高考数学总复习大题专项训练一 高考中的函数与导数

高考数学总复习大题专项训练一高考中的函数与导数

1.已知函数危)=lnx-三：

(1)讨论人r)的单调性，并证明人万有且仅有两个零点；

(2)设即是/U)的一个零点，证明曲线,y=lnx在点A(M),In&)处的切线也是曲线y=el的切线.

答案：⑴解,大幻的定义域为(0，+oo).

因为八、)W+品

所以7U)在区间(0,I),(I,+8)内单调递增.

因为<e)=l-山vO,y(e2)=2-鲁=手>0,

所以危)在区间(1,+8)内有唯一零点」,即«汨)=0.

510<-<1,/(-)=-lnxi+2=-於0=0,

X1%]41"]

故人幻在区间(0,1)内有唯一零点二.

xl

综上，,凡¥)有且仅有两个零点.

(2)证明因为工=eTnw,

xo

故点、3(-Inxo，2)在曲线y=ev上.

X。

J_I_x0+1

由题设知4m)=0，即lnxo=2,故直线AH的斜率人?二上

X-1-Inx-洵+,_x

O0x0

勺-17°

i曲线y=e•，在点"(InAD»工)处切线的斜率是工，曲线y=lnx在点人(刈，In人》)处切线的斜率也是工，所以

4040,工0

曲线y=lnx在点A(xo，In即)处的切线也是曲线),=ev的切线.

2.已知函数/)=*Tnx-2.

(1)若加=1,证明：存在唯一实数£©，1),使得八。二0；

(2)求证:存在0<〃?<1,使得<x)>0.

答案：证明⑴当/??=1时，y(x)=e'-Inx-2,/(x)=evx>0.

显线/(x)在区间(0,+8)内单调递增且图象是连续的，

义/仁)<0,八1)>0,故存在唯一实数仁6，1),使得八/)=0.

(2)f(x)=menLX-^=//z(emx-*).

由0</n<l,得八x)在区间(0,+8)内单调递增，由⑴得mxo=t时，/(xo)=0,

所以穴#在区间(0,XO)内单调递减，在区间。0，+8)内单调递增，

即氏x)的最小值为fix())寸(A)=e'Tnr+ln/n-2,

因为e'-工=0,

所以e'=-,t=-Int.

于是7Uo)C)=7+z+,n"?-2,

所以当Inm>2・&+£)时，./U))>0.

Xik=2"(I+t)<0,故当加£(e,1)时成立，因此，存在Ov〃?<l,使得火x)>0.

3.设函数/(x)=acos2x+(a・l)(cosx+l),其中a>0,记出切的最大值为4.

⑴求八幻；

⑵求A；

(3)证明［f(x)区24.

答案:⑴解f(x)=-2asinlx-(a-l)sinx.

⑵解(分类讨论)当a>\时，

|/(j)|=|acos2x+(a-l)(cosx+l)|

<a+2(a-l)=3a-2=fiO).

因此4=3a-2.

当0<a<l时，将./U)变形为

/(x)=2acos2x+(tt-1)cosx-1.

(构造函数)

g(t)=2ai2+(a-l)z-L则4是|g(f)|在区间［T,1］上的最大值,

g(-l)=a,g(l)=3a-2,且当片彳/时，g(/)取得极小值，极小值为8(53)二一-1=-

令7<小<1,解得(舍去)，a>1.

4a35

(/)当Ovag时，g⑺在区间(7,1)内无极值点，|g(-l)|二a,|g(l)|=2-3a,|g(-l)|〈|g(l)|，

所以A=2-3a.

(力)当;<a<l时，由g(7)・g(l)=2(l-a)>0,

知以-i)>g(i)>g(W)

又g

a2+6a+l

所以A=g

8a

2-3a,0<a<-,

综上，A=

13a-2,a>1.

(3)证明由(1),得［f(x)|=|-2asin2x-(a-l)sinx|<2a+|a-11.

当Ovagg时，+a<2-4a<2(2-3a)=24.

当*<1时，人或+*+?，

所以l/V)区l+a<24.

当a>l时，|f(x)|<3a-l<6a-4=24.

所以l/V)区2A.

4.已知函数y(.v)=ar-ax-xlnx,且y(.v)>0.

⑴求a：

(2)证明：£r)存在唯一的极大值点向，且erqaoXZN

答案：⑴解凡v)的定义域为(0，+oo).

设g(x)=ax-aTnx，则人幻=用(力，1Ax)K)等价于g(x)X).

因为g(l)=0,g(x)K)，故身'(1)=0,而g'(x)=ag'(l)=o-l,得a=l.

若a=l,则g'(x)=l当04V1时，g'a)v。，g(x)单调递减；当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递噌.

所以x=1是g(x)的极小值点，故g(x)>g(1)=0.

综上，a=\.

(2)证明由(1)知<x)=f-x-x\nx,f[x)=2x-2-Inx

设力(x)=2x-2-Inx,则力'(x)=2

当上E(0,J时，h'(x)<0；当+8)时，hQ)>0.

所以Mx)在区间(0,J内单调递减，在区间G，+8)内单调递增.

