2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-概率与统计

板块七概率与统计2019年一卷的压轴题出现了马尔科夫链，接下来的23年一卷破天荒把导数提前，又将马尔科夫链放在倒数第二题，在25年新高考二卷将赢两分的赛制问题作为难点考查，对条件概率的理解，对概率递推的理解要求越来越高，模考题则对一些组合恒等式的运算和化简有着较深要求，本章结合一些最新的考题，解读一下概率常见的选填和解答有一定难度的考题，为二轮复习增砖添瓦。考点一.条件概率与贝叶斯公式一．基本恒等式1.事件，相互独立，则（A）（B）2.事件，相互独立，则（B），，证明：（B），得，即（A）（B），因此事件，相互独立，故同时成立；（A）（B），证明：，，且，（A）（B），（A）（B），4.当，互斥时， 证明：若，互斥，则，，5.全概率公式：（B）（A），6.，是条件概率的基本性质，无论事件、是否相互独立，该等式恒成立。【例1】（2025•多选•遵义模拟）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则【例2】（2026届广东深圳多校联考开学考试T8）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（

）A． B． C． D．【例3】（2026届浙江温州永嘉中学九月质检T9）随机事件，满足，其中（A）和（B）分别指事件和的概率，则下列说法中正确的是A．（A） B． C．事件与不独立 D．【例4】（2025•安庆二模T7）设事件，为两个随机事件，（A），（B），且，则A．B． C． D．【例5】（2025•多选•福建期中）随机事件、满足，，，下列说法正确的是A．事件与事件相互独立 B． C． D．【例6】（2025•江苏期中T11）已知口袋中有，个黑球和，个白球，这个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一个球，连续摸两次．记事件表示“第一次摸得黑球”，记事件表示“第二次摸得黑球”．则下列说法正确的是A．（A）（B） B． C．存在，，使得事件与独立 D．存在，，使得【例7】（2026届武汉九调T11）设，是一个随机试验中的两个事件，，则A．事件，相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有（A）（B）【例8】（2025•广东月考）如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件满足，，，则．【例9】（2026湖北省部分高中协作体联考九月联考T14）一个数学兴趣小组共有2名男生、3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为【例10】（2026届湖北部分名校九月月考T11）甲乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛.在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则（

）A．第一轮甲获胜的概率为B．在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率为C．乙的总得分不小于2的概率为D．甲的总得分的期望为【例11】（2026届广东领航高中联盟一轮复习检测T11）某小组拟进行敏感性问题调查.受访者从有除颜色外完全相同的20个白球和30个红球的箱子内任取1个球，根据球上的标识写下回答的对应序号并回答“”或“”后放回，白球上的标识为“①Y，②N”，红球上的标识为“①N，②Y”.“Y”代表做过该敏感行为，“N”代表没做过该敏感行为.事件为“受访者写下①”，事件为“受访者回答Y”，则（

）A．若，调查100人，事件的发生次数的期望值接近50B．若，调查100人，事件的发生次数的期望值接近50C．任取1人，若，则的最大值为D．任取1人，若，则的最小值为二．贝叶斯公式我们先来简单介绍一下贝叶斯公式：若事件B只能与两两不相容的事件同时发生，即：，有这个公式的证明也很简单，由于因此：；根据全概率公式：，得：【例12】（2025•南平期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“”视频，“”视频占有率为0.001．某团队决定用对抗“”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频是“”合成的可能性约为A． B． C． D．【例13】（2025•安徽期末）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，，，其中，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件第次取单恰好是从1号店取单，是事件发生的概率，显然，，则，与的关系式为．【例14】（2026届浙江强基联盟10月联考T10）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（

