高考数学大题经典习题

1.对于函数/(x)=-§(。+2)X3一/加2+(。-2)x。

(1)假设/(x)在x=l和x=3处取得极值，且/(M图像上每一点切线斜率均不超过

2sinfcosf-2\/5cos2f+b试求实数/取值范围；

12)假设/(x)为实数集R上单调函数，设点P坐标为(〃,〃)，试求出点P轨迹所形成图形

面积S.

1.(1)由/(%)=——(a+2)x3-bx2+(t/-2)x,那么

3

/*(%)=-(«+2)x2-2历+(a-2)

因为/(x)在x=1和x=3处取得极值，所以X=1和X=3是/(x)=0两个根

因为/(x)图像上每,点切线斜率不超过2sinfcos/-26cos，+

所以/'(_¥)«2§由北0，/一2\/3802/+6对工£R恒成立，

而r(X)二—(X—2)2+1,其最大值为1.

故2sin/cos/-2>/5cos，+百>1

(2)当。二一2时，由/(x)在R上单调，知〃=0

当aw—2时，由“X)在R上单调o/'(x)20恒成立，或者尸(x)W0恒成立.

2

△=4/+4(/-4)<0可得/+b<4

从而知满足条件点尸(七。)在直角坐标平面勿乃上形成轨迹所围成图形面积为S=4万

2.函数[。>())图象关于原点对称，A(a,7(a))、8(£J(£))分

别为函数/(x)极大值点和极小值点，且|AB|=2,f(a}-f(p)=p-a.

(I)求6值；

(II)求函数/(x)解析式;

(III)假设X£[-2,l]J(X)>〃2-色恒成立，求实数出取值范围.

m

2.(I)h=0

a+/=0

|AB|=2n(a-〃)2+(£a)―G))2=4ng_£)2=2

3

3

又a>0:.a=\f(x)=x--x

(III)X€［-2,1］W,求/(x)最小值是-5

3..f(x)=a?+bx2+a+d是定义在R上函数，其图象交x轴于A,B,C三点，假设点B

坐标为(2,0),且/(工)在［-1,0］和［4,5］上有一样单调性，在［0,2］和［4,5］上有相

反单调性.

(1)求c值；

(2)在函数/(x)图象上是否存在一点M(xo,y°),使得/(%)在点M切线斜率为3b?假

设存在，求出点M坐标；假设不存在，说明理由；

3.(1)・・・/(x)在［-1,0］和［0,2］上有相反单调性，

x=0是/(x)一个极值点，故/(x)=(),

即3at2+2版+c=0有一个解为x=0,・・・c=0

⑵:/(x)交x轴于点B(2,0)

令/(x)=O,那么3ax2+次=0,匹=0,%=一”

3a

V/(x)在［0,2］利［4,5］上有相反单调性

假设存在点Mlx。，y。)，使得了⑴在点M切线斜率为3b,那么/(%)=3〃

即+2/U。-3〃=0

X-6<-<-3,/.A<0

a

・••不存在点M(xo,y。)，使得/(x)在点M切线斜率为

4.函数/(x)=lnx

(1)求函数g(x)=/(x+l)-x最大值；

(2)当0<a<〃时，求证/S)—/(〃)>2，一0；

+b~

4.(1),：f(x)=Inx,g(x)=f(x+1)-x

/.^(x)=In(x+l)-x(x>-l)g(x)=—!--1令/(冗)=0,得工=0

x+1

当一Ivxvf)时，g'(x)>0当x>0时g(x)v0,又g(0)=0

当且仅当x=0时，g(x)取得最大值0

(2)/(/?)-f(a)=Inb-\na=\n-=-In—=-ln(l+------)

abb

由(1)知ln(l+x)<xf(b)-f(a)>—-=~~~-

1为

o2>b-a2b(b-a)

<<一

9y22

〃

XV十ba+b

5.7(x)是定义在［―1,0)U(0,1］上奇函数，当0］时，f(x)=2ax+-\(a

厂

为实数).

