高二数学开学摸底考试卷02 (考试范围：必修第一、二册)（解析版）

高二数学开学摸底考试卷02

（考试范围：必修第一、二册考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={小2-41+3<0},4={目0。<2},则“8=（）

A.[0,3）B.（0,3）C.（1,3）D.（1,2）

【答案】D

【详解】因为4={也2-4工+3<0}={即<x<3},^={A-|0<X<2},

所以AA=(l,2).

故选:D.

2.尸是VABC所在平面上一点，满足PA+P8+PC=AB，若二人作二口，则AQA/3的面积为（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

UUUUU

【详解】因为P4+P8+PC=A8=P8—PA，则PC=-2PA，

即点。为AC的一个三等分点（靠近点A）,

所以&PAB的面积为SVMH=|Sy诋=4.

故选:B.

3.已知。=log32,b=log95,c=-,则4，b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【详解】因为*>45=2>3>

22

所以log95=log325=^log35=log.5>log?2>log,3log.3=；

所以〃〉a>c.

故选:D

1-z

4.若复数z满足i,i为虚数单位，则5在复平面内对应的点位于（）

z-3

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

I—7l+3i(l+3i)(l-i)4+2i

【详解】因为。甘，所以z==2-i,

l+i(l+i)(1-i)2

所以z的共飘复数5=2-i,对应的点坐标为（2,-1）位于第四象限.

故选：D

5.《九章算术》中将正四楂台（匕下底面均为iF方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面功长为2,下底面

边长为4,侧棱与下底面所成的角为：，则此方亭的体积为（）

4

A.辿

B.8&

3

「28夜，竿

3

【答案】C

如图，4CB。分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，人尸是一条侧棱,

过A作4E_LC。，连接E八

所以AE是正四棱台的高‘所以4在三'

因为七尸=j（3j2）2+=正

所以AE=lx&=&,

所以方亭的体积为曰⑵+42+后不）=苧.

故选：c.

6.己知数据1,2,3,5,小(〃?为整数)的平均数是极差的1倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这

4

2个数之和不小于7的概率为()

A.-B.—C.-D.-

51052

【答案】A

【详解】当〃?25时，=—得〃?=工(舍)，

5411

当1<5时，空%=3(5-1),得〃7=4,

54

当"zWl时，1丁=’(5_附,得切(舍)，

5419

二.用=4,

从I,2,3,5,4中任取2个数结果：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2>5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，

符合题意(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共4种,

所以概率为54=：2.

故选：A.

7.为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥.规

划如图所示，VA8C为规划区域,面枳为万平方米，AB,CA,CB,CD是四条观景木板桥，其中AB=3DB,

CP=3PD,ZC4B=60°,40为观景玻璃栈桥，则AP的最小值(单位：百米)为()

A.2GB.4C.瓜D.6G

【答案】C

【详解】VA3C中，设AC=。，48=c,由NC48=60。，S.0c=4拒，

则。=sin-j^J,满足£>,cDj,故B正确;

717兀13兀

对3当。=工时,X,+-G

■4

.13瓦.(71A.兀八

sin---=sin乃+——=-sin——<0,

12(\2)12

.71.7几

则疝］1%2+(€-sin—,sin—.

1212

则。=-sin—,sin—,不满足心之。,故C错误;

I,八37rlit「3兀57r

对D,当夕=—时，x,+—€—,

4"444

则。=-白，等卜不满足2口鼻，故D错误;

故选:B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出

相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分

9.若a,b,ceR,则下列命题正确的是（）

A.若就#0且"〃，则B.若a>Z?>0且c>0,则匕上,

aba+ca

C.若0<av1,则《J>。D./+从+122（。-2/?-2）

【答案】BD

【详解】对于A：当。=7,6=1时，满足加工0且。<），但!故A错误；

ab

对于B：因为。>力>0且c>0,

h+cb(b+c)a-h(a+c)c(a-b)八,.b+cb

所以------------=-------------------------=----------->0故——>-故B正确;

a+ca(“+c)a(a+c)aa+ca

对于C：因为Ovavl,所以/-a=a（a-1）<0,即故c错误;

2222

对于D：因为/+b+\-2(a-2b-2)=(r-2a+\+b+4b+4=(a-\)+(b+2)>0t

所以/+6+整2（〃一沙一2）,故D正确.

故选：BD.

10.设A,8易两个随机事件，且P(4)=±P(B)=!，则下列结论正确的是()

23

A.若A,8是互斥事件，则P(A8)=!

B.若8qA,则0(A)B)=-

6

2

C.若八，8是相互独立事件，则P(AU8)=w

_1

D.若P(AB)=g,则A,8是相互独立事件

【答案】CD

【详解】A项，若A4是互斥事件，不可能同时发生，P(AB)=0,故A错误；

B项，若BqA,则AA=4,则P(AUB)=P(A)=T，故B错误；

C项，若A从相互独立：,则aA/3)=P(A)P(B)=:x!=:，

236

ill?

