高考数学解题策略

前言

高考数学试题是由选择题、填空题、解答题三部分构成，每个考生只记最后的总

分。在录取投挡排序中首先看挡分，挡分相同，再按语文、数学、英语的单科顺

序排序。因此，只有在每一科中都取得自己的最高分（不论是哪类题型、什么难

度）才是每个考生的最佳考试策略。如何实现这一目标呢？下面是我们为你提

供的一些应试策略，若能对你有所帮助，那是对我们的最大鼓励与鞭策。

心理暗示：人难我难我不畏难，人易我易我不大意。

答题顺序；六先六后因人因卷选方案。

①先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过

啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能

走马观花，也别死缠烂打。啃得动就啃，啃不动就闪。大概的标准：一道

选择题、填空题2分钟以内不知如何做，5分钟以内拿不下，或一道解答

题5分钟以内不知如何做，10到15分钟以内解决不了就该考虑换一道

了。

②先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利

之处。对后者，不要惊慌失措。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这

种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略,

即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的

题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下

中高档题目的目的。

③先同后异，就是说，先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法

的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进

行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频

的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力，

④先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应

争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心

理基础。

⑤先点后面，近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答

时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备

了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面

⑥先高后低。在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则

先做高分题；估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时

间不足前提下的得分。

答题节奏：慢快得当见成效

审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样

解题”的信息源，匆忙看题往往造成一些关键条件没有看清，或对题目意思理解

有偏差，不到位，甚至产生一些主观臆断、先入为主的错误想法，而造成思路堵

塞，只有字斟句酌，连同标点符号也不放过，才能综合所有条件，提炼全部线

索，膨成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。尤其是新题更须多看,

细看。而思路一旦形成，则应尽量快速完成。一方面，避免第一感觉模糊，另一

方面，避免时间的无谓浪费。

运算原则：确保准确，一次成功

数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小21道题，时间紧张，不允许做

大量细致的解后检验，因此要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），

立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据

常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以

快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉

准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快

求对了，因为解答不对，再快也无意义。

取舍之道：舍小取大，舍难保会。

当断不断必受其乱！适当的舍弃是为了更好的收获!

第一讲、选择题的解题策略

1.解答选择题的基本策喀是准确、迅速。

2.对于选择题的答题时间，应该控制在不超迂25分钟左右，速度越快越好,

高考要求每道选择题在1〜3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。

3.高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中

的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。

4.在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题

干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择

解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。

(一)数学选择题的解题方法

1.直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得

由结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有2

次击中目标的概率为()

«8154.36八27

A.BD.C.D.

125125125125

解析：某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实

验。

C；x(9)2X巴+C；x(-r=—故选Ao

31010310125

2.特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、

特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某

一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方

法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

(1)特殊值

例2.若sina>tana>□(口)，则a£()

A.(□,□)B.(□,0)C.(0,口)D.(□,□)

解析：因口，取a二一口代入sina>tana>cota,满足条件式，则排除A、

C、D,故选B。

(2)特殊函数

例3.如果奇函数f(x)是［3,7］上是增函数口且最小值为5,那么f(x)在

区间［-7,—3］上是()

A.增函数且最小值为一5B.减函数且最小值是一5

C.增函数且最大值为一5D.减函数且最大值是一5

解析：构造特殊函数f(x)=Dx,虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间

［-7,-3］上是增函数，且最大值为f(-3)=5,故选C。

(3)特殊数列

例4.已知等差数列□满足口，则有()

A.□B.□C.□D.□

解析：取满足题意的特殊数列口，则口，故选C

(4)特殊位置

例5.过□的焦点口作直线交抛物线与□两点，若□与□的长分别是口,

则口()

A.□B.□C.□D.□

解析：考虑特殊位置PQLOP时，口，所以口，故选C。

(5)特殊点

解析：由函数口，可令x=0,得y=2;令x=4,得y=4,则特殊点(2,0)及(4,4)

都应在反函数的图像上，观察得A、C。又因反函数f-1(x)的定义域为

□,故选C。

(6)特殊方程

例7、双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0)的渐近线夹角为a,离心率为e,则

cos□等于()

