高中数学：专题07数列的通项与数列的求和讲

第一篇热点、难点突破篇

专题07数列的通项与数列的求和（讲）

（2021.北京・高考真题）

1.已知｛为｝是各项均为整数的递增数列，且％之3,若4+%+-+4=100,则〃的

最大值为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得〃可

能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到〃的最大值.

【详解】若要使〃尽可能的大，则码，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为工，

1x14

贝iJd=〃+2,.S；=—?-xl2=|O2>HXI,

所以〃（11.

5

对于+.S'lt=^x||=XX<l（Xh

取数列各项为q="2（〃=1,2,…10）,%=25,

则4+生+…+4]=100,

所以〃的最大值为11.

故选：C.

（2021.北京・高考真题）

2.《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面

缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长%%，6，4，%

（单位:cm）成等差数列，对应的宽为可也也也也（单位:cm）,且长与宽之比都相等,

已知4=288,%=96,4=192,贝lJ4=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝公差为"，求得d=-48,得到。3=192,结合党旅长与宽

之比都相等和4=192,列出方程，即可求解.

【详解】由题意，五种规格党旗的长4，%，。3,4，。《单位：5]）成等差数列，设公差为

d,

因为4=288,%=96,可得d二色二幺=空图=—48,

5—13

可得%=2884-（3-1）x（-48）=192,

又由长与宽之比都相等，且〃=192,可得?二:，所以

288

故选：C.

（2021•全国•高考真题（理））

21

3.记S”为数列｛4｝的前〃项和，2为数列｛，｝的前〃项积，已知三+二=2.

（1）证明：数列｛"｝是等差数列；

（2）求｛4｝的通项公式.

3

2-

【答案】（1）证明见解析；（2）-

->

〃+1

【解析】

2]2b

【分析】⑴由已知"厂2得S”二药，且叱。，取〃”得八|,由题意得

2a2b、2b,2/7ub.

Lrhr…LT="，消积得到项的递推关系进而证明数列

2b「12b2-l2bn-l2%-1b,t

也｝是等差数列;

（2）由（I）可得，的表达式，由此得到S”的表达式,然后利用和与项的关系求得

+一

【详解】（1）［方法一］:

212b1

由已知三十7=2得SLR、,且女产。，b产7,

取〃=1,由，=々得4=5,

由于么为数列｛S,｝的前〃项积，

242瓦2”

所以=bn，

2b「1262T2P„-1

..2b,2b、2%

所以---------------------

2卜12b2-12bz-1

2%

所以

2%-1『

由于2+1工。

211

所以说曰=兄，即%也=5,其中〃

所以数列他J是以4=］为首项，以为公差等差数列;

42

［方法二］【最优解】：

由己知条件知2=ESS……S"T•知①

于是如=岳§5••…S"〃N2).②

由①②得工=S”.③

Dn-\

21③

又不+[=2,④

S”b“

由③④得%・

令〃=1,由S]=b],得a=].

31

所以数列｛〃｝是以I■为首项，2为公差的等差数列.

[方法三]:

21s

由9+1=2,得”-“且S”wO,b产0,S”wl.

3“D„2d„-L

又因为，=s”-s,i•s、=s“-b,i，所以"T=F=/二，所以

“八”-/

包一〃—依)♦

21c3

在不+厂=2中，当〃=1时，.

unZ

31

故数列仇｝是以5为首项，叁为公差的等差数列.

[方法四]:数学归纳法

由已知三十厂=2,得S〃=RM，b\=[b2=2f^=|,猜想数列也｝是

311

以;为首项，5为公差的等差数列，且勿=]〃+].

下面用数学归纳法证明.

当〃=1时显然成立.

假设当〃=%时成立，即攵+i,s&=J.

2k+\

那么当〃“+1时，%=岫「(9+1]・岩=?=4+1)+1.

12)k+222

综上，猜想对任意的〃eN都成立.

