高考数学一轮复习讲义空间向量的应用教师

课题：空间向量的应用

知识点

1.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算

空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点。为原点，建立三条两两垂直的数轴：X轴，y轴，Z轴.这时建立了一

个空间直角坐标系Ox产.其中点0叫做坐标原点，X轴.歹轴.2轴统称坐标轴.由每两个坐标轴确定的平

面叫做坐标平面.

(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出)，轴的正方向时，中指指向z轴的

正方向.

(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,

y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

2.空间两点间的距离公式：设点,4(xi,y\,zi),B(X2,加Z2)»则|48|=(xi-.V2)2+(yi~yi)2+(zi-Z2)2.

【注1】

1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示.

2.中点向量公式。必=；(以+方)，在解题时可以直接使用.

3.证明空间任意三点共线的方法：对空间三点P,A,4可通过证明下列结论成立来证明三点共线.

(1)方=痂；

(2)对空间任一点O,OP=OA+t~AB；

(3)对空间任一点O,OP=xOA+yOB(x+y=\).

4.证明空间四点共面的方法：对空间四点P,M,48可通过证明下列结论成立来证明四点共面

(1)MP=xMA+yMB；

(2)对空间任一点O,OP=OM+xMA+y^IB；

(3)对空间任一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)；

(4)~PM//JB(或苏〃荻或万〃万7).

【注2】

1.当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；

2.当异面直线所成的角为a时二常利用它们所在的向量转化为向量的夹角。来进行计算.应该注意的是

aG(0,—],Oe[O,;r],所以cosa=|cos61=卜

2⑷

3.立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据同=/转化为向量求解.

【注3】

1.求向量的数量积的方法：

(1)设向量。，力的夹角为仇则。协=[0悯cos仇

(2)若“=(xi»yi，zi)»b—(X2»Z2),贝!Jq・b=xiX2+y"2+ziZ2.

根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算.

2.求向量模的方法：

(1)0|=\如2；

(2)若a=(x,y,z),则同=2/+/+22.

3.空间向量的坐标运算

(1)设八人〃为两两垂直的单位向量，如果加=J+y7+z1,则(x,乂z)叫做向量的坐标.

(2)设“=(XI，.力，Z1),b=(X2»户，Z2),那么

①。"=(X]±x2,yl±y29zl±z2),

+zz

®ab=x]x2+必乃\2'

③COS5b)=,砧+乃+"2.

ylx^+y^+z^yjx^+y^z^

®H=aa=&+)j+Z]2,

⑤7。=(2X],%M，4Z1).

©a//h^>x]=Ax2,y]=^y2,z}=Az2(1ER),

⑦

4_1_方。XIX2+)\y2+乎2=0.

(3)设点跖(XI，yi，Zl)>Ml(X2，»2，Z2)，则|/必也21=>/。2—阳)2+(%—必I+0—2]产

【注4】

1.两条异面直线所成的角

①定义：设4,b是两条异面直线，过空间任一点O作直线加b'//b,则加与b‘所夹的锐角或直

角叫做4与b所成的角.

②范围：两异面直线所成角0的取值范围是(0,工].

2

a­h

③向量求法：设直线。，6的方向向量为a,b,其夹角为0,则有COS0=|cos夕|=|=———|.

|。|・|回

2.直线与平面所成角：直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为

n,直线/与平面a所成的角为两向量。与〃的夹角为仇则有sins=|cos。|=

同I川

3.二面角：求二面角的大小

①如图1,AB.CO是二面角a—/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=<AB,CD）.

②如图2、3,E，元分别是二面角。一,一夕的两个半平面处夕的法向量，则二面角的大小。=<勺,〃2>（或

万一<〃].〃2〉）•

4.利用向量求空间距离：空间向量的坐标表示及运算

（1）数量积的坐标运算设4=（⑶，S，。3），b=（力，bl，&），则

①a±b=（m±bi,。2土力2,。3±九）；

②）£=（Z671,助2，X6F3）；

®ab=a\b\-\~ayby.

