高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.10统计概率和其他专题综合(精讲)(原卷版+解析)

9.10统计概率和其他专题综合

【题型解读】

【题型精讲】

【题型一统计概率和函数综合】

例I（2023•华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采

样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病.对于MnwN"）份血

液样本，有以下两种检验方式L是逐份检验，则需检验〃次.二是混合检验，将〃份血液样本分

别取样混合在i起，若检验结果为阴性，那么这〃份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检

验结果为阳性，为了明确这〃份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则〃份

血液检验的次数共为〃+1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为#万（0<〃<1）,而且各体检

人是否患该疾病相互独立.

Q

（D若p=1,求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；

（2）某定点医院现取得6位体校人的血液样本，考虑以下两种检验方案：

方案一:采用混合检验；

方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检脸.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优〃.试问方案一、二哪个更“优〃?请说明理由.

例2为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各

自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示:

甲型号减排器乙型号减排器

减排器等级及利润率如下表，其中

综合得分攵的范围减排器等级减排器利涧率

4之85一级品a

75<k<85二级品5"

70<k<75三级品a-

（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4

件，求至少有2件一级品的概率;

（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则:

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数自的分布列及数学期望E©；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

【题型精练】

1.（2023•贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠

状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据

统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为〃.现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可

以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合

样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，

无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案

三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期

望值越小，则方案越“优”.

(1)若〃=：，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

(2)若,=(1-〃)'，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求f的取值范围.

2.(2023•全国高三课时练习)象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简

单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，"马起盘格势，折冲千

里余.江河不可障，飒沓入敌虚〃将矩形棋盘视作坐标系xOy,棋盘的左下角为坐标原点，马每一步

从①y）移动到*±1，y±2）或（x±2,y±l）.

（1）若棋盘的右上角为（4,4）,马从（0,0）处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方

向移动，求其4步以内到达右上角的概率.

（2）若棋盘的右上角为（16,15）,马从（1,0）处出发，每一步仅向+后+>方向移动，最终到达

棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段y=x-\（2<x<16）上次数

X的数学期望.

【题型二统计概率和导数综合】

例3（2023•四川模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制〃（即有一支球队先胜3局即

获胜，比赛结束）.在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为〃（0<〃<1）.

（1）若〃=：,比赛结束时，设甲获胜局数为X,求其分布列和期望E（x）；

（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为/（〃），求/（力的最大值.

例4（2023•武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30口发布数据显示，2019年9月中国制造业采购

经理指数（PA〃）为49.8%,反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、增材制造、医

疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前

的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布

NgG2）,并把质量差在3-0，N+O）内的产品称为优等品，质量差在3+。，N+2B内的产品

称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中

随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

频率

（I）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数亍作为N的近似

值，用样本标准差S作为。的估计值，记质量差X~N（wG2）,求该企业生产的产品为正品的概率

P:（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

（2）假如企业包装时要求把2件优等品和〃（〃之2,且〃£“'）件一等品装在同一个箱子中，质检员

从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,否则该箱产品

记为B.

①试用含〃的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率〃；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为8的概率为了（P）,求当〃为何值时，/（P）取得最大值，并求出

最大值.

参考数据：若随机变量自服从正态分布N（pi,o2）,贝U：尸也一。〈自工［1+。）*（）.6827,

P（u-2ov臼1+2o）R0.9545,2也一3o<自W卜1+3。）«0.9973.

【题型精练】

1.（2023•石家庄模拟）某种疾病可分为I、H两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机

抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患1型病的人数占男性病人的。，女性患I

O

型病的人数占女性病人的g.

（1）若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有

多少人？

（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周

期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为每人每次接种花费，〃（加>0）

元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则

需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次

接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为每人每次花费〃（〃>0）

元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后

终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独上当

〃=：〃?，〃=9时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正

确的.

n(ad-bc)~

附：K2=

(a+b)(c+(J)(a+c)(b+d)

P(R2次)0.100.050.010.0050.()01

k。2.7063.8416.6357.87910.828

2.（2023•临沂二模）某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专

家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立.

3

（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为7,专家乙评定为“可靠”的概率为

4

4

不，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”.现随机抽取4

台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为％求乃的分布列和数学期望；

（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每

位专家评定为“可靠”的概率均为夕且每台仪器是否可靠相互独立.只有三位专家都评定仪

器可靠，则仪器通过评估.若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回研究所

返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现

以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合

理？并说明理由.

