高等数学公式大全(考研)

高等数学公式篇

•平方关系

sin，2(u)+cosA2(a)=1

tan*2(a)+1=secA2(a)

C0tA2(a)+1-CSCA2(a)

•积的关系：

sina«=tana*cos«

cosu=cota*sina

tan：i=sina*sec<1

cotJ=cos<1*csca

seca=tan「esca

CSCa=sec(1*cota

・倒数关系:

sin-i.esca=1

cosa•seca=1

直角三角形ABC中,

ftA的正弦假就等于角A的对边比斜边,

余比等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边，

•三角函数恒等变形公式

•两角和与差的三角函数:

COS(a+B)=COSa•cosB-sina•sin0

cos(ri-B)=cosa•cos3+sina•sin3

sin(a±P)=sina•cosP±cos«•sinP

tan(a+0)=(tana+tanB)/(1-tana•tan3)

tan(a-3)=(tan«-tanB)/(1+tan□•tan3)

•三角和的三角函数:

sin(a+P+Y)=sina•cosP•cosY+cosa•sinP•cosY+cosu•cosP,sinr-sina•sinP•sinr

cos(a+3+y)=cosa•cos3•cosy-cosa•sinP•siny-sina•cos3•siny-sina•sinB•cosy

tan(u+p+y)=(tanu+tanP+tanY-tana•tai3•tany)/(1-tana•tanP-tanP-tan丫-tan丫•tana)

•加助角公式:

AAA

Asina+Bcosa=(A2+B2)(1/2)sin(o+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B.'A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

•伟角公式:

sin(2a)=2sina•cosu=2/(tana+cotu)

COS(2a)=COSA2(0)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tan<1/11-tanA2(a)]

•三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3<1)-4cosA3(a)-3cosa

•半角公式:

sin(a/2)=±7((1-cosa)/2)

cos(a/2)=+V((1+cnsa)/2)

tan(a/2)=±7((1-cosa)/(1+COS<I))=sinu/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

・降募公式

sin2a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cos-2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tan*2(a)=(1-cos(2a))/(1+COS(2a))

•万能公式：

3ina-2tan(a/2)/[1-i-tanA2(a/2)]

cosa»[1-tanA2(a+tanA2(o⑵]

tan□=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•积化和差公式：

sina•cosB=(1/2)[sin(a+B)+sin(a-B)]

cosa•sinP=(1/2)[sin(a+13)-sin(a-P)]

COSa•COSB=(1/2)[cos(a+0)+COS(a-P)]

sin-J•sinP«-(1/2)[cos(a+3)-cos(a-P)]

•和差化积公式：

sina+sinB=2sin[(a+P)/2]cos[(a-P)/2]

sina-sinB=2cos[(a+B)/2]sin[(a-p)/2]

cosu+cosB=2cos[(a+P)/2]cos[(a-P)/2]

cosf>-cosB=-2sin[(a+B)/2]sin[(a-B)/2]

•推导公式

tana+cota»2/sin2a

tanu-cota=-2cot2a

1+00S2a=2COSA2(1

1-cos2a=2sinA2u

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

•其他:

sina+sin(Q+2n/n)+sin(a+2丸*2/n)+sin(o+2n*3/n)+.......+sin[a+2M*(n-1)/n]=0

cosu+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(«+2n*3/n)+.......+cos[a+2x*(n-1)/n]=0以及

AA

sin，2(Q)+sin2(a-2n/3)+sin2(a+2n/3)=3.'2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函数的角度换算

[编粒本段]

公式一：

设。为任意角，终边相同的角的同•三角函数的值相等：

sin(2k«+a)=sina

COS<2kn+a)=cosa

tanc2kn+a)=tanu

cot(2kJI4-a)=cota

公式二：

设。为任意角，n+Q的三角函数值与。的三角函数值之间的关系：

sin(n4-a)=—Sina

COS<x+a)=—COS<1

tan(n4-a)=tanu

cot(n4-a)=COta

公式二；

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：

sin(—a)=—sina

cos(-a)=cosa

tan(—a)=­tana

cot(-a)="cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到与a的三角函数值之间的关系：

sin(n—a)=sina

cos<n—a)=-cosa

tan(n—a)=~tana

cot(n-a)=-cota

公式五：

利用公式•和公式三可以得到2n-Q与a的三角函数值之间的关系:

sin(2n—a)=­sina

cos<2n-a>=cosa

tan(2n—a)=­tana

sinx,

双曲正弦:5以="一"hm------=1

2XT。X

双曲余弦:。丘二纪土"lim(1+%=e=2.718281828459045...