（2）共线与垂直的坐标表示：设4=（41，472»。3），b=（bi，bi，by）,

则“〃/劝Oai=2/>],。2=为，a3=Aby（2£R）,力=0。41历+。力2+0363=。

（a,人均为非零向量）.

（3）模、夹角和距离公式：设。=（41,。2，43），b=（bl，b],b3），则同=\；兀^=1臼+质+标，

。18+。2历+。3力3

cos(a,b)设/（41，bl，Cl）»B（。2，62，C2），

Ia11山计质+山、方+屈+岳

22

则=|481=yl（a2-ci}）~+（h2-bi）+（c2—c^}.

点面距的求法：如图，设48为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，则8到平面a的距离d=曲1

【注4】

1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角：二是在异面直线上各取一向量，转

化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范闱的限定.

2.利用直线的方向向量的灾角求异面直线的夹角时，注意区别；当异面直线的方向向量的夹角为锐角或

直角时，就是此异面宜线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的

角.

【注5】

1.利用向量法求线面角的方法

（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取

~BCc7E_730

cos<BC[,AE>=

|殒荏「IF'

所以异面直线8G与力£所成角的余弦值为

例3如图，石是以43为直径的半圆O上异于48的点，矩形48CQ所在的平面垂直于半圆O所在的平

面，,0.AB=2AD=2a0

(1)求证：EALEC.

7T

（2）若异面直线4E和。C所成的角为一，求平面Z）C£和平面4E8所成的锐二面角的余弦值。

6

而

【答案】（I）详见解析：（1【）二

7

【解析】（I）•••平面/垂直7圆。所在的平面，两平面的交线为48,3cq平面48。。，BCLAB.

・・・8C垂宜于圆。所在的平面.又£4在圆。所在的平面内，・・・8C_L".丁N/E8是直角，，BELEA,

如图，以点0为坐标原点，所在的直线为y轴，过点O与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标

7TTT

系。一刃N.由异面直线力E和。C所成的角为一，ABHDC%4BAE=-

66

7t

・•・2BOE=-

3

1uuirV33

45〃,0),由题设可知。(0,4,4),£)(0,-%々)，/.DE=(-^-a,-a,-a),

uur,31u

CE=(方-%-亍/,-〃).设平面OCE的一个法向量为p=(x0,y0,z0),

UUUUUUIUL

由DE•p=0,CE•p=0得z。=~^~Xo,y0=0,取x0=2,得Zo=j3.

if1irr72?

・・・p=(2,0,j3).又平面4七8的一个法向量为4=(0,0,1),，。05<〃,夕>=、一.

平面。CE与平面力E8所成的锐二面角的余弦值匚.

7

例4如图，已知多面体力8C4BiG，A\A,B\B,GC均垂直于平面"C,ZABC=\20Q,小力=4,CiC=l,

AB=BC=B\B=2.

(1)证明：AD_L平面43iG；

(2)求直线4G与平面4881所成的角的正弦值.

【答案】(I)见解析

(H)搜

13

【解析】

方法一:

(【)由AB=2,AA]=4,BB,=2,AA】J_1AB得AB】=A1B1=2也,

所以A]B：+AB；=AA；

故ABL

由BC=2,BB]=2,CC]=1,BBj■LBC,CC]1BC得B©=6

由AB=BC=2/ABC=120°得AC=2小，

由CC]1AC,得Ag=^,所以AB：+B]C；=AC；，故AB]JLB£.

因此AB—平面AFC.

(II)如图，过点C]作C[DJLA]B],交直线AR】于点D，连结AD.

由AB[，平面A[B]C[得平面A]B[C]_L平面ABB”

由C】DJLAR[得C】D，平面ABB1,

所以NC]AD是AC1与平面ABB1所成的角.

