，因为，所以，解得：．故选：C．【变式训练】1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，∵不等式组的解集为，∴，解得：．故选：D2．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为．【答案】4或1或0【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可．【详解】解：，解不等式得，，解不等式得，，不等式组只有3个整数解，∴，∴，解方程组，得：，解得，将代入④得：，解得方程组的解为：，∵，∴，关于的方程组的解为整数，或或或或或，或或或或，当时，不是整数，不符合题意；当时，是整数，符合题意；当时，不是整数，不符合题意；当时，是整数，符合题意；当时，是整数，符合题意；所有满足条件的整数的值为4或1或0，故答案为：4或1或0．【题型七一元一次不等式（组）的应用】例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键．根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式．【详解】解：根据题意得，．故选：B．【变式训练】1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】解：由题意可得：，解得：，故保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是，故答案为：．2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如表：类型进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070(1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式；(2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？【答案】(1)；(2)商场购进型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为元．【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键．（1）由商场购进A型台灯盏，则购进B型台灯为盏，然后根据题意列出函数解析式即可；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．【详解】（1）解：商场购进A型台灯盏，则购进B型台灯为盏，由题意可得：，，所以y与之间的函数关系式：；（2）型台灯的进货数量不超过型台灯数量的4倍，由题意得:，解得：，，∴随的增大而减小，∴当时，取得最大值为（元），此时．答：商场购进型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为元．【题型八与不等式有关的新定义类问题】例题：（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算：则下列说法：①若，则，；②若，则该不等式的解集为或；③代数式有最小值6．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键．根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：①当时，，则，不符合题意，舍去；当时，，则，符合题意．综上所述，若，则，故①错误．②∵，且，∴．∴．∴或，故②正确．③，又∵在数轴上代数式的意义为表示数的点到表示数3的点和表示数的点的距离之和，且的最小值为6，∴有最小值6，故③正确．故选：B．【变式训练】1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则．【答案】或或【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据题中所给的新运算法则，分和两种情况解方程即可．【详解】解：当，即时，，，，∴，∵，∴舍去，只取；当，即时，，，，，∴，综上，x的值为或0或4，故答案为：或0或4．2．（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，(1)若，求及其平方根．(2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值．【答案】(1)，(2)4【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案；（2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：∵，，∴，解得，则；（2）解：由题意得，∴，即，解得，∴最小整数值为4．【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键．一、单选题1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可．【详解】解：A、不等式两边都减去1，不等号方向不变，故此选项错误，不符合题意；B、不等式两边都乘以，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意；C、不等式两边都乘以后再加上2，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意；D、不等式两边都加上3，不等号方向不变，即，又因为，所以，故此选项正确，符合题意．故选：D．2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果，若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，若学生的人数为x，则列式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．根据若每个学生分4个苹果，则还剩8个苹果；若每个学生分5个苹果，则有一个学生所分苹果不足2个，由此得出不等式组．【详解】解：根据小朋友的人数为，根据题意可得：，故选：D．3．（24-25九年级上·广西贺州·期中）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上进行表示，正确求出每一个不等式解集及熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键；先求出不等式组的解集，再根据带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点，在数轴上表示出来，判断即可．【详解】解：解不等式组，得：，∴不等式组的解集为：，在数轴上表示如图：；故选B．4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（

）A． B．a≥1 C． D．【答案】B【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．先求出不等式组的解集，再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，可以求得的取值范围．【详解】解：，由①得：，由②得：，∴原不等式组的解集为，∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，∴，故选：B．5．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）不等式组的解集为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，代数式求值，先解不等式组，进而根据不等式组的解集求出的值，最后代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键．【详解】解：解不等式组，得，∵不等式组的解集为，∴，，解得，，∴，故选：．二、填空题6．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解集的方法．先解出各个不等式，再根据原不等式组无实数解列出关于a的不等式，即可解得答案．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，∵不等式组无实数解，∴，解得，故答案为：．7．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）用不等式表示“x与2的差不足10”：．【答案】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据“x与2的差不足10”列不等式即可．【详解】解：“x与2的差不足10”用不等式表示为，故答案为：．8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集为．【答案】/【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．【详解】解：，由①，得：；由②，得：，∴不等式组的解集为：；故答案为：．9．（24-25八年级上·全国·期末）若方程组的解满足，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组；先解二元一次方程组，得出，根据已知建立不等式组，解不等式组，即可求解．【详解】解：由解得，．，．解得．故答案为：．10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键．根据题意和相关数据列不等式组求解即可．【详解】解：设的长为x米，由题意可得，，解得：．故答案为：．三、解答题11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可．【详解】解：设生态园宽为x米，，∵要利用一面20米长的墙为一边，∴，∴，此时长为，答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米．12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料：已知：，试比较和的大小，并说明理由．解：，理由如下：，（不等式的基本性质2），（不等式的基本性质1）．仿照阅读材料的解法，完成下列小题：已知：若，比较和的大小，并说明理由．【答案】，见解析【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可．【详解】解：，理由如下：，（不等式的基本性质3），（不等式的基本性质1）．13．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）：(1)解不等式，并把解集表示在数轴上：；(2)解不等式组：．【答案】(1)，数轴见解析(2)【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）求出一元一次不等式的解集，表示在数轴上即可；（