Q1

即数列｛2｝是以彳为首项，5为公差的等差数列.

(2)

由（1）可得，数列加」是以4=；为首项，以为公差的等差数列，

乙L

二2二|+（j）xg=l+]，

:22=2+〃

”2b「11+〃’

3

当〃二1时，«）=5）=-,

0g2+n\+n1

当“22时，勺=S”-S〃_[=,显然对于〃二1不成立，

TS=l

i

--1~~n^7-2

n[n+\）

2।2b

【整体点评】（1）方法一从不十7=2得S〃=玄、，然后利用打的定义，得到

数列｛4｝的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；

〃21

方法二先从打的定义，替换相除得到”二邑，再结合丁+7=2得到

b,「bz=g,从而证得结论，为最优解；

2।sb।

方法三由不十7=2,得由”的定义得〃进而作

S”22S〃-2Sn2S„-2

差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列"二;〃+i,然后利用数学归纳法证得

结论.

（2）由（1）的结论得到4=；〃+1,求得s”的表达式，然后利用和与项的关系求

得｛4｝的通项公式；

（2021・全国•高考真题）

4.已知数列满足4=1,%=［："；；’号鼠’

Cln+2,〃刃1内数.

（1）记久=，”,写出耳，b2J并求数列也｝的通号公式;

（2）求｛q｝的前20项和.

【答案】（D［=2也=5也=3〃-1；（2）300.

【解析】

【分析】（1）方法一：由题意结合递推关系式确定数列｛"｝的特征，然后求和其通项

公式即可；

（2）方法二：分组求和，结合等差数列前〃项和公式即可求得数列的前20项和.

【详解】解：（1）［方法一］【最优解】：

显然2n为偶数，则。2”+1=。2”+2M2“+2=。2〃+1+1，

所以生“+2=%”+3，即2+］=>+3,且=4+1=2，

所以也｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是&=2,b?=5,bn=3n-\.

［方法二］:奇偶分类讨论

由题意知4=1,%=2,6=4,所以々=a2=2,b2=a4=+1=5.

由。向一勺二1（〃为奇数）及q+1-q=2（〃为偶数）可知，

数列从第一项起，

若〃为奇数，则其后一项减去该项的差为1,

若〃为偶数，则其后一项减去该项的差为2.

所以4”+2一勺=3（〃£M），则2=4+（〃-l）x3=3〃-l.

［方法三］:累加法

由题意知数列｛4｝满足％=1,%=%+』+€N"）.

一3(-1)1

所以4=a=4-—H--------=1+1=2,

222

3(-1)33(—1十一

b2=a4=a3+—A---=a3+\=a2+--\—--i-l=tz2+24-1=2+3=5

则2:生“=（生〃—%,1）+（生,1_生“-2）++（42_4）+4=]+2+]+2+,+2+]+6

=〃x1+2（〃-1）+1=3〃-1.

所以4=2也=5,数列也｝的通项公式。=3〃-1.

（2）[方法一]:奇偶分类讨论

+a

520=+。2+。3++a2Q=（1]+。3+。5+・一。19）+（。2i+。6+•♦•+。2（））

=（仄—1+b、—1+by-]++Z?|Q—1）+&+Z?,+&+.-"io

=2*+4。）><10_[0=300.

2

[方法二]:分组求和

由题意知数列｛%｝满足％=1,%=«2〃T+1，%向=%,+2,

所以4e=%+2=%7+3.

所以数列｛q｝的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由%2=4向+1=%“+3知数列｛q｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等

差数列.

从而数列｛4｝的前20项和为：

$20=（4|+〃3+〃5+.•.+49）+（。2+〃4+〃6+…+。20）

10x910x9

=10x1+-------x3+10x2+--------x3=300.

22

【整体点评】（1）方法一：由题意讨论｛〃｝的性质为最一般的思路和最优的解法；

方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的

性质；

方法三：写出数列｛4｝的通项公式，然后累加求数列｛，｝的通项公式，是一种更加

灵活的思路.