由BC=\6,A[B]=2\5,A[C]=得cosZC[A[B]=^sin^.CjAjBj=%

C]DJ39

所以C]D—，3,故sin乙C]AD=-----=-----.

AC।13

J39

因此，直线AC】与平面ABB1所成的角的正弦值是

方法二:

(I)如图，以4C的中点。为原点，分别以射线08,0C为轴的正半轴，建立空间直角坐标系z.

由题意知各点坐标如卜.：

因此岫1=(1,由,2),A。]=(1,^,-2),A1bl=(0,2由,-3),

由屈1.A1bl=府AB—AjBp

由屈1.八G=谣幽门©.

所以AB】_L平面A]B[C].

(II)设直线AC】与平面ABB1所成的角为&

由(I)可知Ad]=(0,2币,1),油=(1,后,0)与口]=(0,0,2),

设平面ABB1的法向量n=*y,z).

喉溜[加苣然。可取n«&。).

\|A^1'n|扬

所以sin。=IcosCAC,,n)|=—二-----=——•

'1lACJ-ln)13

因此，直线AC】与平面ABB1所成的角的正弦值是%.

例5如图，在三棱锥产一力8C中，AB=BC=20PA=PB=PC=AC=4,。为力。的中点.

(1)证明：尸O_L平面/4C；

(2)若点M在棱AC上，旦二面角M-24-C为30。，求尸C与平面所成角的正弦值.

(1)证明因为力。=。产=4。=4,。为AC的中点，所以OP_LAC,且OP=2心.

连接04,因为44=4。=*/C,

2

所以月中+^0二力。2,

所以△48C为等腰直角三角形，

R0B1AC,OB=-AC=2.

2

由OP2+OB-=PB2^\POLOB.

由。P_L08,OPVAC^.OB[\AC=O,知尸0_L平面力8C.

(2)解如图，以。为坐标原点，仍的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2\5),#=(0,

2,2\/3).取平面21c的一个法向量加=(2,0,0).

设2—a,0)(0<a<2),则施=(0,4-Q,0).

设平面P4M的法向量为〃=(x,y,z).

由#•〃=(),不。〃=0得

2y+23z=0,

可取n=(3(a—4),3a,—a)»

ax+(4—a)y=(),

、23(<7—4)

所以cos{OB>n)=

23(a—4)2+3/+/

由已知可得|cos(仍，〃〉|=\

所以23Q4I=3

23(«—4)24-3a2+a22

A

解得〃=—4(舍去)，a=,

3

f_8343_4]

所以〃=13'3'3j.

又反1=(0,2,-23),所以8s〈反'，加=：

4

所以尸C与平面P4M所成角的正弦值为3.

4

例6在如图所示的多面体中，四连形月8CQ是平行四边形，四边形8。"是矩形，平面抽CO,ZABD

=-,AB=2AD.

6

(1)求证：平面平面力。£；

(2)若ED=BD,求直线力尸与平面力EC所成角的正弦值.

(1)证明在中，ZABD=~,AB=2AD,

6

由余弦定理，得BD=拒AD,

从而BD2+AD2=AB\故BDA.AD,

所以为直角三角形且

因为。后_1_平面/18。。，BDU平面4BCD,所以

乂月DCDE=D,所以夕QJ_平面力。£

因为8DU平面BDEF,所以平面以处：/，平面ADE.

(2)解由(1)可得，在口△力8。中，ZBAD=~,BD=y]3AD,又由ED=BD,

3

设40=1,则8D=ED=3.因为。£_L平面48CQ,BDLAD,

所以可以点。为坐标原点，DA,DB,。后所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则4(I,0,0),C(-1,3,0),E(0,0,3),F(0,3,3),

所以短=(-1,0,3),祀=(-2,3,0).

设平面力上。的法向量为/?=(x,y,z),

〃•荏

=0,—x+3N=0,

则即

〃•祀=0,-2x+37=0,

令z=l,得〃=(3,2,1),为平面NEC的一个法向量.

