2023年河北省衡水中学高考数学一模试卷

2023年河北省衡水中学高考数学一模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.己知集合M=[x\x<77i},N={x\y=,1},若MUN=R,则实数m的取值范围是

()

A.[—l,+oo)B.[4,4-oo)C.(-8,-1]D.(—oo,4J

2.已知复数Zi，z2»当Zi=l+2i时，=Zi,则z?=()

A.8+6iB.8-6iC.10+lOiD.10-lOi

3.在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时,

每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时,

疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本

传染数为品，1个感染者平均会接触到N个新人(N之％),这N人中有P个人接种过疫苗后称

为接种率)，那么1个感染者可传染的新感染人数为华(N-V).已知新冠病毒在某地的基本传

染数R0=log24&，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少

为()

A.30%B.40%C.50%D.60%

4.已知角a的顶点是坐标原点，始边是x轴的正半轴，终边是射线y=2x(x>0),则tan(2a+

》=()

A.yB.-2C.-7D.-g

5.某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x,y之间的相关关系，统计样

本数据得到如下表格：

%12023252730

训22.4334.6

由表格中的数据可以得到y与无的经验回归方程为y=+a据此计算，下列选项中残差的绝

对值最小的样本数据是()

A.(30,4.6)B.(27,3)C.(25,3)D.(23,2.4)

6.已知△48C中，A=120°,AB=3,AC=4,由=4而，AN=NB^则北•丽=()

AB--C--D--

j55j55

7.已知正三棱柱ABC-4B]G，过底边BC的平面与上底面交于线段MN,若截面8CMN将

三棱柱分成了体积相等的两部分，则器二()

tic

A.与B.1-^C.等D.3-苧

22

8.已知锐角△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若Q=百，b+c-bc=3,则

△48C面积的取值范围是()

二、多选题(本大题共4小题，共分。在每小题有多项符合题目要求)

9.某商店为了解该店铺商品的俏售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析,

B.该产品各年的月销量高峰期大致都在8月

C.该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加

D.该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳

10.已知函数/"(X)的图像的对称轴方程为％=3,则谑数/(%)的解析式可以是()

A./(%)=x+B./(x)=ex~3+e3~x

人IO

C./(x)=x4-18x2D./(x)=\x2—6x\

11.红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一

种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量

的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余

卜.四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，力表示事件“甲调配出红色”，8表示事件

“甲调配出绿色”：C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是()

A.事件4与事件。是独立事件B.事件力与事件8是互斥事件

C.P（CM）=oD.P（8）=P（C）

12.已知椭圆C：圣+/=1（。>6>0）与直线，：x—y—l=O交于4,B两点，记直线2与工

轴的交点£点E,尸关于原点对称，若24"8=90。，则（）

A.2a2+/=a2b2B.椭圆C过4个定点

C.存在实数a,使得|48|=3D.\AB\<\

三、填空题（本大题共4小题，共分）

13.已知向量G=（2,-3）,加=（一1,2），1=（£-2,30若向量2与2一+方平行,则实数t的值

为一.

14.分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年

代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的

难题提供了全新的思路.如图，正三角形力BC的边长为4,

力BC各边的中点。，E,F作第2个三角形，然后再取ADEF各

边的中点G,H,/作第3个三角形，以此方法一直进行下去.已

知448c为第1个三角形，设前71个三角形的面枳之和为配，

若Sn>5VJ，贝Ijn的最小值为一.

15.如图，已知台体力BCD-&R】CiDi的上、下底面均为长

方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的

距离为4.若48=4后，AD=4或，=4a,则该台体的

外接球的表面积为一.

222

16.在空间直角坐标系下，由方程为+/+3=l（a〉0，b>0,c>0）所表示的曲面叫做椭

球面（或称椭圆面）.

如果用坐标平面z=0,y=0,%=0分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个

x2必_仅2z2_（y2z2_

截面的方程分别为葭+"=L滔+记=1，岸+百=1，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线

z=0,（7=°，（%=0,

（刀2y2

（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆互+正=1，与点M（l,2,后），则这个

（Z=0

椭球面的方程为

各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，

若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、

地表水、大气等)有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、

己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关

数据如下：

单项或综介质景指数

0.2

。72二，二二庆二~H

(1)若从这8个村中随机抽取2个讲行调杳，求抽取的2个村应对土壤做讲一步调研的概率：

(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记z为技术员选中村的环境空气

等级为尚清洁的个数，求f的分布列和数学期望.