（2）方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前〃项和是一种常规的方法；

方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前〃项和公式却分

组的方法进行求和是一种不错的选择.

（2021・全国♦高考真题（理））

5.已知数列｛%｝的各项均为正数，记S”为｛4｝的前〃项和，从下面①②③中选取

两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛4｝是等差数列：②数歹IJ｛四｝是等差数列；③生=3q.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】证明过程见解析

【解析】

【分析】选①②作条件证明③时，可设出底，结合”的关系求出凡，利用｛〃“｝

是等差数列可证%=3q；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关

系，对照系数，得到等量关系，进行证明.

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出点，结合等差数列定义

可证：

选②③作条件证明①时，设出卮+结合41,S“的关系求出生，根据

生=3q可求〃，然后可证｛〃”｝是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后

求出通项公式，进而证明出结论.

【详解】选①②作条件证明③：

［方法一］:待定系数法+〃.与S“关系式

设=（m+>0）,贝!JS“=（a”+卜了,

当〃=1时，q=S［=（a+〃）~；

2

当〃22时，an=S“-Si=（f//?4-Z?）-^an-a-\-b^=ci｛2an-a-v2b）•

因为｛叫也是等差数列，所以（a+〃y=a（2a-a+乃），解得〃=0：

所以=/（2〃-1）,4=。2,故生=3。2=341.

[方法二]:待定系数法

设等差数列｛q｝的公差为力等差数列｛四｝的公差为4，

则医=8+5-1)4，将s“代入6~二苑+(〃-1)4,

j/J\«2

化简得3〃2+a\-T〃=42+(2^^4一2d；)〃+|G"-dj对于恒成

立.

4=2d；,

则有，24-3=4石4-43：,解得4=6,4=2%.所以1=3q.

苑-4=0,

选①③作条件证明②：

因为々=3%,｛4｝是等差数列,

所以公差4一4=2%,

所以Sa=naA+——d=,即y[S^=瓜n,

因为Js“+]—y[s^=yfa^(〃+1)—yfa^n=,

所以｛疯｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

[方法一]:定义法

设=,则S“=(〃〃+/?『，

当〃=1时，q=S]=(〃+〃)-；

当〃22时，an=Sn-Sa_｛=[an+by-(^an-a+by=a^Zan-a+2b)•

因为%=3q,所以4(%+2〃)=3(。+〃)2,解得〃=0或力=一半；

当〃=0时，4=/,q=。2(2〃一1),当2时，氏/川=2〃2满足等差数列的定

义,此时｛4｝为等差数列；

当/,==时，疯=m+,店二go不合题意，舍去.

综上可知｛为｝为等差数列.

[方法二]【最优解】：求解通项公式

因为生=3%,所以6=8,病="+%=2扬,因为｛63也为等差数列，

所以公差4=6^-所以=-1)4=〃""，故s”=〃Z，

当时，a”=S〃-Si=〃％i=(2〃一I)],当”=1时，满足上式，

故｛〃〃｝的通项公式为4=(2〃-1)%，所以％_]=(2〃-3)q,%-%=2%,符合

题意.

【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结

合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于〃的一

次函数，直接设出底=卬?+仇。>0),平方后得到S“的关系式，利用

%=4¥〃=1得到｛。〃｝的通项公式，进而得到%=3%,是选择①②证明③

)〃一，

的通式通法；法二：分别设出｛4｝与｛SJ的公差，写出各自的通项公式后利用两

者的关系，对照系数，得到等量关系4=施，△=2%,进而得到生=3%；选

①③时，按照正常的思维求出公差，表示出S“及底，进而由等差数列定义进行

证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于〃的一次函数，直接设出

=an+b(a>0),结合〃〃,S”的关系求出，根据。2=3%可求力，然后可证

｛4｝是等差数列；法二：利用后是等差数列即前两项的差4=病-厩=氏

求出公差，然后求出£的通项公式，利用可=s求出｛为｝的通项

公式，进而证明出结论.