）A．B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为考点二.概率小题压轴计算【例15】（2026高三上·湖北荆州开学考T14）在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为．【例16】（2026届广东广州10月阶段性测试T14）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望．【例17】（2026届浙江A9协作体开学考T14）现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为.【例18】（2026届湖南长郡中学月考（一）T14）将3个小球随机放入4个盒子，记小球最多的盒子里小球数目为，则．（2026届重庆开学考T14）口袋中有5个相同的球，分别标有数字.从中有放回地随机抽取次，每次取1个球.当时，每个球恰都被取到1次的概率为；记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的平均值为.【例19】（2026届重庆南开中学开学考T14）数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为．【例20】（2026届重庆一中九月月考T14）已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是.【例21】（2026届江苏南通如皋第一次质检T14）小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1，2，3，4，现随机抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为，则；．【例22】（2026届湖南多校联考十月月考T14）抛掷一个质地不均匀的骰子，得到点数为1，2，3，4，5，6的概率依次成等差数列.若将该骰子抛掷一次，则所得点数为1或6的概率为；若将该骰子独立抛掷两次，记所得的点数分别为a，b，已知事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为.【例23】（2026届江苏苏州开学考T14）在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为.【例24】（2026届河北邯郸一模T14）记是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同的数字构成的最大的三位数（例如：取1，2，3时，则为321）；是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数，则的概率为.【例25】（2026届江苏镇江开学考T14）商场为了迎接促销，举办抽奖活动，奖池内有编号为的大小相同、质地均匀的4个乒乓球.乒乓球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖（鼓励奖）.规则是：每人可连续抽奖2次，每次抽完后将乒乓球放回奖池，记第次抽到的奖品等级为，某顾客第一次没有抽到一等奖，且第二次抽到一等奖的概率是；用表示“两次抽到的等级差”，则的数学期望为.【例26】（2026届湖北圆创第一次联考T14）某学校高一年级6个班各派1名学生代表参加年级组织的课室卫生检查，若每个班随机分配1位同学进行检查，则恰有2位同学检查本班课室卫生的概率是．【例27】（2026届湖北武汉市硚口区开学考T14）不透明的盒子中装有大小质地相同的3个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球n次后游戏结束的概率记为，则；在数列中，若，A为常数，现游戏进行了n次，n趋近于无穷大，游戏结束后，总得分记为X，则X的数学期望．考点三.马尔科夫链【例27】（2026届江浙皖高中发展共同体10月联考T14）一袋中有4个白球和3个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为，则．【例28】（2025•杏花岭区校级期中）山西省实验中学开展“阳光体育大课间”活动，通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率，则第二天参加“球类”的概率，第天选择“球类“的概率（用含的式子表示）．【例29】（2026届广东肇庆开学考试T14）若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为.【例30】（2026届广东深圳光明区10月调研T14）有A、B、C、D四位同学按照逆时针方向站在一个正方形的四个顶点，进行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率是，传给不相邻顶点的人的概率是，例如将球传给和的概率均为，传给的概率为．若游戏开始时，球在同学手里，则经过3次传球后，球回到A同学手里的概率为．我们先来明确一下马尔科夫链的定义：设是随机数列，如果每个都在中取值，则称是的状态空间。为了表示方便，我们对元素进行编号：如果对任何的正整数n和中的，随机数列满足 则称为马尔科夫链。称为的转移概率我们这一对式①做一下解释：①意味着下一次状态的概率只和当前状态有关，与之前的状态无关。在高中阶段，在涉及马尔科夫链的问题中，很多都是让我们求步转移概率，即，虽然这个问题我们可以通过方程轻松解决，但这涉及到矩阵知识，在高中阶段我们还是通过概率递推解决。那么如何快速写出概率递推呢？这个公式是可以无脑写出来的：，其中为遍布I中的所有情况，这里对的顺序并无要求，但一定要注意下标的对应，否则求和过程不成立。这个公式看似复杂，但其实就是个向量内积，我们通过例题应用一下来解释这个公式：以那一道传球题为例，我们只写出的递推式为例，不难列出n次传球后有三种状态：球在A，B，C，D中我们分别编号，由于球从A开始传，因此，题目就是让我们求，以此类推我们就能待出的递推式。当情况趋于无穷时，概率，期望等会收敛到一个固定的值，这个时候我们考虑的就不是某一步到达某状态的概率，而是状态内部的转移，吸收马尔科夫链，期望递推等都属于这个模型。比如小球从飞飞出的例题，假设球本来在，最后从j口飞出的概率为，由i转移到j容器的概率为，其中＂＂表示经过了无穷步。由于极限，因此上面的求和公式变为： 这与我们的认知是一致的。一定要注意的是，当步数趋于无穷时，状态空间会发生变化，以小球飞出的那道题为例，由于在每个容器，进入别的容器的概率不大于厂，因此经历无穷步后，球不可能在容器内部，此时最终状态空间变为：从容器飞出编号为，由于我们在递推时还涉及前几步的状态，因此状态空间应该写成：表示小球在容器A，B，C中。由于小球飞出后不会再回到容器中，因此此处后跟，表示可以取成，即也是成立的。 因此，以此类推，我们就能写出的表达式，联立求解即可。考点四.概率与的不等式问题一．赢2分赛制【例31】（2025新课标Ⅱ卷19题）甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜概率为p12<p<1，乙胜概率为q，p+q=1，且各球胜负独立。对正整数k≥2，记Pk为打完k（1）求p3,p4(用p（2）若p4−p3（3）证明:对任意正整数m，p2m【例32】（25深圳中学模拟题14题）绝大多数比赛都采用“(2n-1)局胜制”的规则,但也有一些项目,比如冰壶运动,其整个比赛通常是进行偶数局.