A.eB.e2C.□D.□

解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊

方程来考察。取双曲线方程为□一口=1,易得离心率e二口,cosE]=E],故选C。

(7)特殊模型

例8、如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=口3,那么□的最大值是()

A.□B.□C.□D.□

解析：题中□可写成口。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k二口，可

将问题看成圆(x-2)2+y2=3上的点与坐标原点。连线的斜率的最大值，即得D。

3、数形结合法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如

解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几

性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。

例9、已知a、B都是第二象限角，且cosa>cos0,则()

A.a<PB.sina>sin3

C.tana>tan3D.cota<cotB

解析：在第二象限角内通过余弦函数线cosQ>COSB找出a、B的终边位置

关系，再作出判断，得B。

4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证

是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证

法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

例10、方程x+lgx=3的解/£(

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+oo)

解析：若口，则口，则口；若口，则口，则口；若口，则口，则口；若口，

则口，故选C。

5.筛选法(也叫排除法、淘汰法):就是充分运用选择题中单选题的特征,

即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手，根据题设条件与各选择

支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设

相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答

案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。

例11.给定四条曲线：①口，②口，③口，④口，其中与直线口仅有一个交

点的曲线是()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可

考虑找不符合条件的曲线从而筛口选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭

圆，故可先看②，显然直线和曲线□是相交的，因为直线上的□点□在椭圆内,

对照选项故选D。

6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提

取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。

（1）特征分析法一根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位

置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。

例12、设球的半径为R,P、Q是球面上北纬600圈上的两点，这两点在

纬度圈上的劣弧□的长是口，则这两点的球面距离是（）

A.□B.□C.□D.□

解析：因纬线弧长〉球面距离〉直线距离，排除A、B、D,故选C。

（2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定

谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。

例13、口的三边□满足等式口，则此三角形必是（）

A.以□为斜边的直角三角形B、以□为斜边的直角三角形

C.等边三角形D.其它三角形

解析：在题设条件中的等式是关于□与□的对称式，因此选项在A、B为等

价命题都被淘汰，若选项C正确，则有口，即口，从而C被淘汰，故选D。

7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或

把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进

而作出判断的方法。

（二）选择题的几种特色运算

1.借助结论——速算

例14、棱长都为口的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积

为（）

A.□B.□C.□D.□

解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四

面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。

可以快速算出球的半径口，从而求出球的表面积为口，故选A。

2.借用选项——验算

例15.若□满足口，则使□得口的值最小的□是()

A、(4.5,3)B、(3,6)C、(9,2)D、(6,4)

解析:把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且口的值最小，故

选B。

3.极限思想——不

例16、正四枝锥相邻侧面所成的二面角的平面角为口，侧面与底面所成的

二面角的平面角为口，则口的值是()

A.1B.20.-1D.□

解析：当正四棱锥的高无限增大时，口，则□故选C。

4.平几辅助——巧算

例17、在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为

2的直线共有()

A.1条IUB.2条C.3条D.4条

解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方

程。以A(1,2)为圆心，1为半径作圆A,以B(3,1)为圆心，2为半径作圆

Bo由平面几何知识易知，满足题□意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关

系是相交，只有两条公切线。故选B。

5.活用定义——活算

例18、若椭圆经过原点，且焦点F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为

()

A.□B.□C.□D.□

解析：利用椭圆的定义可得口故离心率□故选口心

6.发现隐令---少算

例19、□交于A、B两点，且口，则直线AB的方程为

()

A.□B、□

C.□D.□

解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目速含直线AB的方程就是口，它

过定点(0,2),只有C项满足。故选C。

（三）选择题中的隐含信息之挖掘

1.挖掘“词眼”