因为#=(-1,3,3),

—nAp41

所以cos5,赤〉==,

|〃恸14

所以直线力/与平面4EC所成角的正弦值为42.

14

例7如图1,在高为6的等腰梯形力8CQ中，AB//CD,ACD=6,AB=\2,将它沿对称轴。。1折起，使

平面/OOQ1.平面8cOQ,如图2,点P为8c的中点，点E在线段48上(不同于48两点)，连接

OE并延长至点。，使4。〃

(1)证明：。。_1_平面。4。；

(2)若BE=2AE,求二面角。一4。一力的余弦值.

(1)证明法一取05的中点凡连接力兄PF,如图所示.

•・•尸为8c的中点，J.PF//OB,

,:AQHOB,C.PF//AQ,

：・P,F,A,。四点共面.

由题图1可知0B上OOi，

•・•平面力。。。_1_平面8cO。，且平面力。。。「平面O8U平面8coQ,

平面ADO\O,

•••?”_1_平面力。0|0,

乂。。U平面力。。。，J.PFLOD.

由题意知，AO=OO\,OF=O\D,ZAOF=ZOOiD,

・••△AOFmAOOiD,

・・・NE4O=/。。。，

/.NF/1O十乙AOD=ZDOO\十Z.4(?P=90°,：.AFrOD.

•：4FC\PF=F,且月—=平面21。，WU平面4。，

平面PAQ.

法二由题设知0月，。从OOi两两垂直，，以O为坐标原点，OA,OB,OOi所在直线分别为x轴，)，轴,

z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长为〃?，

则。(0,0,0),/(6,0,0),B(0,6,0),

C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).

•・•点?为8c的中点，・・・尸(°'2,J,

：.0b=(3,0,6),A^=(0,w,0),P5=(6,m~2J.

VOb-A^=0,g2=0,

・・・历_1_血，"_L丽，又血与匝不共线，

平面PAQ.

(2)解•:BE=2AE,AQ//OB,

则。(6,3,0),:,⑪=(-6,3,0),虎=(0,-3,6).

设平面C80的法向量为小=G,y,z),

nvQb=0,[―6x+3y=0»

由得

，“於=0,[f+&=0,

令z=l,则歹=2,x=1,n\=(1,2,1).

易得平面力8。的一个法向量为〃2=(0，0,1).

设二面角C—BQ—A的大小为仇由图可知，夕为锐角，

则COS夕=I|〃1卜|〃2|I=，

6

即二面角C—BQ—A的余弦值为：

例8如图，四面体力4。。中，ZX/BC是正三角形，△4。是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.

(1)证明：平面/CQ_L平面/8C；

(2)过力C的平面交3。于点E,若平面力EC把四面体力5CO分成体积相等的两部分，求二面角。一4七一

。的余弦值.

(1)证明：由题设可得△/从而力。=。。.

又△4CQ是直角三角形，

所以NXQC=90。.

取NC的中点O,连接OO,BO,

则DOJ_4C,DO=AO.

又因为△/8C是正三角形，故8O_L4C,

所以NQO4为二面角。一力。一4的平面角.

在RtZ\/O8中，BO2+AO2=AB2,

又AB=BD,所以+故/。。8=90。.

所以平面4CZ)_L平面48c.

(2)解：由题设及(1)知，0403,0。两两垂直，

以。为坐标原点，况的方向为x轴正方向，|易|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,

则4(1,0,0),B(0,3,0),C(一1,0,0),D(0,0,1).

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,,

2

从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的：,

2

即E为08的中点，得fl"2，2),

故力=(-1,0,1),祀=(-2,0,0),苏」一

1,"1

设〃=(x,y,z)是平面D4E的法向量,

—x+z=0,

〃♦力=0,

则即-x+3y+1z=O,

〃•力：=0,r2

可取n='Al

•祀=0,

•就=0,

同理可取利=(0,-1,3),t

则cos(〃，m>—nm—7

同向17

所以二面角D-AE-C的余弦值为；.