।而视频D

(一)数列问题考向预测

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考杳等差

数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等，随着文理同卷的实

施，数列较难问题有所降温，难度趋减，将稳定在中等程度.往往在解决数列基本问题后考

查数列求和.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位

相减法”等，马不等式结合问题，"放缩''思想及方法尤为重要.

(二)本专题考向展示

(一)数列的概念与数列的性质

关于数列的概念与数列的性质的考查，主要考向有：I.通项与前n项和的关系；2.数列的单

调性、周期性等：3.等差数列、等比数列的判断.

【典例1](2020.仝国高三专题练习)

6.在等差数列｛4｝中，《=-9,a5=-1.记7；=/生・・・％(〃=1,2,・・・)，则数列

｛小).

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确

定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差4=与二?=^^=2,

5—15—1

则其通项公式为：Cin=a]+(/?-1)6/=-9+(H-1)X2=2/Z-11,

注意到4<a?<%</<4<0<%=1<%<…，

且由7；<0可知7；<0（注6,QN）,

1（/>7,/G；V）可知数列亿｝不存在最小项,

由兀*

由于4二-9,〃2=-7,。3=-5,%=-3,%=-1,«6=1,

故数列｛1｝中的正项只有有限项：4=63,（=63x15=945.

故数列｛<｝中存在坡大项，且最大项为刀.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论

的数学思想等知识，属于中等题.

【典例2】（2021・全国・高考真题（理））

7.等比数列｛%｝的公比为夕，前〃项和为S”，设甲：q>。,乙：｛SJ是递增数

列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】当4>。时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛5〃｝是递增数列时，

必有%>0成立即可说明4>0成立，则中是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,时，满足

但是｛$｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛5｝是递增数列，则必有>0成立，若9>。不成立，则会出现一正一负的情

况，是矛盾的，则4>0成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我

们必须要给予其证明过程.

(二)等差数列等比数列的基本运算

等差数列等比数列的基本运算考向主要有：1.等差数列的基本运算；2.等比数列的基本运

算；3.等差数列、等比数列的综合运算.

【典例3】(2021.全国•高考真题)

8.记S”是公差不为0的等差数列｛q｝的前〃项和，若%=S5，%%=S4.

(1)求数列｛q｝的通项公式

(2)求使S.>见成立的的最小值.

【答案】⑴4=2〃-6；(2)7.

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得〃3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的

通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】⑴由等差数列的性质可得：怎=5/，贝I」：生=5%，4=0,

设等差数列的公差为从而有：％为=(%-")(〃3+")=一/，

S4=ai+%+/+/=3_24)+(q—4)+4+3-t/)=—2J,

从而：-d?=-2d,由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：q=q+(〃-3)d=2〃-6.

(2)由数列的通项公式可得：4=2-6=-4,则：

Sft=nx(-4)+〃(：Jx2=一5〃，

则不等式S,>%即：-5H>2,2-6,整理可得：(〃-1)(〃-6)>0,

解得：〃vl或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关

键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

【典例4］（2021・江苏•高考真题）

9.已知数列｛%｝满足q=2,且。用=3q

（1）求证：数列&+〃｝为等比数列；

（2）求数列｛q｝的通项公式；

（3）求数列｛q｝的前〃项和S”.

【答案】（1）见解析：（2）4=3”—〃：（3）一〃一〃7

2

【解析】

4山+〃+1-

【分析】（1）计算得到q-----=3,得到答案.

%+〃

（2）4+〃=3x3'i=3",得到数列通项公式.

（3）根据分组求和法计算得到答案.

【详解】⑴由*=切+2〃-1,得。向+九+1=3（4+〃）,・・.":+〃=3,

又4+1=3,

・•・,〃+〃｝是首项为3,公比为3的等比数列.

n

（2）。“+〃=3x3"“=3",an=3-n.