例20、过曲线S:），=3x-/上一点A（2,—2）的切线方程为（）

A.□B.□

C.□D.□

错解：口，从而以A点为切口点的切线的斜率为-9,即所求切线方程为口

故选C。

剖析：上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处的切线”，事实

上当点A为切点时，所求的切线方程为口，而当A点不是切点时，所求的切线

方程为□故选D。

2.挖掘背景

例21、已知口，□为常数，且口，则函数□必有一周期为

（）

A.2口B.3口C.4口D.5口

分析：由于口，从而函数□的一个背景为正切函数tanx,取匚］,可得必有

一周期为4口。故选C。

3.挖掘范围

例22、设口、□是方程□的两根，且口，则□的值为

（）

A.□B.□0.□D.□

错解：易得口，从而□故选C。

剖析：事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定

理知口.从而口，故口故选A。

4.挖掘伪装

例23、若函数口，满足对任意的口、口，当口时，口，则实数□的取值范

国为（）

A.IB、□

C.□D.□

分析：“对任意的x1、x2,当口时，口”实质上就是“函数单调递减”的“伪

装“，同时还隐含了“□有意义，事实上由于□在□时递减，从而□由此得a

的范围为口。故选D。

5.挖掘特殊化

例24.不等式□的解集是（）

A.□B.□0.{4,5,6}D.{4,4.5,5,5.5,6}

分析:四个选项中只有□答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事

实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D,而无需繁

琐地解不等式。

6.挖掘修饰语

例25、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代

表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民

抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（）

A.72种B.36种C.144种D.108种

分析：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三

男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为口。

故选ADo

7、挖掘思想

例26.方程口的正根个数为（）

A.0B.1C.2D.3

分析：本题学生很容易去分母得口，然后解方程，不易实现目标。

事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出口的图象，容易发现在第一

象限没有交点。故选A。

（四）选择题解题的常见失误

1.审题不慎

例27、设集合M={近线},P={圆则集合□中的元素的个数为（）

A.OB.1C.2D.0或1或2

误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为。或1或2口个,

所以口中的元素的个数为。或1或2。故选D。

剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M,P就是直线与圆，

从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M,P表示元素分别为直线和圆的

两个集合，它们没有公共元素。故选A。

2.忽视隐含条件

例28、若口、□分别是□的等差中项和等比中项，则□的值为（）

A.□B.□C.□D.□

误解：依题意有口，①□②

由①2-②X2得，匚］,解得口。故选C。

剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实

上，由口，得口，所以□不合题意。故选A。

3.概念不清

例29、已知口，且口，则m的值为（）

A.2B.1C.0□D.不存在

误解：由口，得□口，方程无解，m不存在。故选D。

剖析:本题的失误是由概念不清引起的，即口，则口，是以两直线的斜率都

存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0,则两直线也垂

直。当m=0时，显然有口；若□时，由前面的解法知m不存在。故选C。

4.忽略特殊性

例30、已知定点A（1,1）和直线口，则到定点A的距离与到定直线口

的距离相等的点的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线

误解：由口抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。

剖析：本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线口上。故选Do

6.转化不等价

例31.函数□的值域为（）

A.□B.□C.□D.□

误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数口，所以口，

故选A。

剖析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由口，两边平方

得口，这样的转化不等价，应加上条件口，即口，进而解得，口，故选D。

（五）解选择题的原则与策略

1.解题基本策略：

从熟题入手，仔细审题，吃透题意、反复析题，去伪存真、善抓关键，全面分析、

讲究方法，小题小做，小题巧做，跳过拦路虎，回头收拾它，做开了就不怕了，

反复检查，认真核对。

2.基本原则：

①能画图的多画图，

②有范围的，多试试特值。

③要充分发挥选项的作用；

④有时把选项代进去验证也是不错的选择。

(六)强化练习：

1.已知□在[0,1]上是口的减函数，则a的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+oo)

2.一个等差数列的前n项和为48,前2n项和为60,则它的前3n项和为

()

A.-24B.84C.72D.36

3.定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+bWO,给出下列不等式：①

f(a)・f(-a)W0;②f(b)•f(一b)20;③f(a)+f(b)Wf(—a)+f(—b);④

f(a)+f(b)^f(-a)+f(-b)o其中正确的不等式序号是()

A.①②④B.①④

C.②④D.①

③

4.已知口、口均为单位向量，它们的夹角为60°,那么I口+3口|二

()

A.□B.□C.□D.4

5.已知｛an｝是等差数列，2仁-9,$3=57,那么使其前n项和Sn最小的n是

()

A.4B.5C.6D.7

6.若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是()

A.(1,□□B.(0,□□C.[□,□]D.(□,□□7、

已知口，则□等于()

A.□B.□C.□D.□

8、设a,b是满足ab<0的实数，那么()

