高考数学分项版解析 专题12 概率和统计 理-人教版高三数学试题

【十年高考】（新课标1专版）高考数学分项版解析专题12概率和统

计理

-•基础题组

1.【课标I,理5]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周

日都有同学参加公益活动的概率为（）

A.lBjCTD.l

8888

【答案】D

【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种不同的结果，而

周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有C：£=8种不同的

结果3（2）周六、日各2人，有或=6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8+6=14种

不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1二4=7选D.

168

2.【课标全国I,理3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽

取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较

大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）.

A.简单随机抽样3.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样

【答案】：C

【解析】：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.

3.【全国新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同

学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3234

【答案】A

【解析】

解：由题意知本题是一个古典概型，

试蛉发生包含的事件数是3X3=9种结果，

满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，

由于共有三个小组，则有3种结果，

根据古期概型概率公式得到P=§3=*1

故选A.

4.【全国，理15】（某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工

作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布Ml000,502）,且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000

小时的概率为___________.

T元件1h

—一元件3-

T元件2卜

【答案】：:3

O

【解析】：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,8,C,显然尸（⑷二尸（而=尸（©=!,

2

・..该部件的使用寿命超过1000的事件为（4月+%B+3）C.

・•・该部件的使用寿命超讨1000小时的概率为p=（=x?十.

22222228

5.【课标I,理18]

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果

得如下图频率分布直方图：

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差$2(同一组的数据用该组区间的

中点值作代表)；

(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(〃,b2),其中〃近似为

样本平均数4近似为样本方差s'.

(i)利用该正态分布，求夕(187.8vZ<212.2);

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位

于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果，求£%.

附：V15O«12.2

若Z〜N(〃,b?)则尸(〃-bvZ<4+b)=0.6826.

P(〃-2b<Z<〃+2b)=0.9544。

【答案】⑴200,150;(II)(i)0.6826;(ii)68.26.

【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值嚏和样本方差？分别为

x=170x0.02+180x0.09+190xO.22+200x033+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,

222

J=(TO?x0.02+(-20：Px009+(一10尸*022+0x0.33+10x0.24+20x0.08+30x0.02

=150.

(ID(。由⑴知，Z服从正态分布阳200J50),从而P(187.8<Z<2122)=P(200-12.2<Z<200

+12,2)=0.6826.

(ii)由J)可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.82122)的概率为0.6826,依题意知

X□5(100,0.6826),所以£¥=100X0.6826=68.26.

6.【全国新课标，理19］某种产品的质量以其质量指标道衡量，质量指标值越大表明质量越

好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配

方)做试验，各生产了10。件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

B配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数412423210

⑴分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品也；

⑵（理）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

-2,/<94

y=p,94<r<102

4,r>102

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为1（单位：元），求：的分布列及数学期望.（以

试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

【解析】：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为稔-=（）.3,所以用A

配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为七昔=0.42.所以用B配方生产的

产品的优质品率的估计值为0.42.

（2）用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[90,94）,[94,102）,[102,110]

的频率分别为004,0.54,0.42,因此尸（*二-2）=0.04,P（J=2）=0.54,P（X=4）=0.42,

即/的分布列为

X-224

P0.040.540.42

*的数学期望ES=-2X0.04+2X0.54+4X0.42=2.68.

7.【全国，理18】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险

但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（2）I表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求I的期望.

【解析】：记4表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

S表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的I种;

D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

⑴产（⑷=0・5,F（协=0.3,C=A+B,

尸（C）二产（1+加=尸（⑷+产（加=0.8.

（2）Z）=C,尸（，）二1一尸（C）=l-0.8=0.2,

—3（100,0.2）,即X服从二项分布，

所以期望100X0.2=20.

8.【新课标，理19］（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽

样方法从该地区调查了50。位老年人，结果如下：

性别

是否需要志晨春男女

惠发4030

不需荽160270

（D估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮

助的老年人的比例？说明理由.

附：

P(K2^k)0.0500.0100.001

3.8416.635

k

10.828

n(ad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老

年人的比例的估计值为2=14%.

500

,3500x(40x270-30x160/

⑵*=------------------—^9.967.

200x300x70x430

由于9.967>6.635,所以句99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与

女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老

年人分成男、女两层并采月分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.

9.【全国卷I,理19]

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局

中，甲获胜的概率为().6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、

乙各胜1局.

(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；

(II)设E表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求€的分布列及数学期望.

【解析】：记4表示事件：第i局甲获胜，「3,4,5.

B,表示事件：第j局乙获胜，j=3,4.

(I)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利.

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2

局，从而

B=A3•A1+B3•Ai•A5+A3•B4•A5.

