高考数学大二轮复习专题七概率与统计第3讲概率随机变量及其分布练习理

第二篇专题七第3讲概率、随机变量及其分布

［限时训练-素能提升］

（限时50分钟，满分76分）

一、选择题（本题共£小题，每小题5分，共25分）

1.（2018•海口二模）某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为

40分钟，第一节课上课时间为7：50-8：30,课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他

在8：50-9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间小少于20分钟的概率是

A-|K4C-3D-2

解析他在8：50-9：30之间随机到达教室，区间长度为40,他听第二节课的时间不

少于20分钟，则他在8：50-9：00之间随机到达教室，区间长度为10,所以他在8：50

-9：30之间随机到达教室，则他听笫二节课的时间不少于20分钟的概率是#=/

答案B

2.（2018•湖南八校建考）甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的

422

及格概率为F乙的及格概率为4丙的及格概率为V则三人中至少有一人及格的概率为

A竺B@C，D空

75752525

4

解析设“甲及格”为事件儿“乙及格”为事件反“丙及格”为事件C,则尸（心=?

22—1—3—1——————

〃（夕=吊产（。=三，・•.尸（,4）=9P（8）=E，尸（。）=中则〃（［BC）=P（A）P（B）P（C）

53553

1311___24

=鼻乂鼻乂鼻=宏，，三人中至少有一人及格的概率Q1—，（力BC）=充故选D.

□□oZbZo

答案D

3.2018年高考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英

语成绩的频率分布直方图形状与正态分布M95,82）的密度曲线拟合.据此估计：在全市随

机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是

.B.|C.|D.|

解析由题意，英语成绩超过95分的概率是看所以在全市随机抽取的4名高三同学中，

恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是d-.仔.

答案I）

4.（2018•衡水模拟）《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节

目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从48,。和河北卫视这四家视听媒体的播

放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人

选择在河北卫视观看的概率是

A1B。C，一

28416

解析甲、乙两人从.4,反。和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4义4=16（种）

等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C；X3=6（种），

・•・所求概率为

10O

答案B

5.五个人围坐在•张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己

的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，

没有相邻的两个人站起来的概率为

AAB11c15D1

1632322

解析根据题意没有相邻的两个人站起来包括三种情况：5人都不站起来，或只有1人

站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为+

C（2）5=S-

答案B

二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

6.（2018•兰州模拟：）从装有除颜色外完全相同的3个白球和勿个黑球的布袋中随机摸

取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X已知加》=3,则〃O）等于.

解析根据题目条件，每次摸到白球的概率都是夕=3“，满足二项分布，则有以才

、

=/7P=5XT-3-=3,解得勿=2,那么〃（乃=即（1一2）=5X3：x，|1—3E=6m

3Imu\o

4G6

答案7

o

7.（2018•张家界三模）已知在［0,1］内任取一个实数x,在［0,2］内任取一个实数y,

则点（x,y）位于y=e'—1上方的概率为____.

解析由题意知，x,y满足的平面区域长为2,宽为1的矩形，面积为2,其中位于y

=e-l下方的点构成的区域面积为r（e*—l）dx=e—2,点（x,。位于y=e-l上方的概

e—24—e

率为夕=1—厂==一.

4-e

答案

8.甲、乙两位学生进行五了•棋比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结交.除

12

第五局甲获胜的概率是5外，其余每局比赛甲获胜的概率都是不假设各局比赛结果相互独立,

则甲以3：1获胜的概率为

解析解法一设各局比赛甲获胜的事件分别为儿B,aD,则所求概率—

，—,—、1222212222128

+P(AB⑦+P(ABC功=-X-X-X-+-X-X-X-+-X-X-X-=—

解法二设“甲以3：1获胜”为事件力，由各局比赛结果相互独立，得〃(力)=优停)2

(i-(H埸

O

答案历

三、解答题(本大题夫3小题，每小题12分，共36分)

9.(2018•全国卷I)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用

户之前要对产品作检验，皿检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任

取20件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品

的概率都为0(0VI),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f⑦,求f(p)的最大值点R；

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的R作为夕的值.已

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

3)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为箫求

EXx

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为次策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检

验？

解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为外0)=以/(1一夕)|8.因此F(p)=

Czo[2p(l—p)l8—18p"(l—p)'1]=2C2op(l-p)11(1—lOp).令f(夕)=0,得已夕£(0,)时，f1

(p)>0；

当夕，i)时，f的最大值点为R=o.i.

(2)由(1)知，p

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知V〜3(180,),

Z=20X2+25K,即2=40+2511所以/E(40+25D=40+25"=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于E3>400,故应该对余下的产品作检验.

10.(2018•北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概

率：

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“如一1”

表示第A类电影得到人们喜欢，“3=0”表示第4类电影没有得到人们喜欢仪=1,2,3,

4,5,6).写出方差〃(却)，4(兵),4(打),4(乙),4(打),〃(八)的大小关系.

解析(1)设“从电影公司收集的甩影中随机选取1部，这部电影是获得好评的笫四类

电影”为事件为

第四类电影中获得好评的电影为200X0.25=50部，0(/)=

_____________50________________50

140+50+300+200+800+510=2000=氏025,

(2)设“第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件反

P⑦=0.25X0.8+0.75X0.2=0.35.

(3)由题意可知，定义随机变量如下：

=(0,第★类电影没有得到人们喜欢

第4类电影得到人们喜欢

则兵显然服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：

第一类电影：

10

P

£(如)=1X0.4+0X0.6=0.4.

D(<i)=(1-0.4)2X+(0-0.4)2X=0.24.

第二类电影：

§210

P

f2)=1xo.2+0X0.8=0.2.

2=(1-0.2)2X+(0-0.2)2X=0.16.

第三类电影：

10

P

/?(乙

22

Z?<3=(l-0.15)X-F(0-0.15)X=0.1275.

第四类电影：

10

P

E{<,)=1X0.25+0X0.75=0.25.

Dix=(1-0.25)2X-I-(0-0.25)2X=0.1875.

第五类电影：

10

P

〃夕5=(1—0.2)2X+(0-0.2)2X=0.16.

第六类电影：

10

P

22

£(<6)=1XO.14-0X0.9=0.1.J9^6=(1-0.l)X-(0-0.l)X=0.09.

综上所述，〃-〉〃酊〉〃上=〃$5>〃->〃乙.(备注：两点分布的方差计算公式〃f二"(1

~P))

11.(2018•揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电.如

图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量解单位：万立方米)的频率分布

直方图(不完整)，已知1201,历年中日泄流量在区间「30,60)的年平均天数为156,

一年按364天计.

(1)请把频率分布直方图补充完整；

(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一

台发电机，如60W/90时才够运行两台发电机.若运行一台发电机，每天可获利润为1000

元；若不运行，则该台发电机每天亏损500元.以各段的频率作为相应段的概率，以水电站

日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站H利润的期望值最大，该水电站应安装多少台

发电机？

解析⑴在区间［30,60)的频率为噜空,磊=/方.设在区间［0,30)上，磊

3o4(组町/X3U/U组至口

=8,

则(a+而+赤+而)义30=1,解得”=丽,

补充完整的频率分布直方图如图所示.

(2)记水电站日利润为V元.由(1)知，无法运行发电机的概率为最恰好运行一台发电

391

机的概率为,恰好运行两台发电机的概率为7恰好运行三台发电机的概率为y.

①若安装一台发电机,则V的所有可能取值为-500.4ooo.其分布列为

Y-5004000

6

P

77

,、1623500

^(D=