A.|a+b|>|a—b|B.|a+b|<|a—b|C.|a—b|<|a|—|b|D.|a-

b|<|a|+|b|

9.高为□的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为

1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

(A)亚(B)与

42

(C)1(D)V2

10.设□在约束条件口下，目标函数□的最大值小于2,则□的取值范围为

.A..........B...........C...........D.□

11.已知口，口,□是三个相互平行的平面.平面口,□之间的距离为口，平面口，□

之间的距离为□.直线口与口，口，口分别相交于口，匚］,匚］,那么“□二口”是

的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知椭圆□与双曲线□有公共的焦点，口的一条渐近线与以□的长轴为直径的圆相

交于□两点，□若□恰好将线段□三等分，则

131

(A)a2=—(B)a2=13,(C)b?=上(D)b2=2

22

第二讲、填空题解题策略

填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填

空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空

题。

填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。填空题

大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型，因此，记住

平时作业与考练中的典型结论是非常必要的。

一、题型特点

填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标

集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。

不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既

有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力

要求上会高一些。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一

些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。

在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为旁劲。

填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，

考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说

明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。

其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰言得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题

的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。由此可见，填空题这种题型介于选择题与

解答题这两种题型之间，而且确定是一种独立的题型，有其固有的特点。

二、考查功能

1.填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当

同选捽题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题

的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一

点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查息期知识、基本技能和基本思想方法，

但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度

方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和

概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，

几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查

的深刻性往往优于选择题，但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，

填空题始终都是控制在低层次上的。

2.填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。

在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和

考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不

多。

三、常见思想方法

同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本

策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊

函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）

等。

一、直接求解法一直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变

形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。

使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

【例1】已知数列｛an｝、｛bn｝都是等差数列，a1=0、b1=-4,用Sk、S'k、分别表示

数列｛an)、｛bn｝的前k项和(k是正整数)，若Sk+S'k=0,则ak+bk的值为

【解】直接应用等差数列求和公式Sk=(Z],得□+□=(),又a1+b仁-4,.\ak+bk=4o

【例3】【例2】立乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比零。3

名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、

四位置，那么不同的出场安排共有种(用数字作答)。

【例4】【解】三名主力队员的排法有A33种，其余7名队员选2名安排在第二、

四位矍上有A72种排法，故共有排法数A33A72=252种。

如图14-1,E、F分别为正方体的面ADD1A1.

而BCC1B1的中心，员|四边形BFD1E在该正方体的面上的射影

可能是(要求：把可能的图的序号都填上)。

(1)【解】正方体共有3组对面，分别考察如下：

(2)四边彩BFD正在左右一组面上的射彩是图③。

因为B点、F点在面AD：上的射影分别是A点、E点,(2)四边形BFD正在上下及前后两

组面上的射影是图②，因为。点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD中点、

BC中点；B点、E点、F点在面DG上的射影分别是C点、D”的中点、CG的中点。故本

题答案为②③。

二、数形结合法一借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作出判断的方法

称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

[例4]若关于x的方程口"仪-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是

【解】令y1=D,y2=k(x-2),由图14-3可知kAB<kW0,

其中AB为半圆的切线，计算kAB=-匚口<kW0。

【例5】点P(x,y)是曲线C:□

(e为参数，owe〈n)上任意一点，则口的取值范围是

【解】曲线C的普通方程为(x+2)2+y2=1(y20),

则□可视为P点与原点0连线的斜率，结合图形(14-4)

判断易得□的取值范围是[-□,0]o

三、特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用

特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型

等)代替之，即可得到结论。

1.特殊值法

【例6】设a>b>1,则logab,logba,logabb的大小关系是。

【解】考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2,则

logab=n,logba=2,logabb二口，

Iogobb<Iogab<Iogba

2.特殊函数法

【例7】如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么

f⑴，f⑵，f⑷的大小关系是。

【解】由于f(2+t)=f(2-t),故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊】数f(x)=(x-2)2,