19.(本小题12.0分)

n+1

已知数列｛an｝，｛砥｝满足内瓦+a2b2+•••+anbn=(n-1)-2+2(neN，)，｛bn｝是等比数

列，且｛J的前几项和%=1-方.

(1)求数列｛册｝，｛匕｝的通项公式;

(2)设数列■二，｛%｝的前力项和为〃，证明：T2n-Tn<-^—.

。〃。八十1十02

20.(本小题12.0分)

如图所示，A,B,C,。四点共面，其中乙B40=乙ADC=90°,AB=同。，点P,Q在平面力8。

的同侧，且P41平面力BCD,CQJL平面ABCD.

(1)若直线，u平面P/W,求证：1〃平面COQ；

(2)若PQ〃4C,Z.ABP=LDAC=45°,平面BPQC平面CDQ=m,求锐二面角B—m-C的

余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=和(％+/)-疡港,其中aWR.

(1)当a=5时,求函数/㈤的单调区间；

(2)当x>0时，/(x)<|(sinx+cosx)恒成立，求实数a的取值范围.

答案

1.【答案】B

2.【答案】力

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】BD

11.【答案】BCD

12.【答案】ABC

13.【答案】1

14.【答案】3

15.【答案】1287r

16」答案】小分

17.【答案】解：(1)对于条件②，y=sinx-cosx=V2sin(x-^),

若函数/(%)=Asin(a)x+(pX\(p\＜方的图象可以由y=sinx-cosx的图象平移得到,

则f(%)=x/2sin(x+9),

由条件③相邻两条对称轴之间的距离为今可得〃幻的最小正周期为限

可得3=2,与②矛盾；

对于条件④最大值为2,可得4=2与②矛盾，

故只能舍弃条件②，

所以这三个条件为①③④.

(2)由(1)可得/'(x)=2sin(2x+中),

由条件①&)=1可得2sQ©+*)=l,又|例〈)

所以0=一2所以f(%)=2式九(2%一看),

令2%—[=4+471,kEZ,可得％=[+”，kEZ,

bZ32

k=-1时，x=-p

k=0时，x=p•5

k=1时，％=等，

6

又曲线y=/(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上，

所以牌mV*

3o

即m的取值范围是庄物.

【解析】本题主要考查由y=4sin(s+@)的部分图象确定其解析式，三角函数的性质，考查运

算求解能力，属于中档题.

(1)由条件②可得f(x)=V2sin(x4-⑺，由条件③可得3=2,由条件④可得力=2,推出条件②

与③④都矛盾，从而可得结论；

(2)由(1)及条件①可求得/'Q)的解析式，从而可求得了(%)的对称轴，结合题意即可求得m的取值

范围.

18.【答案】解：(1)由题图知应对土壤做进一步调研的村有4个，记事件4="抽取2个村应对土壤

做进一步调研“，

则P(4)=旨=看所以抽取两个村应对土壤做进一步调研的概率为得；

(2)由题意知环境空气等级为尚清洁的村共5个，1的所有可能取值为0,1,2,3,

P(f=0)=警呜,p(f=l)=管畸P(f=2)=普/p(f=3)=警崎

S的分布列为

0123

P115155

56562828

所以即）=0x4+”!|+2><,+3><4=洋

【解析】(1)利用古典概型概率计算方法求解；

(2)确定11比的所有可能取值，再分别求出对应概率，列出分布列并求出期望.

本题考查统计图、古典概型、超几何分布的知识与方法，属于中档题.

19.【答案】⑴解：因为数列｛5｝的前n项和8n=1-/，

所以当n=1时，rU-J=5i=4即仇=2,

112

当九二2时，瓦■+豆=々=彳所以匕2=4,

故数列｛4J是首项为2,公比为2的等比数列，

所以%=2・2时1=2〃，

因为%瓦+a2b2+…+tznbn—(n-1),2"+〔+2,

n

所以当n>2时,a1b1+a2b2+…+an_1bn-1=(n-2)-2+2.

n

两式相减得,anbn=n-2(n>2),

Xn=1时，%A=2,满足上式，

所以%bn=n-2n(nWN*),

因为bn=2沱，所以On=71.