(1)当X£(O，1］时，求/(工)解析式；

(2)假设。>一1,试判断/(x)在［0,1］上单调性，并证明你结论：

(3)是否存在a,使得当xe(0,1］时，/(幻有最大值一6.

5.(1)设xw(0,1］,那么一工€［-1,0),/(-X)=-2OV+4->/(x)是奇函数，那

厂

么/(x)=2or--，X6(0,1］;

X

(2)/'(X)=24+4=2(〃+4),因为。>一1,X£((),1］,-^->1,。+二>0,

XXXX

即广(幻>0,所以f(x)在［0,1］上是单调递增.

(3)当。>一1时，f(x)在(0,1］上单调递增，f(x)maK=f(\)=a^>a=--(不

6./(幻=攵/一丁+工一5在R上单调递增，记A4BC三内角A,民C对应边分别为

a,b,c,假设。2〃+。0时，不等式/,i+sin?B+COS(A+C)］</(2而+手)恒成立.

(I)求实数女取值范围：

(II)求角cosB取值范围；

(III)求实数〃?取值范围.

19.(1)由/㈤=小一/+「一5知/'(力=3&-2x+l,*.*f(x)R上单调递增，

/'(1)>0恒成立，，3k>0且A<0,即*>0且4—12攵<0,

当△=(),即攵=~!■时，f(x)=3kx2-2x+\=(x-i)2,

3

/./(x)图象与X羯只有一个交点

④假设。=2,那么广。)=6。-1)22().•./(%)图象与1轴只有一个交点

⑤当。>2,由(I)知/'(X)极大值为-2)=-4*一3co

aa44

综上所述，假设420,/(X)图象与X轴只有一个公共点；

假设〃<0,「./(x)图象与X轴有三个公共点。第二组：解析几何

1.点C(-3,0),点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

・I・.1.

CPPM=QPM=-MQ

(1)当点P在y轴上运前时，求点M轨迹C方程；

(2)是否存在一个点H,使得以过H点动直线L被轨迹C截得线段AB为直径圆始终过原点

0o假设存在，求出这个点坐标，假设不存在说明理由。

6.(1)设M(x,y),P(0,t),Q(s,0)

那么而=(3"),而=(s,T)

由万屈=0得3s-tM)......................①

又由丽=g而得(x,)，—/)=g(s-苍一)，)

把②代入①得9..(3)产0,即y』x,又xWO

・••点M轨迹方程为：y2=4x(xWO)

12)如图示，假设存在点H,满足题意，那么

22____

设A("，X),B(2-,)，2),那么由苏•丽=0可得

44

%2-+以必二0解得,必=一16

1O

又Z=.乃―-二4

AB

~yLyL~y^y2

44

4

那么直线AB方程为：y-y二-------(x-

即(M+白2)丁一%2一切必=4"一凹2把乂必=-16代入•化简得

令y=0代入得x:4,・••动直线AB过定点(4,0)

答，存在点H(4,_0),满足题意。

2.设元,)，£凡:,/为直角坐标平面内*,丫轴正方向上单位向量，假设向量

a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)，，回司+=8.

⑴求点M(x,y)轨迹C方程;

(2)过点(0,3)作直线/与曲线C交于A、B两点，设加二加+无，是否存在这样直线

I,使得四边形OAPB为矩形？假设存在，求出直线/方程；假设不存在，说明理由.

2.(1),/a=(x,y+2),b=(x,y-2),且|同+〃=8

即点M(x,y)到两个定点R(0,-2)、F2(0,2)距离之和为8,

V2X2

.•.点M(x,y)轨迹C为以Fl(0,-2)、F2S,2)为焦点椭圆，其方程为2一+―=1.

1612

⑵由题意可设直线/方程为y=kx+3,A区,%),B(X2,乃),

y-kx+3

2

由・)/%2消去y得：(4+3k)x+18kx-21=0.

—=—=1

11612

18%

x.+x2=----------

124+3%

此时，△=(181<)2-4(4+31?(-21)>0恒成立，且<

21

—赤

由OP=OA+OB知：四边形0APB为平行四边形.