所以P(AJB)=尸(A)+P(8)—P(A8)=7+7一二二彳，故C正确；

2363

DIji,由A=(AB)(A耳)，且事件AB,A耳互斥，则P(A)=P(AB)+P(4豆)，

1-ill

若P(AB)=q,则尸(AB)=P(A)-P(AB)=7一彳=工，

3236

又户(A)P(B)=:x!=L，.•.P(A)P(B)=P(48),故AB相互独立，故D正确.

236

故选：CD.

11.函数f(x)=x-【幻是物理中常见的锯齿波函数，其中国表示不大于X的最大整数，标准锯齿波波形先呈

直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复.下列说法正确的有()

A.[x+l]=[.r]+iB.函数y=2x-[2幻的最小正周期为:

C.函数y=3xT3x-l]的值域为[1,2]D.函数y=x-[-幻为周期函数

【答案】AB

【详解】令x=〃?+/，0W/vl,则㈤=〃7,[x+l]=[m+r+l]=/K+l,而[x]+l=/n+l,故A对;

/(x+1)=x+l-[x+l]=x+l-([x]+l)=x-[x]=/(x),即/(x+l)=/(x),

所以/(X)是周期函数，I是f(x)=xTx]一个周期，

设T是函数/。)=工一[划一个周期7工0.

即“x+T)=〃x)，所以x+T—|x+T]=x—国=r=[x+r]-H，

故函数的周期为整数，而I是最小的正整数，故=幻的最小正周期为I,

根据图象的伸缩变换，y=2x-[2幻的图象是由[幻图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;倍,

所以函数y=2x-[2万的最小正周期为:，故B对；

l+lf(x)=.v-[x],所以/(A)的值域为[0,1),

而V=3X-[3X-1]=3X-[3A:]4-1,又OV3x-[3x]vl=>1W3x-[3x]+l<2,

即函数y=3x-[3x-l]的值域为[1.2),故C错；

当xe(O,l]时，-xe[T,0),.,.卜x]=T,所以y=x+l,

当_rw(l,2]时，-2?x1,[-x]=-2,所以y=x+2,

xe(2,3],-3<x<2,[-x]=-3,y=x+3,

V随x增大而增大

故不是周期函数，故D错

故选:AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.已知向量〃=(3,4),。=(-1,1),则向量〃在8方向上的投影向量的坐标为

【答案】「言

ci,h-3+4>/2

【详解】，，在倒方向上的投影的数量为W=1T1+J=亍，

yj2b42(-U)(_!_]

所以。在6方向上的投影向量为工-*M=亍乂彳员/=(一2'2)'

故答案为:

13.如图，在VA8C中，ZABC=60°,4C=#,BC=2,NA3C的角平分线交AC于。，交过点A且与

8c平行的直线于点E，则。石=

【答案】1+C

【详解】在VA8C中，由余弦定理可得：AC2=BC2+AB2-2SCABcosZABC.

即6=4+A82—2A3，又AB>0,所以48=1+6.

因为A七〃8C,BE平分/ABC,所以NA8E=NE=30。，所以4E=AB=l+6.

在jAA行中，因为NR4E=120°,所以BE=2ABCOS300=G(1+G)=3+G.

因为A£〃BC,所以CAOEFCDB,

,,BDBCBD+DEBC+AE3+6_3+6

所rr以F=F==DE=I+6

DEAEDE~AEDE~1+5/3

故答案为：1+6

14.在三棱锥A-8CO中，平面ACO_L平面8CDAC。是以CO为斜边的等腰直角三角形，”为CO中点,

BM±BCAC=2BC=4,则该三棱锥A-BCD的外接球的体枳为.

【答案】竺亚兀

3

【详解】

如图，ACD是以CO为斜边的等腰直角三角形，M为CO中点，则点例是,.A8的外心,

故三楂锥4-8。£)的外接球球心0必满足。3_1平面从。。，因AA/u平面ACO,故QW_LAM.

又平面AC£)_L平面BCD且平面ACO|平面8c£>=C£),故点0在平面8c。内,

过点M作M"_LC。，交BD于H,则点。在匕

因BMLBC,AC=2BC=4,AM=MC=-CD=-x4y/2=2y/2,

22

则BM=VE记工？=2，于是N8MC=45,

设三棱锥A-8C。的外接球半径为R,OM=x,

在Z\0M8中，由余弦定理，R2=X2+4-4XCOS135=x2+2y/2x+4»

在RIZXOM4中，/?2=X2+（2^）2=X2+8,

联立两方程，解得人-=友，则咒=10，

故该三棱锥A-8C。的外接球的体积为％,兀、10面=竺叵兀.

球333

故答案为：竺叵7c.

3

【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球体积，属于较难题.