【题型三统计概率和数列综合】

例5（2023•唐山二模）足球是一顷大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打

响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

⑴为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2x2列联

表如下:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值。=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？

⑵校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都

等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传

球的人为第1次触球者，第〃次触球者是甲的概率记为匕，即4=1.

（/）求A（直接写出结果即可）;

（力）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.

例6（2023・山东・临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体

育工作的意见》，完善学校体育"健康知识+基本运动技能+专项运动技能〃教学模式，建立“校内竞赛

一校级联赛一选拔性竞赛一国际交流比赛"为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国

家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球"深受同学们喜

爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮

甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1

分；两人都命中或都未命中，两人均得。分，设甲每次踢球命中的概率为!，乙每次踢球命中的概

2

2

率为y,且各次踢球互不影响.

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望；

（2）若经过〃轮踢球，用P,表示经过第/轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率.

①求Pl，Pl，；

②规定Po=0,且有Pi=Api+i+Bpi,请根据①中A,p2,P3的值求出A、

B,并求出数列｛〃〃｝的通项公式.

【题型精练】

1.（2023•高三课时练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口

袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为无，恰有2个黑球的

概率为自，恰有1个黑球的概率为仇.

（1）求0•S和。•内

（2）求24+仇与力与的的递推关系式和尤的数学期望£（%）（,书〃表示）.

2.（2023•广东高三模拟）《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六

门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为AB+,B,C+,C,DJD,E八个等级.参照正态分布原则，确定

各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成

绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到

[91,100],[81,90],[71,8。],[61,70][51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.

考试科目：地理

考试成境；61分

成绩区间：C懵圾

区间分数：58-69分

转换分效区间：61To分

假设小朋转换后的等级成绩为“,

69-6170-x

61-58-x-61

x=6345=63（四舍五入取整）

某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依

据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下

成绩93919088878685848382

人数1142433327

（1）从物理成绩获得等级A的学生中任取3名，求恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率；

（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放I可的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩

等级为B+或A结束（最多抽取KXX）人），设抽取的学生个数为4,求随机变量4的数学期望（注：

O.9,o（x,«1.7x1O-46）.

9.10统计概率和其他专题综合

【题型解读】

【题型精讲】

【题型一统计概率和函数综合】

例1（2023•华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，

需要对其血液采样进行化睑，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有

该疾病.对丁〃（〃£N’）份血液样本，有以下两种枪验方式:一是逐份检验，则需检

脸〃次.二是混合检验，将〃份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴

性，那么这〃份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了

明确这〃份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则〃份血液

检验的次数共为〃+1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为y7（0<〃<1），

而且各体检人是否患该疾病相互独立.

（1）若p=1,求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；

（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：

方案一:采用混合检验；

方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越〃优〃,试问方案一、二哪个更“优〃?请说明理由.

答案：见解析

【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是

Q1

根据对立事件可得，阳性的概率为1一§二§

（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X,则X的可能取值为

1,7

尸(x=i)=(y^『二〃2；尸(x=7)=i-〃2,其分布列为:

X17

Pp-I”

则E(X)=7-6p2,

方案二油题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1,概率为

(咐=p，若阳性，则检测次数,4,概率为1-p,

方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2,5,8,

p(r=2)=/?；p(y=5)=c^(i-p)=2p(i-p)；p(r=8)=(i-p)2；

其分布列为：

Y258

2

P2p-2P2（i-P）2

则E（r）=2p2+5（2p-2p2）+8（l-p）2=8-6p,

E（y）-E（X）=8-6p-（7-6p2）=6p2-6/7+l,

当0<〃〈三比3+6

或<P<1时，可得£（x）<E（r）,所以方案一更“优〃

~6~

当〃=三避或〃=土芭时，可得E(x)=E(y),所以方案一、二一样“优"

66

当上正<〃<亘史时，可得E(y)<E(x),所以方案二更“优〃.

66

例2为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙

两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如

图所示：

甲型号减排器

减排器等级及利润率如下表，其中:

yo

综合得分攵的范围减排器等级减排器利润率

k>35一级品a

75<Jl<85二级品5/

7OW4V75三级品«2

（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中

随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；

（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数《的分布列及数学期望E（。）：

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

答案：（1）=；（2）①二级品数g的分布列见详解.，E（g）=［：②投资乙型号减排器的平

424

均利润率较大.

