高中数学必修4平面向量知识点总结1

高中教学必修4平面向量

知识点归纳9

一.向量的基本概念与基本运算

1团向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的旱田向量一般用团……来表示，或用有向线段的起点与终点的大

写字母表示，如:酿几何表示法0,0:坐标表示法酶向量的大小即向量的模（长度），记作

I回团即向量的大小,记作I团I团

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量=

II=0由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行

（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与。的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量心为单位向量OI否I=1.

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量团任意一组平行向量都可以移到

同一直线上团方向相同或相反的向量，称为平行向量团记作团〃市由于向量可以进行任意的平

移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量团

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区

分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”

与几何中的“平行”是不一样的.

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量团相等向量经过平移后总可以重合，记为03大小相

等，方向相同000

Z向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法.

设团，则团+即即团团

（1）6+«=^+6=a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始

点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量田

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的

终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点便

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.向

量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

团，但这时必须“首尾相连”.

工向量的减法

①相反向量：与团长度相等、方向相反的向量，叫做团的相反向量团

记作-之,零向量的相反向量仍是零向量.

关于相反向量有：（i）0=0：（ii）团+（回）=（回）+团=回；

（iii）若团、团是互为相反向量，贝加题⑦=0,0+0=03

②向量减法:向量团加上团的相反向量叫做（3与回的差，

记作：明求两个向量差的运算，叫做向量的减法团

③作图法:团”]■以表示为从团的终点指向回的终,点:的向量（回、团有共同起点）回

4团实数与向量的积：

①实数'与向量回的积是一个向量，记作入胤它的长度与方向规定如下：

（I）\Aa\=|2|•同；

（II）当国时，入团的方向与团的方向相同；当即寸，入团的方向与团的方向相反；当团时，瓦方

向是任意的团

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律.

5回两个向量共线定理：

向量回与非零向量回共线团有且只有一个实数回，使得班变

60平面向量的基本定理：

如果回是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量团有且只有一对实数

回使：团，其中不共线的向最团叫做表示这一平面内所有向量的一组基底回

7.特别注意：

（1）向量的加法与减法是互逆运算.

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件回

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线

（重合）的情况团

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对

位置有关团

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几

何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算

向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等团由于向量是一新的工具，它往

往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点团

例1给出下列命题：

①若||=|贝J=;

②若A,B,C,D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若=,=，则=,

④d=〃的充要条件是|6|=|方|且匕〃〃；

⑤若〃，//,则〃，

其中正确的序号是.

解：①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.丁，・•・且，

又A,B,C,D是不共线的四点，・•・四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD

为平行四边形，则，团且团，

因此,同

③正确.•・•二，・•・，的长度相等且方向相同；

又团=团，团,回的长度相等且方向相同，

・••团,团的长度相等且方向相同，故团=同.

④不正确.当团〃0且方向相反时,即使|田|=|即，也不能得至疆1=0,故他|=|即且团〃0不是

养团的充要条件，而是必要不充分条件.

⑤不正确.考虑(3=0这种特殊情况.

综上所述，正确命题的序号是②③.

点评：本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习

一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.

例2设A、B、C、D、0是平面上的任意五点，试化简：

①回，②团③回

解：①原式=团

②原式=(DB^BD)+AC=O+AC=AC

③原式=(OB-OA)+(-0C-CO)=AB-(OC+CO)=AB+0=AB

例3设非零向量团、团不共线,El=k0+S,(3=0+g(k(R),若团〃团试求媪

解：•・•目〃13

・•.由向最共线的充要条件得:团=人回(入(R)

即ka+b=(a+kb)(k-X)a+(1-A.k)h=0

又•・•〃、b不共线

・•・由平面向量的基本定理4.n攵=±1

1-U=()

二,平面向量的坐标表示

1团平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向

量回作为基底自由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量团可表示成回，由于回与数对(x,y)

是----对应的，因此把(x,y)叫做向量(3的坐标，记作(3=(x,y),其中x叫作团在x釉上的坐标,y叫

做在y轴上的坐标团

(1)相等的向显坐标相同，坐标相同的向量是相等的何展团

⑵向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

0

(1)213平面向量的坐标运算:

(2)若&则团

⑶若团，则团

(4)若团=(x,y),则瓯=(取,即)

(5)若团，则13

若一则团

若,则

3儿何方法坐标方法运算性质

向

量

的

运

算

向

量

的

加

减

法，

数

与

向

量

的

乘

积，

向

量

的

数

量

（

内

积）

及

其

各

运

算

的

坐

标

表

示

和

性

质

运

算

类

型

向1.平行四边形法则

。+人（$+孙），|+川a+b=b+a

量2•三角形法则

的

(5+h)+c=d+(^+c)

加

法

AB+BC=AC

向三角形法则

a-b=a+(-b)

量

的

减AB=-BA

法

OB-OA=AB

向Aa是一个向量，

Aa=(Ax,Ay)2Q此=(4/)2

量满足：

的丸>0时，法与万同向；

(A+〃)口=法+)

乘时，汨与3异向；

法

%;0时，Aa-0,A(a+b)=Aa+Ab

a//ba=Ab

向a^=xx+yy

□是一个数]212cfb-b•a

量

的

2或入。时，(法)•b=力•(肪=A(ii•/?)

数

量

涧6=0(a-^b)9c=a9c+b•€

积

a2=\a\2\a\=ylx2+y2

〃工0且时，f

A“=|5||E|COS<53>

例1已知向量瓦瓦且瓦求实数团的值团

解：因为，

所以，

乂因为〃//U

所以团即回

解得x=1

2

例2已知点440),3(4,4),6*(2,6),试用向量方法求直线4。和08(0为坐标原点)交

点P的坐标•

解：设岳,则田

因为尸是AC与。5的交点

所以回在直线(3上，也在直线向上

即得OP〃。叫AP〃AC

由点用得,13

6(x-4)+2y=0

得方程组

4x-4y=0

x=3

解之得

)'=3

故宜线AC与OB的交点P的坐标为(3,3).

三.平面向量的数量积

1田两个向量的数量积：

已知两个非零向量团与胤它们的夹角为团，则团・团=I团I-I0ICOS0

叫做。与的数量积(或内积)。规定0七二0・

2团向量的投影：I团IcosMGR,称为向量回在回方向上的投影回投影的绝对值称为射影回

3数曷积的儿何意义：-等于的长度与在方向上的投影的乘积

40向量的模与平方的关系:豳

5乘法公式成立：

^ci+b^'(ci-b^=a1-b1=\ci^—；

(a土匕)=a2±2a-b+b2=|cz|2±2a-b+1/?|

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结介律成立：

③分配律成立：

特别注意：(1)结合律不成立：；

(2)消去律不成立=a­c不能得到〃=c,

(3)a-b=0不能得到a=0或〃=0。

7团两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量团,则团・团=(物

8121向量的夹角：已知两个北零向量0与0，作0=121,0也，贝IJNAOB也(1?1)叫做向量13与团的夹角团

八•；,x.x^+y.y

cos夕=cos<9>=不向=/2；/，2，'

当且仅当两个非零向量回与回同方向时，0=00,当且仅当团与囹反方向时0=1800,同时R与其

它任何非零向量之间不谈夹角这一问题团

9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作!

10两个非零向量垂直的充要条件：

•平面向量数量积的性质

a±ba•b=()axrv2+y2=0

例1判断下列各命题正确与否：

(1)0«=0；(2)0-6/=0；

(3)若，则；

⑷若，则当且仅当时成立；

(5)伍*)♦4=)•(5•小对任意abe向量都成立