即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。.\f(2)<f(1)<f(4)o

3.特殊角法

【例8】cos2a+cos2(a+120°)+cos2(a+240°)的值为。

【解】本题的隐含条件是式子的值为定值，即与a无关，故可令a=0°,计算得上式

值为□<>

4.特殊数列法

【例9】已知等差数列｛an｝的公差dHO,且a1,a3,a9成等比数列，则口的值是

O

【解】考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n满足题设条件，于是□二口。

5.图形特殊位置法

【例10】已知SA,SB,SC两两所成角均为60°,则平面SAB与平面SAC所成的二面

角的余弦值为。

【解】取SA仁SB1二SC1,将问题置于正四面体中斫究，不难得平面SAB与平面SAC所

成的二面角的余弦值为口。

6.特殊点法

【例11】椭圆□+□=1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点，当NF1PF2为钝角时，点

P横坐标的取值范围是

【解】设P(x,y),则当NF1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5,由此可徉点P

的横坐标x二土匚］,又当点P在x轴上时，NF1PF2=0：点P在y轴上时，NF1PF2为钝角，由

此可得点P横坐标的取值范围是-匚|《<口。

7.特殊方程法

【例12】直线I过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若I被抛物线

截得的线段长为4,则a二o

【解】•・•抛物线y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故

可用标准方程y2二ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。

8.特殊模型法

【例13】已知m,n是直线，a、B、Y是平面，给出下列是命题：

①若a±y,3-LY,则a〃B;

②若n±a,n_LB,则a〃B；

③若Q内不共线的三点到B的距离都相等，则Q〃8；

④若nDa,a旦则a〃B；

⑤若m,n为异面直线，nGa,n#3,m£B,m〃a,则a〃B；

则其中正确的命题是。(把你认为正确的命题序号都填上)。

【解】依题意可构造正方体AC1,如图14-5,在正方体中逐一判断各命题易得正确命

题的是②⑤。

四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计

工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。

【例14】如图14-6,点P在正方形ABCD所在的平面外，PD_LABCD,PD=AD,

则PA与BD所成角的度数为。

【解】根据题意可将右图补照成一正方体，在正方体中易求得600o

五、典型结论法：是指从课本或习题中总结出来的典型结论，但

又不是课本的定理的“真命题”，用于解答选择题及填空题具有起点高、

速度快、准确性强等优点。

四、强化练习

1.设等差数列｛an｝共有3n项，它的前2n项之和是100,后2n项之和是200,则该等

差数列的中间n项之和等于。

2.从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，

则一共有种不同的摆放方法(用数字作答)

3.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB与CD所成角的大小是

4.已知三棱雄的一条棱长为1,其余各校长皆为2,则此三棱维的体积为

5.已知三个不等式：

cd

①ab>0,②一一〈-一，③bc>ad

ab

以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成个正确的命

题。

6.设函数f(x)的反舀数为h(x),函数g(x)的反函数为h(x+1),已知f(2)=5,f(5)=

-2,f(-2)=8,那么g(2),g(5),g(8),g(-2)中，一定能求出具体数值的是。

7.A点是圆C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点，A点关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆

C上，则实数a二o

8.已知向量a与向量b的夹角为60°,且|a|=3,|b|=2,c=3a+5b,d=ma-3b,若c与d

垂在，则m的值为c

9.以桶圆□+□=>!的中心。为顶点，以辅圆的左准线.11为准线的抛物线与楠圆的右准

线I2交于A、B两点，则|AB|的值为。

10.已知sinacosa二口，a£(□,□),则cosa-sina的值为。

11.已知椭圆口+口二1与双曲线□-口=1(m,n,p,q£{x|x是正实数集}),有共同的焦点

F1.F2,P是楠圆和双曲线的一个交点，则|PF1|・|PF2|二o

12.参数方程口(8是参数)所表示的曲线的焦点坐标是。

13.(1+x)6(1-x)4展开式中x3的系数超o

14.已知tana=2,tan(a-B)二一口，那么tan0二。

15.不等式3口<(□)x-2的解集为。

16.已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面a上的射影，

给出下面两组四个论断：

第一组：①a_Lb,②a〃b；

第二组：③c_Ld,@c〃d。

分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题：

0

17.函数产f(x)的图像与y=2x的因像关于直线y=x对称，则函数尸f(4x-x2)的递增区

间是。

18.过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为□的直线交抛物线于P、Q两点，。是坐标原

点，则△0PQ的面积等于。

19.一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形,

这样的三棱锥体积为(写出一个可能值)。

20.从5名礼仪小姐、4名翻译中任选5名参加一次经贸洽谈活动