现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛,两人约定比赛规则为:共进行局,谁赢的局数大于局,谁就获得最终胜利.已知每局比赛中,甲获胜的概率均为,乙获胜的概率均为(1-p).记甲赢得整个比赛的概率为.若,则_____;若,则当_____时,最大.二．判断赛制公平性【例33】（2026届吉林长春吉大附中第一次摸底T18）在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分为三种颜色：红色､蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取球.已知盒子中红色球､蓝色球和绿色球的数量分别为个､个和个，且总球数为个.(1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率；(2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为，当时，求；(3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由.【例34】（2026届襄阳四中月考T17）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组．（1）若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？三．最大项比较【例35】（2026届贵州贵阳七校联盟第一次联考T19）编号为的小球随机放入编号为的盒子中，即每个球放入任何一个盒子机会均等，相互独立，记表示n个盒子中空盒子的个数．(1)当时，求编号为1的盒子中有球的概率；(2)若设，则可得：，，所以，求；(3)求证：关于n单调递增．【例36】（2026届江苏如皋第一次质检T18）某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．(1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；(2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望；(3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由．【例37】（2026届湖北腾云联盟十月联考T18）某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若，当时，（i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望；（ii）求；(2)讨论与的大小关系.【例38】（2026届重庆巴蜀中学开学考T18）有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题：(1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率；(2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率；(3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值．【例39】（2026届湖北黄石开学考T18）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球.(1)现甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回，且甲乙摸球相互独立.已知乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率为.（i）求x的值；（ii）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列和期望.(2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻.记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值.考点五.概率与数列求和一．最优停止理论【例40】（2026届山西山大附中开学考T19）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率；(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．①若，求；②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值．（取）【例41】(2025绍兴二模19题)某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选,现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面面试环节.其中校和校各4名,校2名,10名面试者随机抽取号的面试序号.(1)若来自校的4名毕业生的面试序号分别为,且,来自校的4名毕业生的面试序号分别为,且,来自校的2名毕业生的面试序号分别为,且.(i)求概率;(ii)记随机变量,求的均值.(2)经面试,第位面试者的面试得分为,且他们的面试得分各不相等,公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率,现人事部门设计了以下面试录用新规则:,集合中的最小元素为,最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生,证明:面试得分第一、二(按得分从高到低排)的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.二．均值与数列求和【例42】（25-26高三上·湖北省鄂州市第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）T19）一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为.(1)求与；(2)设，求与；(3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求.【例43】（2026届重庆育才中学开学考T19）数学中的“对称性”与“等效性”不仅体现在几何和函数中，还体现在概率问题中.例如：某班级共有名学生，其学号记为，老师使用点名软件进行随机点名.规则为：每次点名时，软件会从名学生中随机抽取一名学生对应的学号(每次点名后，学号复位，即认为有放回抽取)，且每次抽取相互独立.老师随机进行两次点名，记为第次抽取的学号.(1)计算与；（用表示）(2)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，有.记，其中表示中的最大者，表示中的最小者.（i）计算的值；（用表示）（ii）证明.（参考公式：）【例44】（2026届山东潍坊十月月考T19）对于非空数集S，，若，则称数集S具有性质M.(1)判断，是否具有性质M，并说明理由；(2)若满足：①；②，当时，都有；③数集S具有性质M.（i）证明数列为