又恨一2)>0,陪)<0，Ml)=0,所以/心)在区间(0,3内有唯一零点X0，在区间慨，+8)内有唯一零点

1,且当x£(0,&)时，/z(x)>0；当x£(xo，1)时,〃(x)<0；当xE(l,+oo)时，/?(x)>0.

因为f(x)=/?(x),所以X=A-0是/(X)的唯一极大值点.

由f(xo)=O得lnxo=2Qo-1)，故加0)=的(1・xo).

由即e(0,1)得Aw)q.

因为x=xo是/W在区间(0,1)内的最大值点,由er£(0,1),/[e”0得人x0)习心i)=e2.

所以e'2</(XO)<2'2.

5.已知函数凡r)=xe。-9+1,其中f£R,e是自然对数的底数.

(I)若方程/U)=l无实数根，求实数/的取值范围；

(2)若函数«r)在区间(0,+8)内为减函数，求实数/的取值范围.

解析：⑴由艮x)=I,得xew=eA»

即x=Z1P>0,故有业=1-t.

X

令g(x尸手，则g'(x)=T=

由g'(x)>0,得O〈x<e；

由g'(x)<0,得％,e.

故g(x)在区间(0,e)内单调递增，

在区间(e,+8)内单调递减.

因此，g(X)max=g(e)=，，

所以ga)的值域为(-8，3]，

・••在(1)的条件下,於),g(x)+1

(3)解假设存在正实数4,使贝戈尸奴-ln«r£(o,e])有最小值3,

^f(x)=a-1=^-1,

①当0<《<e时，府)在区间(0,J内单调递减，在区间6，e]上单调递增，l/U)]min=/C)=l+hi”3,

〃士?，满足条件；

②当：次时，危)在区间(0,e]上单调递减，=J1e)=ae-1=3,a[(舍去).

综上，存在实数a=e?,使得当x£(0,e]时_/U)有最小值3.

7.己知函数段)二4+软心0,/?>(),存1,厚1).

⑴设。=2,/?=1.

①求方程yu)=2的根；

②若对于任意R,不等式八20沙次x)-6恒成立，求实数〃?的最大值；

⑵若0<〃<1,b>\,函数g(x)=g)-2有且只有1个零点,求ab的值.

解析：⑴因为々=2,吟所以/2=2"2咒

①方程大幻=2,即2、+2"=2,亦即(2*)2-2x2'+1=0,

所以(2、-1)2=0,

即2、=1,解得x=0.

②由条件知/(2¥)=2筋+22X=(2X+2v)2-2=(J(x))2-2.

因为犬21巨切声)-6对于R恒成立，且«r)>0,

所以〃£(八：9+4对于t£R恒成立

/(x)

而幽臼j府王-4,且皿土一4,

f(x)八f(xr/f(x)f(o)

所以m<4,故实数m的最大值为4.

(2)因为函数g(x)M%)-2有且只有1个零点，

而g(O)MO)-2=a°+b0-2=0,

所以0是函数g(x)的唯一零点.

因为g'(x)=a'lna+b^nb,

又由Ovqvl,”>1知lna〈O,Inb>0,

所以g'(x)=O有唯一解xo=logb(-器).

令h(x)=g'(x),则hq)=(dlna+Z/lnb)-av(lna)2+b\\nb)2,

从而对任意x£R,AU)>0,

所以g'(x)=〃(x)是(-8，+8)内的增函数.

于是当x£(-8,xo)时，g'(x)<gUo)=O：当x£(松,+oo)时，g'(x)>g'(必)=0.

因而函数g(x)在区间(-8,⑹内是减函数，在区间(Xo，+00)内是增函数.

下证xo=0.

若觉<0,则出<f<0,

于是痣)%(())=().

5Lg（lo&2）=ai0ga2+Roga2-2＞aioga2-2=0,且函数g（x）在以蓝和log〃2为端点的闭区间上的图象不间

断，所以在手和log〃2之间存在g（x）的零点，记为汨.因为0＜。＜1,所以log/2＜0.又多＜0，所以X1V0，与“0

是函数g（x）的唯一零点”矛盾.

若出＞0，同理可得，在:和log立之间存在g（x）的非。的零点，矛盾.

因比，xo=O.

于是普=1,

\nb

故Ina+lnb=0,

所以ab-\.

8.已知函数危）=sinx-ln（l+x）,/（幻为«r）的导数.证明：

（1犷。）在区间（・1，9存在唯一极大值点：

（2双丫）有且仅有2个零点.

答案:证明（1）设g（x）=j\x）,

独Jg（x）=cosx.左，g'（x）=-sin.r+^^.

当x£（-l,3时，g。）单调递减，

而g'（0）＞0,g'C）＜。，

可得g。）在区间（-1,以内有唯一零点，设为a.

则当xW（7,a）时,g3＞0；

当人£（a，5）时'g'a）v°.

所以g（x）在区间（7,a）内单调递增，在区间（a,内单调递减，故g（x）在区间（-1,以内存在唯一极大

值点,

即外幻在区间（-1,§内存在唯一极大值点.

（2双r）的定义域为（・1,+oo）.

（1）当x