例9如图，四棱锥P-48CO中，侧面以。为等边三角形且垂直于底面力BCD,AB=BC=~AD,ZBAD=

2

N乂8C=90。，E是P。的中点.

(1)证明：直线CE〃平面以8；

(2)点/W在棱〃。上，且直线"W与底面44CO所成角为45。，求二面角."一/1"一£＞的余弦值.

(1)证明：取刃的中点F,连接后兄BF.

因为E是。。的中点，所以EE〃月。，EF=XAD.

2

由NB4D=/力8。=90°得BC//AD,

又8C=U。，所以EF妁C,

2

四边形8C£尸是平行四边形，CE1BF.

又BF平面24―CEC平面2L9,故CE〃平面以庆

(2)解：由已知得历1_L4),以力为坐标原点，话的方向为x轴正方向，|处|为单位长度，建立如图所示

的空间直角坐标系彳一乎，则力(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),Pt=(1,0,-3),#=

(1,0,0).

设A/(x»y,设(0<x<l)»则

B^l=(x—1,y,z),P^[=(x,y—1,z~3).

因为BM与底面ABCD所成的角为45。，

而”=(0,0,1)是底面(8CQ的法向量,

所以|cos〈月拓〃)|=sin45。,团=2

x-\2+/+z22'

即(x-1)2+/-z2=0.①

又A/在棱PC上，设成=2卮，则

x=2,y=1,z=3—3z.②

x=l+2,2

22

由①②解得y=l,(舍去),或y=L

z=_66

'22

所以」1一2'L2),从而笳=。-2"2).

设加=(xo,次，zo)是平面/出用的法向量，则

w<4^f=0»2~2xo+2yo+6zo=O,

即：_'

“戏=0,ko=O，

所以可取町=(0,—6,2).

10

于是cos(m,n)

5

因此二面角M-AB-D的余弦值为

例10等边△48C的边长为3,点0,月分别是彳8,8c上的点，且满足丝="=1（如图（1））,将△力。£

DBEA2

沿DE折起到△小。E的位置，使二面角4一。£一8成直二面角，连接48,4c（如图（2））.

（1）求证：小。_L平面8CED；

（2）在线段8C上是否存在点P,使直线P小与平面小8。所成的角为60。？若存在，求出尸6的长；若不

存在，请说明理由.

（1）证明题图（1）中，由己知可得：

AE=2,AD=\tJ=60°.

,l22

从而DE=\l4-2—2xlx2xCos60°=\,3.

故得/》+。尸=4户，j.ADLDE,BDLDE.

・••题图（2）中，AsDLDE,BD1DE,

:.NA】DB为二面角Ax-DE-B的平面角，

又一面角A\-DE-B为直一面角，

:.N4D8=90。,即AiDlDB,

•：DECDB=D且DE,O8U平面BCED,

平面8CED

（2）解存在.由（1）知EQ_LD8,4O_L平面8CED

以D为坐标原点，以射线。8、DE、Q4分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系。一xyz,如

图，

过P作PH//DE交BD于点H,

设PB=2a（0<2a<3）,则PH=®,DH=2~a,

易知小（0,0,1）,P（2-〃，■，0）,E（0,00）,

所以"li=（«—2»—1）.

因为平面力出力，

所以平面48。的一个法向量为方&=（0,3，0）.

\pAv5k\3/7-、Rs

因为直线尸出与平面小8。所成的角为60。，所以sin600=1=乎,解得

同川丽W-4t/+5x^/324

：・PB=2a=9,满足g2心3,符合题意.

2

所以在线段4C上存在点。使直线也与平面小皿所成的角为6。。，此时吁|・

例11如图，在四棱锥P—48CZ)中，底面48co为正方形，&>_L底面48CZ),M为线段PC的中点，尸。=4力,

N为线段8c上的动点.