（3）5„=3'+32+--+3H-（l+2+.-+

'71-32

_3w+,-3〃（〃+1）_3”川一/J_〃_3

——・

222

【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方

法的综合应用.

（三）数列中的数学文化

数列中的数学文化，主要考向有：I.等差数列的应用；2.等比数列的应用；3.数列的概念与

性质.

【典例5】【多选题】（2021•辽宁・大连市第一中学高三期中）

10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为

“三角垛”;三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第〃

层有。”个球，从上往下〃层球的总数为S”，则（）

泰)

A.S$=35B.%一%=〃

_H(H+D1111200

C.q-2D—+—+—+…+---=---

,4%%Goo101

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件求得”,川-q=〃，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意可知。小-%=〃+1,。的=6+〃41,B选项错误.

q=1,%=1+2=3,4=3+3=6,%=6+4=10,%=10+5=15,

々=1+3+6+10+15=35,A正确.

^l+i-a„=n+lan-=n(n>2),

4=(凡一)+(c*-4-2)++(%-4)+4

=〃+-1)+…+2+1="(；+”,C1E确.

=2色击卜器Q选项正确・

故选：ACD

【典例6］（2021•山东聊城市•高三三模）

11.数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是意大利著名数

学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从笫三

起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2021项中，奇数的个数为

【答案】1348

【解析】

【分析】根据斐波那契数列的特点：从第一项起，每三个数一组其中有2个奇数1

个偶数，即可求前2021项中奇数的个数.

【详解】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个

偶数，

・・•2节0211的整数部分为673,余数为2,

该数列的前2021项中共有673个偶数，奇数的个数为2021-673=1348.

故答案为：1348

（四）数列与其它知识交汇

数列与其它知识的交汇主要考向有：1.与不等式（最值、不等式的证明）的交汇问题；2.与

函数、导数的交汇；3.与平面解析几何的交汇；

【典例7】（2021•浙江•高考真题）

12.已知4,〃£艮">0,函数/（%）="2+〃（工£即.若/（5-/）,/（5）"（5+，）成等

比数列，则平面上点（£。的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其

轨迹方程.

【详解】由题意得+=，即

+/?][〃（5+1）2+〃]=（心2+〃）~,

对其进行整理变形：

2

（as1+at2-last++at2+last+b）=（cis24-，

（os:+at2+Z?y-（2ast\-（a?2+/?）'=0,

（las2+ar+2b^ar-4a2s2t2=0,

-2a2s2r+a2t4+2abr=0,

所以一2as2+々/+2Z?=0或/=0,

f=］

其中匕28一为双曲线，f=0为直线.

aa

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行

恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

【典例8】（2021•全国・高考真题（文））

13.设｛q｝是首项为1的等比数列，数列｛"｝满足〃,=等.已知外,3%，9%成

等差数列.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式;

C

（2）记S“和7；分别为｛凡｝和也｝的前〃项和.证明：£<十.

【答案】（1）为=（产，包=/；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的性质及q得到汨2一6<7+1=0,解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出S”,7；,再作差比较即可.

【详解】（1）因为｛。力是首项为1的等比数列且q,3%，9%成等差数列，

所以6a2+9%,所以=q+9。闻2,

即9/-6q+l=（）,解得q二;，所以q二（?i,

所以“二等等

JJ

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

丁12n-\n

7=一+F++—^+一，

231111

H----

23213°3133”T

0--1--2--n-\一一

」+」+0++/+4

3°31323”

()1I1c1H-1-1

”LU-----1----------z—

设「”—+—+—+⑧

"303,32+L

.-1-1

2--

贝⑨

=_2+_2+_2.+.一+2•

产3132333”

33

n--1n--

由⑥-⑨得2r〃二,十11、13

十...十J_2---1—2

3"23,323"23”

3

3

〃—一

所以「_I2n

1“一

4X3"22X3"T2X3〃T

qnnn八

因此7＞寸=.-——<0.

