2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-解三角形篇

解三角形篇考点一.三角恒等式一.射影定理与隐藏直角三角形射影定理：在中，求证：，，.证明：在中，由，得.所以.设的外接圆半径为R，由正弦定理得，，即.同理可证：，.【例1】（2025全国=1\*ROMANI卷T11）已知△ABC的面积为14,若cos2A+cos2B+2sinC=2，cosA.sinC=sin2A+sin2BB.【例2】（2026届江苏南通一模T11）记的内角的对边分别为，若的面积为，，则（）A． B． C． D．【例3】（2026届河南师大附中高三实验班十月月考T14）在中，若A、B是锐角，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的面积是．【例4】（2026届重庆育才中学校等三校十月联考T11）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（

）A．B．△ABD的面积的最大值为C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为D．BD的最小值为二．正弦平方和与余弦平方和1.正弦平方和：证明:注意：2.余弦平方和：证明：【例5】（2026届湖南九校联盟一模T11）在中，是的中点，则下列结论正确的是（）A．可以是钝角三角形B．C．若，则D．【例6】（2026届湖南阶段练习）设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则角.【例7】（2026届山大附中九月月考T14）已知△中内角，，满足，若在边，，上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是．三．正余弦平方差与倍角三角形1.正余弦平方差公式： 证明：2.倍角三角形：，这样的三角形称为“倍角三角形”．（必要性）法一：余弦定理，已知，证，=1\*GB3①，=2\*GB3②得，得，所以．法二：当a2−b2=bc时，由正弦定理得sin2B−sin2A=sin又A,B∈0,π，所以（充分性）：因为，所以，根据正弦定理可得：，利用余弦定理：，即，所以，即．【例8】（2026届广东领航高中联盟一轮检测T7）记的内角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C． D．3.倍角三角形几何背景与推论构造相似三角形（必要性），已知，证，如图所示：延长至，使得由得，因为所以，所以，又，得．（充分性）过作交延长线于点，则,易知，所以，，由于，，故．推论1：证明：由于，，，根据正弦定理：可得：，即，同时乘以得：，推论2：证明：根据推论一，可知，也可以根据倍角定理来直接证明，如下：；．几何背景①关于如图，我们构造，则，故，所以；关于，即证，我们参考下一模型；②关于如图，我们构造，则，故，所以，；③关于如图，我们构造，则，故，所以，，作于H，所以；【例9】（2026届江西·阶段练习T13）在中，角的对边分别为．则的面积为.【例10】（26届山大附中十月模考11）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（

）A．B．C． D．【例11】（2026届四川内江第一次月考T11）在中，角，，所对的边长分别为a，b，c，且满足．点在线段的延长线上，则下列选项中正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，当点运动时，为定值考点二.角平分线处理方法一．张角定理1.张角定理如图，在中，为边上的一点，连接，设，，，则一定有．证明：，，同除以得：．2.角平分线张角定理根据张角定理：①当时，（角平分线张角定理）②（角平分线面积问题）证明：①根据张角定理可得：，，②，，当仅当时等号成立.【例12】（2026届广东九月联考T14）在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为边BC上的一点，且AD是的平分线，则，的最小值为．【例13】（2026届山东十月大联考T18）在中，内角所对的边分别是，且满足.(1)求B；(2)若，点是边上一点，且平分∠ABC，求的最大值；(3)求的取值范围.二．角平分线与阿氏圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．求证：已知动点P与两定点A、B的距离之比为，那么点P的轨迹是什么？证明：不妨设、，，由得：，即 ，①当时，即为，整理得：，即点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆；②当时，化简得，即点P的轨迹为y轴．如图，①A、C、B、D为调和点列；②PC、PD分别为∠APB的内、外角平分线；③PC⊥PD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！设阿波罗尼斯圆的圆心为O，半径，则有， 即，即，即，即（反演）．同时，，即．半径公式已知动点P与两定点A、B的距离之比为，则已知两个定点A、B，及定比，则．注意：阿氏圆的常用公式，，阿氏圆的半径为：【例14】（2026届湖北部分名校十月联考T11）已知中，，则下列结论正确的有（

）A．平分 B．的面积的最大值为3C．内角可以为 D．【例15】（2026届杭州一模T18）已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方。当轴时，。（1）求椭圆的标准方程；（2）设，（i）求证：（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值。三．角平分线之斯库顿定理如图，是的角平分线，则就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.【例16】（25-26高三上·广东大湾区一模T18）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)B的角平分线BD交AC于D，（i）证明：；（ii）若，求的最大值．考点三.正切定理与万能辅助角一.正切恒等式任意斜三角形中，（正切恒等式）证明：【例17】（2016江苏卷）在锐角三角形中，若，则的最小值是．【例18】（2026届河南安阳开学考T14）在锐角中，内角所对的边分别为，已知，则取得最大值时，.二.万能辅助角已知三角形的一个内角,求或者公式一: 证明:故:,其中,故注意:,当时,,注意:求的方法如法炮制.【例19】（2026届东北三省八校一模T10）在斜三角形中，下列结论可能成立的是（