(1)证明：平面MND_L平面P8c

(2)当点N在线段8C的何位置时，平面MNO与平面以8所成锐二面角的大小为30。？指出点N的位置,

并说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)点N在线段4c的中点

【解析】(1)证明：因为PZ)_L底面力8C。，〃Cu底面48CO,所以PQJL4。，

因为CO_L5C,CDQPD=D,所以8C_L平面尸CO,

因为八Mu平面PC。，所以BC_LD”,

因为四边形48CQ为正方形，PD=AD,所以PD=CZ),

因为在△PQC中，PD=CQ,M为线段尸C的中点，所以。M_PC,

因为PCc4C=C,所以。MJ.平面P8C,

因为DMu平面DMN,所以平面MND_L平面PBC,

(2)当点N在线段8c的中点时，平面与平面肥8所成说二面角的大小为30。，理由如下：

因为尸Q_L底面力8CZ>,O4OCu平面48CO,所以尸O_LPQ_LQC,

因为。/1QC,所以04。。,。尸两两垂直，

所以以。为原点，以。4。0。户所在的直线分别为乂弘2轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设PZ)=HO=I,则。(0,0,0),*,0,0),，。,Lo),P(O,o,i),qo,i,o),乂。,；,小，

设”(41,0)(0</1<1),则万二(-1,0,1),方=(0』,0),丽=(41,0),由=11

设m=(x,y,z)为平面尸的法向量，则

m-AP=-x+z=Q,u

而跳尸。'令I，则吁(MM)，

设G=(a,Z),c)为平面MND的法向量，则

RDN=2a+b=0

_--1,1z令”=1,则〃=(1,一4；1)，

n-DM=—/?+—c=0

22

因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°,

|1+4=&

所以cos(/〃,〃)卜

x/2xv/l+2222，

化简得4万一44+1=0,得人;，

所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面以8所成锐二面角的大小为30°

例［2如图1,在边上为4的菱形n8CO中，/刃8=60。，点M,N分别是边8C,C。的中点，ACcBD=O「

ACcMN=G.沿MV将翻折到△RWN的位置，连接PW,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥

P-ABMND.

（1）在翻折过程中是否总有平面尸8。_1平面"G?证明你的结论；

（2）当四棱锥P-MND8体枳最大时，求直线/>8和平面MND8所成角的正弦值；

（3）在（2）的条件下，在线段尸.4上是否存在一点。，使得二面角。-MN-P余弦值的绝对值为我？若

10

存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）在翻折过程中总有平面尸8。"L平面4G,证明见解析（2）叵

10

（3）。存在且。为线段从1的中点

【解析】（1）在翻折过程中总有平面28。_L平面4G,

证明如下：•・•点M,N分别是边C。，C8的中点，

又ND44=60。，ABD//MN,且APMN是等边三角形，

•••G是"/V的中点，：.MN1PG,

:菱形48CD的对角线互相垂直，・•・班），4C,・•・MN_L/C,

•:ACcPG=G,NCu平面刃G,尸Gu平面尸4G,

.•・MN_L平面P4G,5力_L平面4G,

「BDu平面060,，平面P8O1平面产力G.

（2）由题意知，四边形为等腰梯形，

且。4=4,MN=2,Ofi=4i,

所以等腰梯形同N£>4的面积S=@+/,

要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，

:.当PGJ_平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为石，

此时四棱锥尸-MND8体积的最大值为P=；X3GXG=3,

直线PB和平面MVQ8所成角的为NPBG,

连接8G,在直角三角形△P8G中，PG=68G=J7,

由勾股定理得：PB=\IPG2+BG2=x/io.

讹咏="=噌=画

PB而10

(3)

假设符合题意的点。存在.