(2)证明：％=含=康='一六，

所以〃=(1得)+©-)+-+(卜系)=1一磊=后，

…rTT_2nn_n_1

明以，2n-。=2^+1一定=2M+3n+l-2n+3+]

要证72^-414石为，需证2n+3+：工效+无二才=不需证2〃+3+：工6,即证2〃+彳之3,

因为/(九)=2月+；在几6N*上单调递增，

所以当力=1时，fQ)=2〃+；取得最小值3.

所以2n+；23恒成立，

故命题得证.

【解析】(1)在治=1一次中，分别令n=l和九=2,可得数列仍工是首项为2,公比为2的等比数

列，从而知bn=2%再利用g=Sn-Sn_i(7i22)的方法，求得0nbn=n・2n(nwN*),进而知

an=n：

(2)裂项求和得7；=黑，再采用分析法，结合函数的单调性，即可得证.

本题考查数列的通项公式与前〃项和的求法，熟练掌握利用%二571-5„-]5a2)求通项公式，裂

项求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：因为化4,平面力BCD,CQ_L平面力BCO,

所以P/V/CQ,

因为PAu平面产力氏CQC平面248,

所以CQ〃平面尸48,

因为4840=4/1OC=90。，所以AB//CO,

因为CD//平面P48,

因为CQnCD=C,CDu平面CDQ,CQu平面CDQ,

所以平面CDQ〃平面P4?,

直线，u平面P48,所以1〃平面CDQ：

(2)解：因为力P，平面力8co•48u平面力8C0,力Du平面

所以｛P_L4B,AP1AD,又因为4BJ.AD,

以4为坐标原点，AB,AD,AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

由⑴可得P/V/CQ,又因为PQ〃人C,所以四边形力PQC为平行四边形,

不妨取AB=1,由题意可得从(0,0,0),8(1,0,0),P(OA1)>Q(2,2,l),D(0,2,0),

所以前二的二(1,2,1)，

设平面8PQ的一个法向量为元=(x,y,z),

1二;言；；；=0,令"1,则y=-l,z=L贝配=(1,一1,1),

易知1平面CDQ,

则平面CDQ的一个法向量为而=(0,2,0),

所以cos〈而，n>==又焉=一苧.

\需AD\-二\n\2xv33

锐二面角8-m-C的余弦值为今

【解析】(1)通过证明平面CDQ〃平面/MB,可证〃/平面CDQ；

(2)以力为坐标原点，AB,AD,4P为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面BPQ,平

面CDQ的一个法向量，利用向量法可求锐二面角8-m-C的余弦值.

本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.

21.【答案】解：⑴当。=新寸，/(%)=引11(%+1)-后2的定义域为(一1,+8),

则f,(、___4_______18\尔-3(x+2)+3_-(3V^+D(V^-3)

人」/⑺-3(x+1).24X+2-—6(X+1)\/X+7——6(X+1)VFP2'

当1VGT2V3时，即一1CXV7时，/'(%)>0,函数单调递增，

当VF不W>3时，即3>7时，f(x)<0,函数单调递减，

所以函数/(x)单调递增区间为(-1,7),单调递减区间为(7,+8)：

(2)证明：设g(x)=:(simr+cosx),由/1(())=一&三g(0)=：,

解得。工一苧或。>0,

①当Q>0时，/(3)=aln2--\/5»g(x)=邛sin(x+.),

当％e6样)时，g(x)单调递减，

臼；I'l"/11几、30.77r3^2

班以9(3)<贝正)=工加豆=-1r

若am2一yV一等'则出九2+乎〈通，

2a2a

因为出〃2+>2Jaln2-=J62(当且仅当a仇2=与，时等号成立)，

又因为，6在仇2>V5-

所以一挈<am2—通，

2a

此时f(%)<g(%)不成立,即Q>0不合题意，

②当QW—苧时，f(X)为减函数，

当“e［。，》时，/(%)—g(x)=1ln(x4-1)