解题的思路是从选底面ACO入手，证明外接球球心在底面上的投影即点M,接着通过边和角的计算，借助

于△0M8和RIZJ9M4,建立外接球半径的两个方程」解之即得.

四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（1）已知复数z满足|z|=l+3i-z,求℃）（3+4i）；

Z

（2）设XWR,复数z=log2（x+l）+i4o%（cosx+；）在复平面内对应的点在第三象限，求工的取值范围.

【答案】（1）3-i；（2）（-1,0）

【详解】（1）因为目=l+3i-z,可设z=〃+3i,则+9=1一々=>a=-4,所以z=-4+3i.

（l+3i）（3+4i）-9+13i（-9+13i）（-4-3i）75-25i,.

所以'4=FT"+3i）（T.3i）=F^=3f

log2|x+l)<00<x+1<1-l<x<0

（2）由题意：•1.=>'c,兀c,兀,=>-l<x<0

log.ICOSX"!■—2j<0COSX■!-->12ht--<x<2kn■!—，〃在Z

233

所以所求x的取值范围为：（-1,0）.

16.（15分）如图，边长为6的正VAAC中，点D在边AC上，且|从&=2|力。，点M在线段BO上.

B

(1)若80=〃乂8+/*。，求〃2+〃的值；

⑵若AM=r48+2xAC，求x及cos/AMC的值.

【答案】⑴〃?+〃=-；

(2)x=l,

47

————2_

【详解】(1)VBD=AD-AB=-AB+-AC,而8O=〃*B+〃AC，

m=-\

•••2,贝I」/〃+〃=」即为所求.

〃=一3

3

(2)・.・|明=2|。。，得AO=2OC，；・AC=；A。，

_______.3

又「AM=xAB+2xAC'AB+2x-AD=xAB+3xAD,

•・・M、B、。三点共线，・・・x+3x=l,则x=L即为所求4的值.

+工心恁=迎+4」863

44+(4。)4(/时+#0+—=

41644-4

・•・卜昨平,

同理可求：阚=｛初彳可=旧++*苧

・•・AMCM=—(A/^2--(AcV=--,

16、74V>4

AMCM后

cosZAMC=cosAM,CM=即为所求.

mMJCM17

17.(15分)“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学

生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问

题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段:[40,50),[50,60),……，

(1)求频率分布直方图中〃的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；

(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对

了〃道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.

(i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；

(ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为言，求〃的值.

【答案】(1)。=0.030,75

13

⑵⑴—；(ii)n=\0

4J

【详解】(1)由频率分布直方图有l()a=l-l()x(0.005+0.010x2+().02()+0.()25),

解得a=0.030,

因为10x(0.005+0.010+0.020)=0.35<0.5,0.35+0.030x10=0.65,

所以中位数在区间[70,80)内，设为工

则有10x(0005+0010+0020)+0.03x(x-70)=05,得

所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75：

(2)设人="任选一道题，甲答对“，8="任选一道题，乙答对”,

C="任选一道题，丙答对”,

则由古典概型概率计算公式得:P（A）q="尸（。）=白

NUJ~UJ/U

所以有尸（可4尸㈣=],p©=y,

JJ/U

（i）记。="甲、乙两位同学恰有一人答对”，

则有D=A3U38,且有A目与彳8互斥,

因为每位同学独立作答，所以A,/3G相独立，则A与8，彳与B,X与否均相互独立,

所以P（质u,b）=P（A用+P（M）=P（A）P伍）+P（Z）P（8）

332213

=—x—+—x—=——,

555525

所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1共3；

（ii）记石="甲、乙、丙三个人中至少有•个人答对”，则后=就，

所以P（E）=1-P（后）=1-P（旗）=1-P㈤?⑻P（C）

解得：〃=10.

18.(17分)在VA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(cosB+cosQ(cos8-cosA)=

sinC(sinC-\/2sin8)

(1)求角4的大小；

⑵若〃=3及，b+c=6,求VA8C的面积；

(3)若‘=&，a=石，。为8C的中点，求A。的长.

【答案】(1)£

⑵W

2

⑶姮

2

【详解】(1)(—8+34)(-8-854)=5皿。卜由。一＞/^118),即852^-cos2A=sin2C-V2sin/JsinC.

即sin2C+sin2^-sin2A=＞/2sinBsinC,也即c2+b2-a2=\[2bc

由余弦定理可得cosA=©U^=也，由Ae(O,万)，故4=f

2bc24

(2)由。=3应，b+c=6,由余弦定理可得：18=/+〃—2〃0＜孝=(。+〃)2-(2+0)加

解得：Z7C=9（2->/2）,所以s3Bc=g8csinA=当心

（3）由余弦定理可得：5=〃+2_2AX&X变，解得〃=3

2

乂D为8C的中点，则人。=g（AB+AC）

两边平方可得：|AM=；W+C2