以G为坐标原点，GA,GM,GP所在直线分别为x轴、V轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则4(3追,0,0),“(0,1,0),N(0,—l,0),P(0,0词,

由(2)知，AGLPG,

又AGiMN,nMNcPG=G,MNu平面PMN,PGu平面PMV,

46_1_平面。"1,

故平面Pmv的一个法向量为;;=(1,0,0),

设羽(0W/IW1),

•・•苏=(-3百,0,@,

=(-3>/3A,0,732),故(36(”/1),0,64)，

AW=(0,2,0),西=(3G(4_[),l,_6l),

平面。"N的一个法向量为%=(七,外*2)，

则小丽=0,无.亚=0,

2y2=0,

即3\/3(2-l)x2+_y2-A5^Z2=0,

%=。，

令4=1,所以，___A

2=E

一(1)1/

则平面QMN的一个法向量；;二(40,3(4-1)),

设二面角。-A/W-P的平面角为&,

|胴荷+9(47)2

故符合题意的点。存在且。为线段PA的中点.

例13如图，在四棱锥力8CQE中，底面4CDE为矩形，M为中点，连接CE交于点、F,G为AABE

的重心.

（1）证明：GFH^ABC

（2）已知平面48c_L3CO£平面力CQJ_平面8CQE,BC=3,CD=6,当平面GCE与平面4）E所成锐二

面角为60。时,求G到平面力DE的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）6

【解析】（1）延长KG交于N,连接NC,

FG

因为G为的重心，所以点N为48的中点，且二7二2,

GN

PPRP

因为CM//BE，故KMFSAEBF，所以一=—=2,

CFCM

EFEG

故大:=17，故GFHNC,

CFGN

而NCu平面48C,6/0平面48。,故斯//平面/18。；

(2)由题意知，平面48。_1_平面8。。匕平面48Cn平面8COE=8C,DCVBC,

QCu平面8c故。C_L平面48C,4Cu平面48c

则0c14C，同理8C_L/C,

又8C。QC=C,BC,DCu平面BCDE,

所以我_L平面BCDE,

以C为原点，以C8,CDC4所在直线分别为X，NN轴，建立空间宜角坐标系，

设点G到平面8CQE的距离为(>0),

则N(0,0,3f),8(3,0,0),E(3,6,0),G(2,2"),£>(0,6,0),

故函=(2,2,7),CE=(3,6,0),~AD=(0,6,-3)DE=(3,0,0),

—fw-CG=0[2x.+2y.+/z,=0

设平面GCE的法向量为〃?=(X”M，Z|),则汴…即]',

111[w.C^=0招+6凶=0

取乂=1,则，4=2小=-2,即机=(-2,l1),

-n-AD=0f6y->-3/z,=0

设平面力。£的法向量为〃=(S，为,Z?)，则Lk八，即《2八，

取马=2,则为=乙则;;=(0/2),

“。师川"++1广

所以cos6°=_「1=~j=T解得尸=12j=2G，

1〃(山j+'xE

又砺=(2.-4,2"),故点G到平面ADE的距离为4=段刈=W=6.

|〃|4

例14如图，在三棱柱/出C-44G中，△ABC为等边三角形,四边形4CG4是边长为2的正方形，D为AB

中点，且4。=石.

(1)求证：CQ_L平面4844；

(2)若点尸在线段及。上，且直线//＞与平面4c。所成角的正弦值为孚，求点尸到平面4c。的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)学

【解析】(1)证明：由题知力4=2,4)=1,4。=6，

因为力o,+4T=5=,所以4彳J.力。，

又AA,所以/M_L3C,

又ADRBC=B,所以//_L平面ABC,

又COu平面43C,所以。。_1_力4，

在正三角形力8c中，力为中点，于是CZ)_L/18,

又ABcAA】=A,所以CO_L平面

(2)

取BC中点为Q8C中点为。，则。4_L8C,O0_L8C,

由(1)知4/J"平面力8C,且O/lu平面力4C,所以。4_1_441，

乂B、B〃A\A,所以O41BBi，BB】cBC=B,所以CMJ_平面8CC£,

于是04。'。。两两垂直

如图，以O为坐标原点，砺，而，刀的方向为x轴，V轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系

3。，平)当(2,())