218X

双曲正切:机“四=冬三

chxe+e

arshx=ln(x+VP+1)

archx=±ln(x+VP-1)

1+x

arthx=—In

2

三角函数公式:

、诱导公

我

赧sincoslgcig

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tgc-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

'和差角公式:•和差化积公式:

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2COS2«-1=1-2sin2a=cos2。-sin?asin3a=3sin«-4sina

ctg2a-1cos3a=4cos3«-3cosa

ctg2a=

2ctga驷“

g2

2fga\-3tga

吆2a=1fg2a

・半角公式:

a

sin—=±cos—=±

22

a5,,1-cosa1-cosa_sinaa,1I4+Cc0oSs6aZ1+coscz_sina

ctg—=±----------=-----------^3------------

sina1+costz21-cosasina1-cosa

•正弦定理：口・余弦定理：口

・反三角函数性质：口

高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:

4=0

...+-3…..2

中值定理与导致应用：

拉格朗日中值定理：/出)-/⑷=/'©3-。)

柯西中值定理:“")一/(幻=/垃

F(b)-F(a)"O

当F(x)=x时，柯西中值定理就跪格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=Jl+y'2右,其中y'=fga

△a

平均曲率灭=.Ao:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

△s

\ada二w

M点的曲率：K=\im

°A.VdsJ(i+y”)3

直线：K=0;

半径为4的圆：K=~.

a

定积分的近似计算:

矩形法：j/（x）

（x）+y+…+）』）

梯形法：jf（x）«与《：（X）+，〃）+y+…+yn-ii

a

h>_

抛物线法,一（无）“为广［（%+y〃）+2（出+弘+…+笫-2）+4（%+为+…+x.-i）］

定积分应用相关公式：

功：W=Fs

水压力：F=p-A

引力：I写M为引力系数

函数的平均值加£

均方根:.产3dt

b-a

空间解析几何和向量代数:

222

空间2点的距离：d=lA7.Mj=yl（x2-xi）+（y2-yi）+（z2-z1）

向量在轴上的投影Pr./；》=f^-cos外濯矶〃轴的夹角。

P5（4+G）=Pr/4+Pr〃2

a-h=\a\-bcos^=axb+ah+a,b一个数量

两向量之间的夹角cos，=。也+，久+生，

_ijk_

c=axh=axay生，同=同.„夕例：线速度：v=HXr.

瓦b>也

axaya:

向量的混合积m通］=（Nx方）bye=NX可.同cosa,a为锐角时,

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:A(x-x0)+B(y-jo)+C(z-zo)=O,其中无

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程1+工+三=1

abc

平面外任意一点到该辆的距离：d』A-+6)b+Cz0+D|

x=x0+mt

空间直线的方程二^二二^二三a”其中§={〃?,〃,〃}渗数方程b,=)，0+〃/

mnp

z=z0+pt

二次曲面：

1、椭球面工+E+M=1

a~b~c~

v2v2

2、抛物面:一+L=z,(p,q同号)

2P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面r二十二v—二=1

a~b-L

v2V2z2

双叶双曲面二-4+—=1(马鞍面)

a~b-c

多元函数微分法及应用

人取八，/，dz‘.du.du.du.