）A． B．C． D．【例20】（2026届四川泸州·开学考T11）已知锐角的面积为，且满足，，边上的高为h，则（

）A． B．C． D．三.正切倒数和(底高比)定理：公式一:（注意：）公式二：，且；【证明】公式一：（充分性）因为，所以，所以，，所以，所以，．必要性反向证明即可，但注意．公式二：，（其中）几何背景型型公式一如左图：由于，且，故，即公式二如右图：，故；由于几何背景完全依附于底高比和等面积法，故此定理也叫底高比定理.建议画图理解，加深对模型的理解和记忆.【例21】（2026届泉州市高中毕业班9月质检T11）已知不是直角三角形，，若，则（）A. B.的最大值为C. D.【例22】（25届佛山一模T13）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1tanA+2tanB=3tanC【例23】（2026届国庆第九届圆梦杯T11）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（

）A．的面积为 B．BC边上的高为C．的最小值为 D．最大值为【例24】（2026届广东深圳外国语月考（二）T18）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)证明：；(2)若，（i）求周长的最大值；（ii）求面积的取值范围.四.正切比值（射影比值）定理：．证明：（充分性）因为，所以，所以，即，故，．根据余弦定理，，故，即，必要性反推即可，这里不详细说明．几何背景如下左图：CD为AB边上的高，且，则；由于，，所以;由于，且，所以所以，正切的比值定理也叫射影比值定理.建议大家画图记忆，以便考场中随时推导.注意：当时，即我们上一讲介绍到的，就是等腰三角形;当时，，是直角三角形,由于直角无正切值，故.【例25】（2025•多选•南京二模）若△的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是A．角一定为锐角 B． C． D．的最大值为考点四.解三角形不等式构造一．正余弦定理转化基本不等式【例26】（2026届江苏苏州开学考试T8）在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【例27】（2026届湖北荆州开学考T8）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（

）A． B． C． D．【例28】（25-26高三上·河南天一小高考（一）T8）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（

）A． B． C． D．【例29】（2026届广东深圳开学考T14）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且，则的最大值为.【例30】（2025·浙江嘉兴一模）记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是．【例31】（2026届湖南长郡中学月考（一）T11）记的内角的对边分别为，外接圆半径为；面积为S，若，则（

）A． B．C．当时，有唯一值 D．当时，有且仅有2个值二．外接圆与内切圆的不等式构造重点在看角，外心的圆心角和圆周角的倍角关系，内心的圆心角与AB边对的三角形内角满足【例32】（2026届天域名校协作体十月联考T11）在锐角中，角的对边分别为．为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．周长取值范围为D．和面积之差的取值范围为【例33】（2025·湖北黄冈·一模）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为．【例34】（2026届黑龙江哈尔滨师大附中十月月考T18）在中，已知角、、的对边分别为、、，且.(1)求角大小；(2)求证：；(3)设为的内心，求的最小值.三．数形结合与最值前文我们在一些题目的法二给到了数形结合的一些解法，区别于强哥硬解定理，定边对定角圆弧，到灵动椭圆构造，垂直构造，阿氏圆构造，底高比构造等等，有很多题确实是几何法能快速化繁为简。【例35】（2026届广东上进联考开学考T14）在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是．【例36】(2025・成都三诊)在中，，的角平分线交于点，若，则()A.B.C.1D.【例37】(2025・武汉二调T17)如图，与存在对顶角，且.(1)证明:为中点；(2)若，求的长.考点五.建系处理，化繁为简一．特殊角构造斜率建系【例38】（2026届重庆南开中学十月月考T11）在中，为边上一点，，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．当面积最小时，【例39】(2025・福州九市联考)记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)为边上一点，若，且，求的面积.【例40】(2025・杭州二模)已知面积为1,边,上的中线为,且,则边的最小值为_____.【例41】（2025广州执信中学•济南期末T16）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若，边上的两条中线，相交于点，且，求的正切值.【例42】(2025・广州二模T14)在平面四边形中,,,,若的面积是的面积的2倍,则的长度为_____.【例43】（2026届广东开学衡水金卷联考T14）中，为边上靠近点的三等分点，且，，则长度的取值范围为_____.【例44】（2026届江苏淮安阶段练习）已知满足，则面积的最大值为．考点六.外森比克不等式一．标准形式的外森比克不等式：，当且仅当a=b=c时取等号；证法1：基本不等式+海伦公式 当且仅当时取等号证法2：余弦定理 当且仅当，时取等号（也即时取等号）二.加权形式的外森比克不等式设a，b，c为三角形三边，S为此三角形的面积，x，y，z>0，则xa2+证：基本不等式+