3〃2X3'T2X3"

故小芸

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1

1x（1）3

证明：由（1）可得S〃=——3”），

13”

3

n-\n.

7泊产’?7'1

12n-\n

---+一[②

3"3"

i(l--)

①一②得|小3卜上一+/§_3J

3

所以〈二%1一1）一七

4J，・J

所以T-^-=-(1L)——-——2(1__!_)=__Lf-

“"24，3n2.3"4U3n2.3”

所以1吟.

［方法三］:构造裂项法

\

由（I）知a=〃令c〃=(an+B)|J,且勿=6”-即

\/

门Y(1Y+,

=(a〃+P)R-［a(7z+l)4-/7］l-

通过等式左右两边系数比对易得a=|,〃=],所以％

则0=4十〃，十■•十〃=q_（7]=。_（。十，下同方法二.

°12〃1向4（42人3J

[方法四]:导函数法

设f(x)=x+x2+X3++F=-^-----1，

\-x

,T.rx(T)］卜(1-父)1(1)一卜(17”)卜(1一叶_1+叱一5+1)v

17=(l-x)2=(17)2

1+内向-5+1口〃

则广（工）=1+2工+3/+

(If

所以筌=4+b+b+1+2x-F3x

233

1Y3（｝（1Y一=＞、*_

3）2七3十lnJM，卜同方法二.

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数

列的和，考杳学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差

法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为

简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得然后证得结

论，为最优解；

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造%=使

求得，的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

一、等差数列与不等式的交汇问题

等差数列与不等式结合，一般涉及等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的常用

性质，如（1）通项公式的推广：—（2）若｛4｝为等差数列，且

p+q=m+n=2r,则7+%=%,+%=-「；（3）若｛4｝是等差数列,公差为d

%，%+肋，%+2”，…,则是公差〃W的等差数列；⑷数列黑㈤川―S,”,S3,“一§2,”…也是等差

数列.在解决等差数列的运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量''的方

法.

【典例9】（2021•浙江•模拟预测）

14.己知数列｛/｝满足q=3,色=46,金+2=--巳，（兀23.14）则此数列

V。〃+1

项数最多为（）

A.2019项B.2020项

C.2021项D.2022项

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得勺+2?限=4向2狐-兀，进而得。/品=6348-兀（〃-1）20,即得.

【详解】由4=3,七=46,得生2^=642x3=6348,

7122

”〃+2=J。〃+/”----=。〃+2««i=〃”+i%「式，

V册+i+

・••｛为/%｝是以6348为首项，-兀为公差的等差数列，

...4+:a'=6348-n(n-l)>0=>7?<+1n〃<+1«2022.7,

冗3.14

・•・此数列项数最多为2022.

故选：D.

【典例10](2019•全国高考真题(文))

15.记S”为等差数列｛3｝的前〃项和，已知S9二一公.

(1)若43=4,求｛〃〃｝的通项公式；

(2)若〃>0.求使得Sn>an的n的取值范围.

【答案】(1)q=-2〃+10；

(2)1<??<10(/?GN*).

【解析】

【分析】(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于劣和d的

方程组，求得4和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

(2)根据题意有％=°，根据q〉。，可知d<0,根据得到关于〃的不

等式，从而求得结果.

【详解】(1)设等差数列｛为｝的首项为％,公差为d,

,,,9q=_(q+4d)

根据题意有z彳121,

4+2d=4

解答=1,所以q=8+5-1”(-2)=-2〃+10，

a=-2

所以等差数列应｝的通项公式为。“=-2"+10:

(2)由条件59=一%，得9%=一％，即％=0,

因为q>0,所以〃<0,并且有%=4+4c/=0,所以有4=-4d,

2

由Sn>an得叫+〃C)d>a,+(n-lM，整理得(n-9n)d>(2/1-10)d,

因为dvO,所以有*-9〃42〃—10,即〃-I山+iowo,

解得1。410,

所以〃的取值范围是：1<〃V10("GN*)

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，

等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是

正确解题的关键.