【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，

甲型号减排器中的一级品的概率为0.08xx5=0.6,

分层抽样的方法抽取10

则抽取一级品为10x0.6=6（件）

则至少有2件一级品的概率，

C2+C：C；+C：_37

尸一一和

（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，

7

乙型号减排器中的一级品的概率为工，

二级品的概率;,

三级品的概率为:1

若从乙型号减排器随机抽取3件,

则二级品数4所有可能的取值为且&.（3,1）,

°27

所以〃e=o）=G）

5~64

27

pq=i)=G3

4;64

P(J=2)=C；(4)Ki*

“PM卷

所以g的分布列为

0123

272791

P

64646464

所以数学期望:

rv八八27127c9213

E(A)=0x—+1x—+2x—+3x—=一；

’646464644

②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值:

片=0.64+0.4x5/=2a2+0.6。；

乙型号减排器的利润的平均值:

13，7

-104201010

1

…乙」一a—’又产<屋

12101010I7

则E\<E”

所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.

【题型精练】

1.（2023•贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中

央应对新型冠状病毒感染帏炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范

围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为〃.现

有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在•起

化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用

的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有

以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：

6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化

验次数的期望值越小，则方案越“优”.

（1）若〃=；，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率;

（2）若y（l-p））现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时,

求/的取值范围.

答案：（1）普；金）

66

【解析】（1）用X表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量

(2665

由题意可知：尸(X21)=|-P(K=0)=1-C(3J

729

答：6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为磊.

（2）方案二：混合一起检验，记检验次数为4,则4=1,7.

.•.「(《=])=产，p(^=7)=l-z2,

Z.E«）=r2+7（l-r）=7-6r.

方案三：每组的三个样本混合在•起化验，记检验次数为〃，则"=2,5,8.

・,•尸0=2）=产,P（7=5）=2/（l-f）,P（〃=8）=（1—）2,

ES）=2〃+10«17）+8（1-f-=8-6r,

•J£:（〃）<，.\8-6/<7-6/2,A6/2-6r+l<0.・,.七史〈，<之至，

66

・•.r的取值范围土史<，<小史.

66

2.（2023•全国高三课时练习）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历

史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要

的棋子，"马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒杳入敌虚''将矩形棋盘视作坐标系

xOy,棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从（x，y）移动到U±l,y±2）或

（x±2,y±\）.

（1）若棋盘的右上角为（4,4）,马从（0,0）处出发，等概率地向各个能到达（不离

开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.

（2）若棋盘的右上角为（16,15）,马从（1,0）处出发，每一步仅向+8+），方向移

动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段

y=x-l（2<x<16）上次数X的数学期望.

答案：见解析

【解析】（1）解：从（0,0）出发4步以内到达（4,4）且不出棋盘的走法共有8种,

中4种为:

另外4种与以上4种关于直线y=x对称.

对于以上4种，记第，•种路线的概率为匕，贝IJ：

1111

—x—x—x—=---

p2=

26261442646288

/>=lxlxlx11

26462882646288

短尸高

因此总概率为2X(-+3X

(2)解：设马有机步从(x，y)走到(x+1，y+2),〃步走到

(x+2,y+\).

m+2??=16-1rn=5

则，解得

2m+n=15-0n=5

即马共走了10步,总路径数为党=252.

路径上经过的点可能在线段上的有(4,3),(7,6),(10,9),(13,12),(16,15),共5个.

因此X=1,234,5.

…八2x1412x(C；xlO)+2x(2x4)_2

因此P(X=D=-^=-,P(X=2)=

9

2X(22X4)+22X4+2X23+23!--4)二审哈

P(X=3)=

Go7Go63

【题型二统计概率和导数综合】

例3(2023•四川模拟)例乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”(即有一支

球队先胜3局即获胜，比赛结束).在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率

都为，

(1)若〃，比赛结束时，设甲获胜局数为X,求其分布列和期望E(x)；

(2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为了(〃)，求/(〃)的最大值.

答案：见解析

【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3,

则P（x=o）=©$P（x=i）=c；©4,P（X=2）=C^1J=A.

尸（X=3）=（£f+G©+C*）E

随机变量X的分布列如下:

X0123

]_33

P

816162

,I33133

则£（X）=0x—+lxj2x，+3x—二二

v781616216

（2）解:甲队只胜一场的概率为〃p）=C；p（l—〃丫，

则/（〃）=6［（1—〃）、3〃（1—〃『（一川=3（1—〃『（1—4p）.