由于各局比赛结果相互独立，故

P(B)=P如•A»)+P(B：,*A,•As)+P(A3•B(・As)

=P(A3)P(A))+P(B3)P(A()P(AS)+P(A3)P(B.)F(As)

=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6

=0.648.

(H)€的可能取值为2,3.

由于各局比赛结果相互独立，所以

P(&=2)=P•A4+B3•B,)=P(/V・A.)+P(B3・B,)=P(A：＜)P(A,)+P(B；1)P(80=0.6X0.6+0.4X0.4

=0.52.

P(€=3)=1-P(€=2)=1-0.52=0.48.

€的分布列为

€23

P0.520.48

Eg=2XP(g=2)+3XP(&=3)=2X0.52+3X0.48=2.48.

10.【高考新课标1,理4］投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某

同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

()

(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312

【答案】A

【解析】根据独立重复试睑公式得，该同学通过测试的概率为玛0.62x04+0.&R.648,故选A.

【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

11.【高考新课标理数1】某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间

到达发车站

乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的、则他等车时间不超过10分钟的概率是

II23

(A)-(B)-(C)-(D)-

。J•

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40,等车不

201

超过10分钟的时间长度为20,故所求概率为左=彳，选B.

401

【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型，求解几何概型问题的关键是确定“测度”，常见

的测度有长度、面积、体积等.

二,能力题组

】.【新课标，理6】某种种了每粒发芽的概率都为().9,现播种了100()粒，对丁没有发芽

的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为其则X的数学期望为()

A.100B.200C.300D.400

【答案】：B

【解析】：MA)=1000X0,9X0+1000X0.1X2=200.

2.【课标全国I,理19](本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先

从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为〃.如果〃=3,再从这批产品

中任取4件作检脸，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果〃=4,再从这批产品中任取

1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为且各件产品

2

是否为优质品相互独立.

(D求这批产品通过检睑的概率；

(2)已知每件产品的检险费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质

量检验所需的费用记为黑单位：元)，求才的分布列及数学期望.

【解析】：(D设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件人第一次取出的4件产品

全是优质品为事件念第二次取出的4件产品都是优质品为事件的第二次取出的1件产品

是优质品为事件反，这批产品通过检验为事件4依题意有力=(45)UC4心)，且/I出与力血

互斥，所以

尸(冷=尸(4加+尸(4豆)=尸(加/(84)+/(心)尸(氏|/9=—X—+—x-=—.

161616264

(2)才可能的取值为400,500,800,并且

P(X=400)=1-------------=—,A/=500)=—,P(X=800)=-.

161616164

所以/的分布列为

400500800

111j_

P

16164

EX=400x—+500x—+800x-=506.25.

16164

3.【仝国，理18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10

元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y（单位元）关于当天需求量〃（单位枝,〃£N）

的函数解析式；

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量〃14151617181920

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及

方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

【解析】：⑴当日需求量B16时，利润y=80.

当日需求量16时，利润尸10n-80.

所以P关于口的函数解析式为

[lQn~80,«<16,

y=\（非eN）.

[80,«>16,

⑵①了可能的取值为60,70,80,并且尸（460）=0.l,尸（470）=0.2,/（户80）=0.7.

X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

X的数学期望为

£T=60X0.14-70X0.2+80X0.7=76.

X的方差为

D4（60-76）aX0.1+（7O-76）2XO.2+（80—76）；XO.7=44.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，广表示当天的利润（单位：元），那么V的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

y的数学期望为

E勺55X0.14-65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

F的方差为

，勺（55-76.4）?X0.1+（65—76.4尸><0.2+（75-76.4）*X0.16+（85-76.4）aX0.54=112.04.

由以上的计算结果可以看出，DJK.DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.

另外，虽然冰石匕但两者相差不大.

故花店一天应购进枝玫瑰花.

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，K:示当天的利涧（单位：元）,那么卜的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

产的数学期望为□

^^=55X0.14-65X0.24-75X0.16+85X0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出，瓦即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故

花店一天应购进17枝玫瑰花.

4.【全国1,理20］（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果

呈阳性的即为患病动物.呈阴性即没患病下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只

中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1

只化验.

（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（H）4表示依方案乙所需化验次数，求&的期望.