全微分：dz=—dx-\dydu=——dx+——dy+——dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：\zxdz=fx(犬,y)Ax+/、,(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

生>

(17

Z=/[〃(/),%)]—=fao

atV

四

喑

永

z=j[u(x,j),v(x,y)jaz一

外

当〃=u(x9y),v=u(x,y)时,

.du.du,.dv.dv.

du=—dx+—aydv--dx+—dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)=O,电二一上"、=d(工3(Fdy

1

dxFydxdxFydyFydx

、,

隐函数F(x,)，,z)=O,字dz=-F善dz_F

oxF:小，Fz

竺

加

F(X，3\W,V)=()/(EG)F”工

隐函数方程组?加

G(x,y,w,v)=O6(〃,v)

加G”Gv

a£

-aG-)a-v1a(F,G)

尤V)axJd(u,x)

£

G)a-v

小1a(F,G)

-V)

乂

a(式

Jd(u,y)

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

函数z=/(x,y)在一点y)沿任一方向/的方向导数为由=%cos。+in°

dloxdy

其中e为x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,)，)在一点〃(x,y)的梯度：gradf(x,y)=&+%]

oxay

它与方向导数的关系是红二grad其中巨二COSR•:+sin°j,为/方向上的

cl

单位向量。

2是gradf(x,y)在/上的投影。

cl

多元函数的极值及其求法：

设A(/,%)={(/,)")=()，令：£式与，%)=人fxy(xO,yo)=B,fyy(x09y0)=C

AC-L,]；：；：：；喘

则：JAC—B?vOfl寸，无极值

AC-B2=OW,不确定

重积分及其应用:

JJf(x.y)dxdy=jj/(rcos^,rsinO)rdrdO

D'

dz\

fill®z=f(x,),)的面不财=1j噌)+dxdy

D5

JJ)夕(北丁)加

M、

平面薄片的重心：元=也=号---------,y=—D

MJJp(x,y)dcrMjjp(x,yWo-

DD

平面薄片的转动惯量：对于大轴。对于>轴/),=^x2p(x,y)d(y

D

平面薄片(位于9V平面)对z轴上质点M((),(),〃),(〃>())的引力：F={F、,F"」,其中:

p(x,y)xdcrF川夕

k川=尼=一/叫什

D(J+y2+〃2)2l>(x2+y2+a2)D(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosO

柱面坐标：y=rsin^,JJJ/(x，V，z)dxdydz=jjjF(rf、z)rdrd9dz,

z=zc

其中：F(r,0,z)=/(rcos<9,rsin<9,z)

x=rsin9cos0

球面坐标，y=rsin^sin^,dv-rd(prsin(pdOdr=r2sin(pdrd(pd9

z—rcos。

2JTrrr(“⑶

JJJ/(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,(p,O)r~sin(pdrd(pdO=JdO^d(pJF(f\(p,O)r2sin(pclr

QQ000

重心:六卷心的，"卷BpM，其中M=x=jjjpdv

IVICIVIClvlQQ

22

转动惯量：/r=JJJ(/+Z)A/p,Z^JJJ^+Z)/^,/二二JjJ(l+y2)M

QQc

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设〃、曲上连续」的参数方程为忆黑心/),则:

ft____________x=t

Jf(x,y)ds=J/[。⑺〃。)]J(p，2(t)+y/,2(t)dt(a<尸)特殊情况

y二夕。)

第二类曲线积分(对物的曲线积分)：

设L的参数方程可『")，则：

fi

JP(x,y)dx+。(苍y)dy=J{P[(p(t)^{t}](p\t)+Q[w(f)"(f)]"'Q)]dt

La

两类曲线积分之间的繇：jPdx+Qdy=J(Pcosrz+Qcos0)ds,其中。和尸分别为

LL

L上积分起止点处切向懒勺方向角。

格林公式：JJ(半S~)dxdy=,Pdx+Qd)格林公式JJ(孚手)dxdy=1Pdx+Qdy

八OA②LDox

当尸=-y,Q=x,即:义一如二2时，得至lj£)的面积：A==一),公

dxdyJ*-2]

・平面上曲线积分与路径e关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、尸(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且孚=色。注意奇点，姐(),())，应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在义=竺时，才是二元函数《(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(工方)

〃(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dyf通常设r。=y0=0。

(%,为)

曲面积分:

对面积的曲面积分/(x,y9z)ds=JJ/[x,y,z(x,y)]J1+z；(x,y)+z；(x,y)dxdy

I/

对坐标的曲面积分，P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

JjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

I%

JJP(X,Xz)dydz=ij|尸[x(y,z),y,z]dydz,取|由面的前侧E寸取正号;

ZD”

JJQ(x,y,z)dzdx=±JjQ[x,y(z,x),z]dMx,取曲面的右侧时取正号。

z%

两类曲面积分之间的关系：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=^(Pcoscr+Qcos〃+Rcosy)小

高斯公式:

斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：

仃而dQdP6RoQOP.