则0（0,0,0）,力（0,0,6）,4（0,2,6c（4,0,0）D

所以丽=|,0,y-，区=(1,2,6)西；=0,2,0)就=(-1,0,-f)

\Z

设平面A}CD的法向量为尸=(x,弘z),

3上6

iiCD=0—X+——2=0n

则nl—即《22

nCAf=0

x+2y+\/3z=0

令）=1,则z=-\[3,y=1

于是万=（1/,一6）

设丽=2函=（2/1,22,0）,Ae[0,1],则％A=/+而=ACB}=（22-l,22,-5/3）

由于直线/仍与平面4co所成角的正弦值为半

22

于是kos（瓦研=------^；-l+2j+3|=挛,g|j|2/l+1|=7（2/l-l）+（2/t）+3,整理得

1、71Jl+l+3j（22-杼+（2口+35II

4万—84+3=0,由于所以％

于是万=4西=（1,1,0）

设点P到平面4CO的距离为"

则公弊=上£=述

所以点尸到平面4co的距离为苧

举一反三

I.如图，在三棱锥Z—8C。中，平面48cl平面BCD,△BXC与△BCO均为等腰直角三角形，且

NBAC=/BCD=90°,BC=2.点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ

与4C成30。的角，则线段4长的取值范围是()

【答案】B

【解析】

设BC的中点为。，连。L因/84。=90°,8。=2=。4=1,故建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,则O（O,O,O）,R（O,O,1）,8（7,O,O）,C（1,O,（））,P（S,O/）,0（L〃Z,O）（MO/〉O,〃Z>O）,则

P0=（1-5,7H,-r）,^C=（l,0,-1）,^4=（-5,0,l-r）,所以耳•正=l—s+/,

园=’（1困卜炉7二6,所以J（1一S）2+/+J•及cos30°=1-S+/,即

-S）2+m2+t2=1-5+/,也即3〃72=书（1一5）-（1一$）2-2,由此可得

3/7i2=4r（l-5）-（l-5）2-r2>0,结合f—s=l可得4（1-1）>2+2$2=352<1,所以忖<1，则

周二J（_S）2+（1T）2=42+$2=拒忖<乎,即0<|尸山<乎,应选答案B.

2.如图所示，在棱长为2的正方体/8CQ—44GA中，E,尸分别是CG，力。的中点，那么异面

直线"E和A\F所成角的余弦值等于.

2

【答案】-

5

【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：

412,°，2）1（1，°，0），A（°，0,2）,七（0,2,1）丽=（一1,0,4）麻=（0,2,-1）得直线和力尸所成角

4FQE_2

的余弦值等于cosO二

3.如图，在正方体力8。。-48£鼻中,E为的中点.

（1）证明：BC//平面力D’E

（2）求直线8G到平面力。£的距离;

【答案】（I）证明见解析

⑵|

【解析】（1）•••AG=/A,.•.四边形为平行四边形，，•••£）"<=面

G8a面力。£,.•.〃&//平面

（2）如图建立空间直角坐标系力一盯Z,设正方体的棱长为2,

y

则4（0,0,0）,5（0,2,0）,D,（2,0,2）,C,（2,2,2）,£（0,2,1）,•二〃平面4。或，.•.直线2G到平面的

距离即为点4到平面力"E的距离，所以前=（0,2,0）,福=（2,0,2）,=（0,2,1）,设平面/"E的一个法向

n-AD.=2x+2z=0„_

量为万=（%歹，z）,则_一1,取z=-l,得〃二

nAE=2y+z=0Ki

沃||(。20).(6，-1)

1=2•・・直线Be1到平面AD、E的距离为：7.

T3

2

4.在四棱锥P—/1BCQ中，PA=PB、NBAD=90°,NPAD=90\AB//CD,AD=AB=2CD=2,平面〃80_1_平

面P4O.

（1）证明：P8_L平面产力。；

（2）求二面角8-尸C-力的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）生5

9

[解