【解析】：（I）解：设4、4分别表示依方案甲需化验1次、2次。

用、表示依方案乙需化验2次、3次；

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。

依题意知&与人独立，且印=4+48

尸⑷咱="⑷卷《尸叱线=1

-1127

p（A）=P（A+A^2）=m）+^（A）^2）=-+TX-=—

JJ乙。

-8

.1.P（A）=1-P（A）=—=0.72

（II）4的可能取值为2.3。

尸（耳）=容+品=|,尸（与）=|;

c5c5<333

32

.1•pe=2）=p（4）=g,pq=3）=P（与）=）

3212

E^=2x1+3x-=y=2.4（次）

5.【全国，理18】（本小题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，

其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的

只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为：，服

用B有效的概率为

2

（I）求一个试验组为甲类组的概率。

（II）观察3个试验组，用J表示这3个试验组中甲类组的个数，求J的分布列和数学期望。

【解析】：

（I）设&表示事件“一个试睑组中，服用A有效的小白鼠有口只%1=0,1,2,Bi表示事件“一个试蛉组

中，服用B有效的小白鼠有或只”，1=0,b2,

依题意有

124224

P（4）=2X-X-=-1P（J2）=-X-=-.

11

X

-2-=7，P(4)=2x^X5=弓.

2，/NN

所求的概率为

P=P(B。♦4)+P(50•&)+Pg•4)

141414

=—X--1——X--1--X—

494929

4

=—

9.

4

(ID的可能值为0J73且J〜月(3,-).

摩=0)=3=%

9729

P(^=l)=C]x^x(|)1=l^,

收=2)=%孑[=言,

4.64

P(^=3)=(-)3=—

9729

4的分布列为

0123

1251008()64

P

729243243729

44

数学期望E《=3xg=§.

6.【高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一

易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为售件，每个200元.在机器使用期间,

如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的暇率,

记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器的同时购买的易

损零件数.

(D求X的分布列；

(II)若要求P(X4〃)N0.5,确定〃的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一,

应选用哪个？

【答案】⑴见解析；⑴)19;(III)n=\9.

【解析】

试题分析：(I)先确定丫的所有可能取值，然后求相应的概率，可得X的分布列；(ID通过概率大4

进行比较；＜111)分别求出kl9,k20的期望，比较即可.

试题解析：(D由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,%10

11的概率分别为02,0.4,0.2,0.2,从而

P(X=16)=0.2x0.2=0.04^

P(X=17)=2x02x0.4=0.16；

P{X=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24：

P{X=19)=2x02x0.2+2x0.4x0.2=0.245

尸(X=20=2x0.2x0.4+02x0.2=0.2；

=21)=2x02x0.2=0.085

=22)=0.2x0.2=0.04.

所以X的分布列为

6789912

0.040.160.240.240.080.04

(II)由(I)知P(XW18)=0.44,P(X<19)=0.68,故〃的最小值为19.

(Ill)记丫表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当〃二19时，

EK=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08

+(19x200+3x500)x0.04=4040.

当〃=20时，

EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04

=4080.

可知当〃=19时所需费用的期望值小于/?=20时所需费用的期望值，故应选〃=19.

【考点】概率与统计、随机变量的分布列

【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定的综合性，

但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

三.拔高题组

1.【新课标，理12］设y=f(x)为区间［0,1］上的连续函数，且恒有OWFCOWl,可以用随

机模拟方法近似计算积分J：f(x)小.先产生两组(每组N个)区间［0,1］上的均匀随机数X.,

X2,…，XN和yi,y2t•••»yN,在此得到N个点(x〃ys)(I=1,2,…，N).再数出其中满足yiWf(xJ(i

=1,2,…，N)的点数那么由随机模拟方法可得积分工f(x)小的近似值为.

【答案】：工

N

【解析】：由题意可知〈八，它所围成的区域面积为S=l,结合积分的几何意义和几何模

0<y<l,

f'fMdxN

型可知，J—=3，

SN

即ff(x)公二一-.

JoN

2.［全国1,理20］

9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1

粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定

每个坑至多补种一次，每补种1个坑需io元，用g表示补种费用，写出g的分布列并求g的

数学期望.（精确到0.01）

【解析】

（I）解：因为用坑内的3粒种子都不发芽的概率为。-0.9'=：,所以甲坑不需要补

8

17

种的概率为1一;7=『

88

3个坑都不需要补种的概率

哈飙卡=0.670,

恰有1个坑需要补种的概率为

C^X1x（2/=0.287.

恰有2个坑需要补种的概率为

c/【x<|1）ix-7=0-04L

3个坑都需要补种的概率为

ClX(l)3X(l)°=0.002.

88

补种费用4的分布为

自3102030

P0.3700.2870.0410.002

4的数学期望为

烤=0x0.670+10x0.287+20x0.04l+30x0.002=3.75

3.【高考新课标1,理19］某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

x（单位：千元）对年销售量y（单位：。和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年

宣传费匕和年销售量M・・・，8）数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些

统计量的值.

4者付费T兀

8__8__

Xyw£（叱-卬＞Z（%