卜办/阳(及产如%--)dxdy=，Pdx+Qdy+Rdz

8y「

dydzdzdxdxdycosacos产cosy

_a_a_a_

上式左端又可写成gggC=JJ

乙Vdxdydzydxdydz

PQRPQR

空间曲线积分与路径底的条件*等

ijk

史.由-ddd

旋度：rotA=———

dxdydz

PQR

向量场,沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=,X•

rr

常数项级数：

等比数歹打+4+/+…+/i=^-

i-q

等差数列U+2+3+…+〃=^^

2

调和级数4+」+」"!是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法(柯西判别法)：

[p<l时，级数收敛

设：p=lim亚,则”>1时，级数发散

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

「<1时，级数收敛

U

设：E-L,0>1时，级数发散

p=WI-iKnOiTJ

夕=1时，不确定

3、定义法：

s=M)+〃2+…+”〃；lims“存在，则收敛；否则遇九

n〃一XO

交错级数W1-“2+〃3-44+…(或-/+〃2-H3+…”>0)的审敛法----莱布尼兹定理:

fU>U„.,

如果交错级数满闰n嬴%那么级数收敛且其和人”其余项乙的绝对瞰佰小

绝对收敛与条件收敛:

(1)W|+〃2其中〃〃为任意实数;

⑵同+同+闷+…+隔+…

如果(2)收敛，财1)肯定收敛，旦称为绝对I攵敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则楸1)为条件收敛级数。

调和级数：z/发散，而zg*收敛;

级数》《收敛；

P<1时发散

〃级数

时收敛

幕级数:

,,,血<1时，收敛于一^

\H>M,发散

对于级数(3)《)+4/+42/+…+//'+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/W<R时收敛

数轴上都收敛，则必帚ER,使(凶>/?时发散，其中R称为收敛半径。

\k|=R时不定

夕工耐，R=-

夕=0时，R=+8

(P=+8日寸,/?=0

函数展开成幕级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)=于C%)(x-X。)+')(X-工0)2H---F—_("，)(茂_X。)”+,•,

2;〃！

余项：R=£23(x—x)叫/(幻可以展开成泰勒级数做要条件是而nR=0

(n+1)!〃廿

/=丽即为麦克劳林公式：5(幻=/(0)+/(0口+/迎/+-+/工/+-

2!ni

一些函数展开成嘉级数：

(1+x)=1+mx+-------厂+…+------4-----------x+…(-1<X<1)

2!〃！

元3r5、2，1

sinx=x----H-------+(-1)/,-1-------+…(-00<x<+00)

3!5!(2/?-!)!

欧拉公式:

e"+e*

或，,co2sx=.-----------

e"=cosx+zsinx

.e—e-IX

sinx=-----------

2

三角级数:

个aa

fU)=A+ZA”sin(〃初+%)=U+Z("〃cosnx-hbtlsinnx)

a

其中，aQ=n=A”sin(pn,b„=Ancos(pn,col=xo

正交性4,sinx,cosx,sin2工,cos2x…sincos〃工…任意两个不同项的乘积电-乃，乃]

上的积分=0。

傅立叶级数：

8

£o

fM=Z(。〃cosnx+bltsin〃x),周期二27

2n=\

[开

an=—J/(X)COS/?ACZY(n=0,1,2•••)

丸-无

其中

/?“=—Jf(x)sinnxdx(n=1,2,3…)

-a

2

111•••=二(相加)

++7+

F3T46

••二二（相减）

合十铲一下

12

正弦级数:an=0,bn=—jf(x)sinnxdxn=1,2,3…/(x)=sinnxSi奇函数

r\灯

/*)=今+是偶函数

余弦级数：bn=0,an=—j/(x)cosnxdxn=(),1,2…Zcos/u

周期为的周期函数的傅立叶级数:

/⑴=