二、等比数列与不等式的交汇问题

等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用

性质.其中与“错位相减法”、“放缩法''相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整

体考虑、减少运算量”的方法.

【典例11】【多选题】(2021•山东师范大学附中高三阶段练习)

16.公比为夕的等比数列｛q｝,其前〃项和为S“，前"项积为，，满足囚>1,

^2021^2022皿二.则下列结论正确的是()

生022-1

A.0<C]<\B.“2021，“2023,1

C.S”的坡大值为§2023D.7”的最大值为《021

【答案】AD

【解析】

【分析】推导出4>0,生。21>1，0<。2。22<1，可判断A选项的正误；利用等比中

项的性质可判断B选项的正误；山数列｛%｝为正项等比数列可判断C选项的正误;

由%必>1,0<4022<1可判断D选项的正误.

【详解】若夕<0,则。2期。2022=成)2闯<0不合乎题意，所以，4>0,故数列｛《｝为

正项等比数列，

Q4>1,。加］90»>1,=--<0,:.a^m>\,0<<1,所以0<g<l,

42022T

故A正确；

々2021,02023=々2022<1，故B错联；

Qq>l,0<^<l,所以，数列｛〃“｝为各项为正的递减数列，所以，S“无最大

值，故C错误；

又。2021>1，。<%022<1，所以，(021是数列亿｝中的最大项，故D正确.

故选：AD.

【典例12】(2021•天津・高考真题)

17.已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛〃｝是公比大于。的

等比数列，a=4也一H=48.

(1)求｛4｝和低｝的通项公式：

(ID记q,=/%+，”.，

(i)证明归r“｝是等比数列；

(ii)证明fJ等幺［<2夜(〃eN')

C

*=1X~2k

【答案】(I)a-nwN',a=4",〃wV；(H)⑴证明见解析；(ii)证明见

解析.

【解析】

【分析】(I)由等差数列的求和公式运算可得｛q｝的通项，由等比数列的通项公式

运算可得他)的通项公式；

(ID(i)运算可得c；-G“=2.4",结合等比数列的定义即可得证；

(ii)放缩得老黄<掾，进而可得£后驾〈专雪异结合错位相减法即

可得证.

【详解】（I）因为｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

所以q+电+…+/=8/+—^―x2=64,所以q=1,

所以a.=q+2（/2-l）=2/i-l,A?e7V*；

设等比数列出｝的公比为d（4>0）,

所以白一仇=4夕'一白夕=4（/-9）=48,解得4=4（负值舍去），

所以“=M"T=4",〃WN・；

（ID（i）山题意，&=邑++=4"+*，

n

所以c；—Q“=（42"+/j一卜,"+,）=2.4",

所以c：—%工。，且^F^=^=4,

Jr-C2n乙.4

所以数列归一“｝是等比数列；

则;4=^■+,+最+・’’+/,

两式相减得/，制+（+泉+…+击-1----p-—=，

乙乙乙乙乙]]，/

~2

所以1=4-粤，

所以名臣<挺溪忠"舞<2五

【点睛】关键点点睛:

最后一问考查数列不等式的证明，因为住41无法直接求解，应先放缩去除根

号，再由错位相减法即可得证.

三、与函数、导数交汇问题

数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈

现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题

目的.

【典例13］（2021•浙江省杭州第二中学高三期中）

18.已知数列｛4｝满足。h=。册-2+1（〃EN*，e为自然对数的底数），且对任意的

M〉0都存在〃wN”,使得同一21VM成立，则数列｛g｝的首项《须满足（）

A.qW1B.1<^<2C.<2D.*2

【答案】C

【解析】

【分析】先判断数列｛q｝的单倜性，再根据选项作取舍.