假设存在直线/,使得四边形OAPB为矩形，那么豆_L。及即砺=0.

因为04=(%,)，2),0^二(工2，为)，所以不工2+=°，

2

而必>2=+3)•(如+3)=kx^x2+3『a+w)+9,

故(1+攵2)(——^_)+3-一一^v)+9=0,即k?=—=.

4+3公'4+3k2184

所以，存在直线/：y=土且x+3,使得四边形0APB为矩形.

,4

3.一束光线从点片(一1,0)出发，经直线/:2x—y+3=O上一点尸反射后，恰好穿过点

F2(1,0).

(I)求点£关于直线/对称点阡坐标；

[0)求以巴、心为焦点且过点P椭圆c方程；

(IH)设直线/与椭圆C两条准线分别交于A、8两点，点Q为线段上动点，求点。到

F2距离与到椭圆C右准线距离之比最小值，并求取得最小值时点Q坐标.

12.(I)设耳'坐标为(〃?,〃)，那么」一=一！且2.丝1一"+3=0.

m+1222

解得〃7=—巳9，«=-2,因此，点分坐标为(_二9_2).

555

(II)・.・|尸片=归用，根据椭圆定义，

22

得2a=|PF；\+\PF2\=\F；F2|=J(-|-l)+(1-0)=272,

VJJ

・•・所求椭圆方程为三十：/=1.

2

(in)・・・《=2,.•,椭圆准线方程为X=±2.

c

设点。坐标为(7,2f+3)(-2<f<2),4表示点Q到F2距离，d2表示点Q到楸圆右

准线距离.

2

那么4=J(1)2+(2z+3)2=V5r+10/+10,d2=|r-2|.

〃+2,+?

令/«)=上二*二£(一2<，<2),那么

(一2)一

(2Z+2)•("2>—(产+必+2)•2(/-2)-(6/+8)

/⑺二---------------F----------------------=T丁

444

,:当一2〈，<一§,f'(t)<0,--<t<2,f\t)>0»t=,f\t)=0.

4

・・・/⑺在，二一4时取得最小值.

因此，4最小值二«•/(—?)=£,此时点。坐标为(—△…)・

a2V3233

注：/⑺最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.

4Id

说明：求得点。(一一,一)即为切点P,二最小值即为椭圆离心

33d2

4.椭圆一个焦点6(0,-2日)，对应准线方程为y=-3拉，且离心率e满足：，e,g成

等比数列.

(1)求椭圆方程；

(2)试问是否存在直线/,使/与椭圆交于不同两点M、N,且线段MN恰被直线x=-2平

2

分？假设存在，求出/倾斜角取值范围；假设不存在，请说明理由.

4.(1)•・•成等比数列・・・/=2x3e=-y[2

33333

设P(,%y)是椭圆上任意一点，依椭圆定义得

止+"：2尬丫=迪化简得9/+2=9即f+工=1为所求椭圆方程.

“9039

-4

(2)假设/存在，因/与直线工=-4相交，不可能垂直x轴

2

因此可设/方程为：y=kx+in由

方程①有两个不等实数根

一Dkin

设两个交点M、N坐标分别为(x，y)“2，为)

•・•线段MN恰被直线x=-L平分=上士%即一辛巴=-1

222/+9

A-21Q“24°

・・・4。0=-—-③把③代入②得—-)2-(^2+9)<0

m2攵一一一2k

•・・％2+9>0.・・％2>3解得或2<-6

4K

・••直线/倾斜角范®；9(-,-)U(-,—)

3223

5.向量a=(x,Gy),B=(l,0),一旦(。+J5B)±(。一J5B).