故当0＜〃＜；时，/（p）＞0,〃p）递增；

当;时，/（〃）＜0，〃P）递增；

则〃p）,3=/（a卜旃

例4（2023・武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30L1发诈数据显示，2019年9月

中国制造业采购经理指数（必〃）为49.8%,反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新

能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制

造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据

长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N（N，o2）,并把质量差在

也一。，H+O）内的产品称为优等品，质量差在（N+。，N+2。）内的产品称为一等品，

优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品

中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(I)根据大量的产品检测数据，检杳样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数

元作为日的近似值，用样本标准差S作为。的估计值，记质量差X~N3,o2),求该

企业生产的产品为正品的概率P；(同•组中的数据用该组区间的中点值代表)

(2)假如企业包装时要求把2件优等品和〃2,且〃EN,)件一等品装在同一个

箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则

该箱产品记为A,否则该箱产品记为B.

①试用含〃的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率P;

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为8的概率为/(〃)，求当〃为何值时，/(〃)取得最

大值，并求出最大值.

参考数据：若随机变量自服从正态分布N(R,o2),则：

尸3-o<^<p.+G)«0.6827,PQ-2。v&«卜1+2a)«0.9545,

的一30cgi+3o)=0.9973.

答案：见解析

【解析】(1)解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为:

x=0.010x1Ox46+56+0.02()xl()x5+66+0.045xl()x——+0.020xl()x

222

76+86八八86+96._

+0.005x1Ox=70,Lip|i«x=70,

2---------------------2

样本方差『=100,故877=10,所以X〜N(70,l()2),

则优等品为质量差在3-。，N+。)内，即(60,80),

一等品为质量差在(四+。，卜1+2。)内，即(80,90),

所以正品为质量差在(60,80)和(80,90)内，即(60,90),

所以该企业生产的产品为正品的概率：

P=P(60<Xv90)=P(60<X<80)+P(80<X<90)=-x(0.6827+

2

0.9545)=0.8186.

(2)解：①从〃+2件正品中任选两个，有C二种选法，其中等级相同有C+C；种

选法,

C；+C；,一〃+24/2

・♦・某箱产品抽检被记为B的概率为:-----------=1----------------=--------------

+3〃+2/广+3〃+2

②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为〃，则5箱产品恰有3箱被记为B的暇率

为

/(P)=C；p3(l—〃)2=10p3(l—2p+p2)=10(p3—2p4+p5),

所以.(P)=10(3p2-8P3+5p4)=10p2(3—8p+5P2)=10p2(p-l)(5p-3)，

3

所以当〃E(0,7时，八〃)>0,函数/(P)单调递增，

当〃e(|,i)时，r(p)<o,函数/(P)单调递减，

所以当〃=3时，/(〃)取得最大值，最大值为了《)=或'(33、(1-3)2=当

5555625

4〃3

此时P=—；----=T»解得：〃=3，

7+3〃+25

・・・〃=3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为生.

625

【题型精练】

1.(2023•石家庄模拟)某种疾病可分为I、II两种类型.为了解该疾病类型与性别的关

系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患I型病

的人数占男性病人的女性患I型病的人数占女性病人的!.

(1)若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求

男性患者至少有多少人？

(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多

安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为

p(0<p<l),每人每次接种花费〃?(〃a())元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2

次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再

进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结

束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为以0<“<1),每人每次花费〃(〃>0)

元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则

该周期结束后终止试验，否则进入第一个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗

体与否均相互独立.当〃=：2〃7，〃二"时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司

选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.

n(ad-bc)2

(〃+》)(<?+d)(a++d)'

2

P(K>k0)0.100.050.010.0050.001

k.2.7063.8416.6357.87910.828

答案：（1）12：（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.

【解析】（1）设男性患者有z人，则女性患者有2z人，列联表如下:

I型病II型病合计

5zZ

男Z

~66

2z4z

女TT2z

3z3z

合计~2~23z

要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,

。（5z4222zV

3z—x-----x一

则不=3_6"=幺>7.879,解得Z>IL8I85,

3z3z.3

—x—x2zxz

22

vf€Z,，z的最小整数值为时,因此，男性患者至少有12人；

63

(2)设甲研发团队试验总花费为X元，则X的可能取值为4〃八5〃2、6ni,

'：P(X=4/H)=p~-p1=//,P(X=5/7/)=/?2-(l-/?)2=2(p2

P(X=6/n)=(l-/r)2=p4-2p2+l,

/.£(%)=+10〃?(-〃4)+6〃?(一2P2+1)=—2mff+6m,

y=-Imp1+6m在(0,1)递减，/.E(X)>4m,

设乙研发团队试验总花费为y元，则y的可能取值为3〃、6«,

/.P(Y=3/7)=隔2(［一4)+/=一2"+3q2,P(Y=6〃)=1+2^-3",

/.E(V)=3n-(-2"+3g?)+6〃•(1+2娟—3g?)=一9nq2+6〃,

设），=6〃/-9〃炉+6〃，=3〃（6/-6乡）=18M何-1）＜0,

函数y=6*9叩2+6〃在（0,1）递减,E（Y）＜6〃=4m,/.E（X）＞E（P）恒成立,

所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.

2.（2023•临沂二模）某医疗研究所新研发了•款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究

所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独也.

3

（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为；，专家乙评定为“可

4

4

靠”的概率为不，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定

为“不可靠”.现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数

为尤求X的分布列和数学期望；

（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若

每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为夕）,且每台仪器是否可靠相互

独立.只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估.若三位专家评定结果都为不可

靠，则仪加报废.其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，

若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪

器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明

理由.

答案：（1）分布列见解析，E（X）='|：（2）该预算合理，理由见解析.

342

【解析】（1）记事件4一台机器被评定为不合格，则P（A）=1-二＞＜===,

455

题意知¥的所有可能取值为0，1,2,3,4.

由题意得：X~8（4,|）,

所以尸（X=Q=C「|）仁）（&=0.1,2,3,4）,

P（X=O）=嘿）咽=磊P（X=D=呜X0=患

?（X=2）Y目*®嗡,P（X=3）=C：gJxgV_96

>=625,

P（X=4）=（|）'=卷.

故随机变量1的分布列为：

X01234

812162169616

P

625625625625625

2X

从而七(X)=〃p=4xw=s

JJ

(2)该预算合理.理由如下：

设每台仪器用于评估和维修的费用为y元，则y的可能取值为loo,400.

P(y=100)=//+(1-“)3,P(Y=400)=l-p3-(l-〃)3.

所以石(丫)=100(〃3+(1一/»3)+400(|一〃3一(1一〃)3),

化简得E(y)=4OO-3OO(〃3+(]_p)3),

令/(〃)=400-300(//+(1-p)3),PG(0,1)

广(〃)=-300(3p2_3(1—p)2)=-300(6/?-3),

令八〃)=-300(6…=0解得〃J

当"(0，＞r(P)＞0,/(P)在〃《0，£(单调递增，

当r(p)〈o,/(P)在〃叫,1)单调递减，

所以当〃时，/(P)的最大值为/(；)=325.

实施此方案，100台抽检仪器的费用期望值最高为1(X)x325=32500元＜33(XX)元，因此该

预算合理.

【题型三统计概率和数列综合】

例5(2023•唐山二模)足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年

11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

⑴为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，

得到2'2列联表如下：

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值。=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?

⑵校足球队中的甲、乙、丙、「四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传

球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定

每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第〃次触球者是甲的概率记为

匕,即4=1.

(/)求P、(直接写出结果即可)；

(0)证明：数列［匕-为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大

小.

答案：(1)喜爱足球运动与性别有关

(2)(/)(")证明见解析，甲的概率大

【解析】(1)假设“。：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关.

根据列联表数据，经计算得

=200x(60x8。-20x4。尸=100>1()828=

100x1(X)x80x1203

根据小概率值。=0.001的独立性检验，我们推断不成立，

即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.

(2)

(/)由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中

的一人，故传给甲的概率为:，故A=；.

aJ

(")第〃次触球者是甲的概率记为2,则当〃22时,第〃-1次触球者是甲的概率为2-

第〃-1次触球者不是甲的概率为1-，

则匕=%o+(i—一匕3

JJ

从而*W，

乂片一L=1,是以1为首项,公比为一?的等比数列.

444J43

则-%

89

.D3f1Y11D3(1V11

1940；444{3)44

%>与)，故第19次触球者是甲的概率大

例6(2023・山东・临沂市兰山区教学研究室高三开学考试)为落实《关于全面加强和改进

新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技

能〃教学模式，建立“校区竞赛一校级联赛一选拔性竞赛一国际交流比赛〃为一体的竞赛

体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光

体育节〃活动，其中传统项目“定点踢足球"深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行

足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一

位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1

分；两人都命中或都未命中，两人均得o分，设甲每次踢球命中的概率为!，乙每