【详解】设/（幻二，7-1,令/（工）=/一1=0,得到x=0.

当xe（y,o）时，fXx）<0,单调递减；

当xc（0,y）时，r（x）>0,/（©单调递增.

故/（x）Nf（0）=0,即e'Nx+1（当且仅当时x=0取等号）.

故勺+1=1~+1之为一2+1+1（当且仅当时=2取等号）.

即.>q.要使对任意的M>0都存在〃£N”,使得同一2|<M成立，

显然％=2时，耳=2,一定能满足题意；

当q>2时，an>2,如图此时不满足题意;

当q<2时，%<2,如图此时满足题意;

综上，ay<2.

【典例14］（2021•山东青岛市•高三三模）

19.若数列｛4｝满足:对于任意〃eN“，只有有限个正整数加使得《/〃成立，则

记这样的〃?的个数为（qj.

（1）求数列［（疝斤）］的通项公式；

（2）在等比数列也｝中,是函数

/,（x）=1x3-1叫+（6二T）f+叫.（6二T）”的极小值点，求乙的取值范

围；

（3）求数列｛（（〃2），’的通项公式.

【答案】（1）（V^d）*=n2；（2）4>捺；（3）（（叫）=〃2.

【解析】

【分析】（1）求出关于加的不等式不（〃的整数解的个数，由此可得出数列

｛（MT斤）+｝的通项公式：

1

(2)求得£：(x)=(x-也-叫，分情况讨论：ebn>n,可得出&》《，利

e

r24

用导数求出函数g(x)=](x21)的最大值，可得出乙的取值范围；在4=7、

!<乙<二、a，、4四种情况下，利用导数分析函数/(X)、力(6的极值

点，结合数列｛"｝为等比数列可得出4的取值范围；

(3)求得(叫+=Z-1,(Z:-1)2+1<Z?<A:2,keW,计算得出

公—[(4_]『+1]+[=2攵-1,利用等差数列的求和公式可求得数列｝的通

项公式.

【详解】(1)由5/不开<〃，可得：1(小亡4)，

所以数列的通项公式为(师])’="；

(2)因为《：(X)=——阈,+叫X+也42=a_痣)卜一叫，

若ebn>〃2对于任意〃eN"恒成立，

当XW(-8,〃?)时，/；(X)>0,<(£)在(一叫〃?)上单调递增；

当X«〃2,叫)时，/；(x)<o,在(忧叫)上单调递减；

当工£(畋,+8)时，/；(%)>0,4(x)在(叫,+8)上单调递增.

所以d+i=M〃，即％所以伪〉£.

令g(x)=?(x21),%g，(力亨=哼2

当工«1,2)时,g'(x)〉0,g(x)在(1,2)上单调递增;

当xe(2,”)时，g'(M<0,g(x)在(2,~KO)上单调递减.

44

所以g(x)Kg(2)=4,所以4T符合题意,

若则地=±＞＞，/（X）的极小值点为"=勿二上

e~ee

所以的=22,此时力（x）NO,所以力（力无极值，不适合；

若；＜久＜*,则叫＞1）工（力的极小值点为H=助，

因为曲=e无＜4=22,所以4=4,所以此时也,｝不是等比数列，不适合；

若”=L则叫=『,此时工，（引NO,所以工（尢）无极值,不适合;

e

若”＜L,则eA＜『，所以打二1,

e

又叫=e＜22,所以4=4,又叫=4e＞32,所以”=4e,此时也｝不是等比数

列.

4

综上，4＞—:

e~

0,K=1

（3）由病上〃可得：1«加〈册所以（叫；oc，

所以（^-l）24-l＜n＜^2,AwN",

即数列｛（〃?）+是0、1、1、1、2、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、3、

又因为人"一［（忆-1）+1+1=2A—1,所以他/））=1+3+5+…+2〃—1=/.

【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：

（1）求函数/（力的定义域；