(I)求点Q(x,y)轨迹C方程;

(II)设曲线C与直线丁二依+相相交于不同两点M、N,又点A(O,—1),当|A〃|=|AN|

时，求实数机取值范围。

5.由题意得：

y=kx-\-m

(II)由，f,得(3k2+1)x2+6inkx+3(/n2-1]=0,

—+y-=I

13

由于直线与椭圆有两个不同交点，「.A〉。，即62<3尸+1①

(1)当女工0时，设弦MX中点为。(七,匕)工讨、网分别为点M、N横坐标，那么

又|AM|=|AN|，「•4户’MN、则一〃"3"+1-_1即2加=3/+1②.

3"7kk

G]1

将②代入①得2〃7>m2,解得0<m<2,由②得攵2=/1]>(),解得机,

32

故所求，〃取值范围是(4,2)

2

(2)当％=0时，|3|二|加|,「.4。，的,相2<3犬+1,解得—1Vm<1

当上=0时，制的取值范围是(-1,1)。

6.设直线l:y-k(x+l)与椭圆

/+3y2=。2(。>0)相交于人/,两个不同点，与x轴相交于点。，记。为坐标原点.

(I)证明：a2>3^r；

\+3k2

(ID假设/=20,求△043面积取得最大值时椭圆方程.

6.依题意，直线/显然不平行于坐标轴，故)，=代工+1)可化为x=

将不=■!■),—M弋入/+3y2=〃2，消去不，得

由直线/与椭圆相交于两个不同点，得

即/〉一^.

1+3公

2k

(II)解：设4匹，州),8(々,丁2)•由①，得)*+为=■；—777

1十

-2k

因为AC=2。及得y=-2%，代入上式，得刈=

\+3k2

13

于是，△/8面枳S=-\OC\-\y}-y2\=-\y2\

其中，上式取等号条件是"2=1,即％=±艺.

3

■一2k—pzH.V3

由力二12,可得％=±-•

1+3攵3

将女=走,)，2=一"及％=一立，/2=且这两组值分别代入①，均可解出。2=5.

3“33’3

所以，△勿占面积取得最大值椭圆方程是犬+3)3=5.

7.如图，00'：(x+2y+y2=8及点A(2,0),在。0'上任取一点A\连AA，并作Al中

垂线1,设1与直线O'A,交于点P,假设点A'取遍上点.

(1)求点P轨迹C方程：

⑵假设过点0'直线m与曲线C交于M、N两点，且0W=WrM,那么当法[6,+oo)时,

求直线，〃斜率k取值范围.

7.(1);I是线段AA'中垂线，・・・|/=1PA

・・・||PA|一|PO」|:||PA'|一|PO'||二|O'A'|=2&.即点P在以O'、A为焦点，以4

22

为焦距，以2板为实轴长双曲线上，故轨迹C方程为工-二=1.

22

f

(2)设M(x,,%),N5,%)，那么直线m方程为y=k(x+2),那么由ON=M'Mt得

y=k(x+2)得(一女))一。.・.

x=2(%1+2)-2,户2=4)'|.由〈1,12,24@+242=

2x--y=2

y.+y2=^-,yy=工，△=16k?一反?(1一/)=8&?(]+F)>0

…\-k2.l—k“

由%―+必=斤2K

消去y,)b,得」="互=4十,+2.•・•226,函数g(4)=4+，+2在[6,田)上单调

-1"AZA

2

递增.—^-3->6+-+2=—,—<Z:<I,所以一1<k<—!>或<1.

l-k-664977

故斜率左取值范围为(-1,-jU.J).

8.如图，。0'：x2+y+—/n>0)及点M0,—/n>在。。'上任取一点

、3JI3,

M',连MM',并作历M，中垂线1,设1与O'M'交于点P,假设点M'取遍。

O'上点.

(I)求点P轨迹c方程；

(2)设直线/:y=Z(x+l)(%wO)与轨迹C相交于48两个不同点，与x轴相交于点

〃假设人方=2。反求AQAA面积取得最大值时椭圆方程.

8.(1),门是线段MW中垂线，，归

・•・|PM|+|PO'|二|PM'1+lPO'|二|O'AT|=2m(〃?>0).

?[7

即点P在以O'、M为焦点，以—m为焦距，以2m为长

3

22

轴长椭圆上，故轨迹C方程为二+二=1,即

m~tn~

3

3x2+y2=in2.

(2)由y=Z(x+l)伏。0)得工=工》一1.

k

将x=1y-l代入3/+),2=〃/消去人,得

4+1))，2_))，+3-/=().①

KK

由直线/与椭圆相交于两个不同点，得

363,3),3/

△=-一4(二7+1)(3-〃/)>0,整理得(二T+l)m2>3,BPnr>--7.

k~k~k~3+K

6k

设411，必),3(々，%).由①，得y+),2

D十Ai

•・•荷=2函而点D(-1,O),・・・(_1_._,)=2(叫+1,%)，所以X=-2%，

一6%

代入上式，得刈=——

3+k2

1

于是，△28面积s=-\OD\\yi-y2\=-\y2\=^^<=—.

2“H2i"3+公2@攵|2

其中，上式取等号条件是公=3,即攵=±6.

由>2=不当小可得)'2=±8•

D十AC

将Z=g,%=-石及Z=-百,％=百这两组值分别代入①，均可解出=15.

仍面积取得最大值椭圆方程是3/+)3=]5.

第三组：数列不等式

一.先求和后放缩

例1.正数数列｛%｝前〃项和S,,满足2A=/+1,试求：

(1)数列｛凡｝通项公式；

(2)设a=」一，数列｛〃｝前〃项和为3〃，求证：Bn<-

%—2

解：(1)由得4s,=(%+1)2,时，4S,i=(〃i+l)2,作差得：

4a〃=a；+2atl-a^_｝-2a,一，所以(%+%_1)(«„-a„.｝-2)=0,又因为｛。“｝为正数数

列，所以。即｛%｝是公差为2等差数列，由2冏=4+1，得4=1，所以

an-2n-\

(1

⑵bn=—!—=---------!---------=-—!—),所以

《闩山(2/7-1)(2/2+1)22/7-12/7+1

注：一般先分析数列通项公式.如果此数列前〃项和能直接求和或者通过变形后求和，那么

采用先求和再放缩方法来证明不等式.求和方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所

谓差比数列，即指数列｛凡｝满足条件2+1=/(〃))求和或者利用分组、裂项、倒序相

加等方法来求和.

二.先放缩再求和

1.放缩后成等差数列，再求和

例.各项均为正数数列｛%｝前〃项和为S“，且d+4=2S”.

(1)求证：S“<"n7"

（2）求证:

解：（1）在条件中，令力=1,得片+q=2*=2”,>0/.a,=1,又由条件

a；t+aH=25“有a；+l+。向=2Sn+l,上述两式相减，注意到。,川=S,i+l-Sn得

所以，an=1+1x(n-1)=n,S=〃(』+:

“2

2,2

所—誓%+4用

4

<〃+1,所以我<科用<贵，所以

（2）因为〃V+

2.放缩后成等比数列，再求和

例.(1)设a,neN\心2,证明：«2/,>(f/+1)；

⑵等比数列®用4前，项和为4,且加国人成

2

等差数列.设。“二」「，数列｛6｝前〃项和为%,证明：8„<-.

1一。〃3

解：⑴当〃为奇数时,0n云。,于是，a2n-(-a)n=an(an+l)>(a+1)an.

当〃为偶数时，a—121，且a。2人,于是

(2),•・4一4=6+,，A^-Ag=-(^,，&+,=_%，公比q=&=_，

42

3.放缩后为差比数列，再求和

n

例4.数列｛〃〃｝满足:q=1,〃〃.[=（1=1,2,3…）.求证：

2

证明：因为。〃+I=（1+二）。“，所以。向与。”同号，又因为卬=1>0,所以。〃>0,

H

即4川一勺二七%>0,即。角>4.所以数列｛4｝为递增数列，所以凡2%=1,

即4出一4=日冯2/，累加得:、12

%-卬7+齐+…+

乙乙

令s〃='+3+…+区」，所以Ls〃=-V+N+…+二，两式相减得:

223

〃222'-222T

所以S”=2