人教版小学数学二年级下册《有余数的除法（第二课时）》教学设计

人教版小学数学二年级下册《有余数的除法（第二课时）》教学设计

一、设计理念与理论框架

本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，以“理解余数概念的本质，探索并发现余数与除数的关系”为核心目标。我们摒弃传统的“告知-记忆-练习”模式，转而采用“问题情境-操作探究-模型建立-解释应用”的建构主义学习路径。本课将数学视为一种探索世界的语言和工具，注重在真实、富有挑战性的任务中发展学生的数感、运算能力、推理意识和模型意识。

我们秉持“大单元教学”理念，将本课时置于“除法”学习的整体脉络中。第一课时学生已经初步建立了有余数除法的概念，会进行简单的有余数除法计算。本课时则旨在引导学生从具体的操作活动中抽象出“余数必须小于除数”这一核心规律，并理解其内在逻辑，为后续学习除法试商、解决问题以及理解除法与乘法的逆运算关系奠定坚实的逻辑基础。同时，我们尝试进行适度的学科融合，将数学的逻辑性与美术的规律美、语文的精准表达相结合，培养学生的跨学科思维。

二、学情分析

二年级下学期的学生，其思维正处于从具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期。他们对“平均分”已有扎实基础（表内除法），并对“分后有剩余”的现象（第一课时内容）有了直观体验。然而，他们的认知存在以下特点与潜在障碍：

1.已有认知：能够正确列出如“10÷3=3……1”的算式，并能结合小棒、圆片等学具解释算式中每个数字的含义。

2.思维特征：依赖实物操作，归纳概括能力正在发展，但往往关注局部而忽略整体规律。例如，能注意到某一次分小棒余下了几根，但不易自发比较多次操作中“余数”与“除数”的大小关系。

3.潜在迷思：可能存在“余数可以比除数大”或“余数和除数一样大时还可以再分”的错误前概念。部分学生可能将“余数”简单地理解为“剩下的”，而忽略其是在“平均分”的特定规则下产生的。

4.兴趣点：对游戏化、挑战性任务充满热情，喜欢动手操作和小组合作交流。

因此，教学设计的重心在于创设连续、对比强烈的操作活动，引导学生在“分一分、记一记、比一比、想一想”的完整探究过程中，自己“发现”规律，并理解其必然性，从而实现对核心概念的自主建构和意义理解。

三、教学目标

【知识与技能】

1.通过系统性的动手操作活动，经历观察、比较、归纳的过程，自主发现并牢固掌握“余数必须小于除数”的规律。

2.能运用发现的规律，快速判断有余数除法计算的合理性（余数是否小于除数），并能在计算中初步运用此规律进行简单推理。

3.能用规范、准确的数学语言表述“余数为什么比除数小”，并解释其道理。

【过程与方法】

1.在“用不同数量的小棒搭独立正方形”的任务驱动下，体验从具体操作到抽象记录的数学化过程（方法）。

2.学会运用列表格、有序枚举等策略收集和整理数据，并从中发现数学规律（策略）。

3.通过小组讨论和全班交流，发展归纳推理能力和有条理的表达能力（思维能力）。

【情感、态度与价值观】

1.在探究规律的过程中，感受数学的严谨性和规律美，增强学习数学的好奇心和求知欲。

2.体验通过合作与努力发现重要数学规律的成就感，建立学好数学的信心。

3.初步体会“规则”在数学中的重要性，感悟数学与生活的紧密联系。

四、教学重难点

1.教学重点：发现并理解“余数必须小于除数”的规律。

2.教学难点：

1.3.理解规律的必然性：从“平均分”的意义和过程出发，理解“如果余数等于或大于除数，就意味着还可以再分一次”，从而内化“余数必须比除数小”的逻辑道理，而非仅仅记忆结论。

2.4.规律的初步应用与逆向思考：根据除数和余数，推断被除数可能的范围；或根据余数，推断除数最小是几。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（包含情境动画、探究任务单、互动练习题）。

2.3.实物教具：磁性小棒（或彩色卡纸剪成的长条）、磁性正方形框。

3.4.板书设计框架。

5.学生准备（每4人小组）：

1.6.学具袋：不少于30根的小棒（或等长的小塑料棒）。

2.7.记录单（表格形式）。

3.8.练习本、铅笔、彩笔。

六、教学过程

第一阶段：情境激趣，温故孕新（预计时间：5分钟）

【活动一：故事导入，唤醒旧知】

1.课件呈现：动态展示绘本故事《勤劳的松鼠一家》。秋天，松鼠妈妈采回了许多松果。画面显示：有9个松果，要平均分给4只小松鼠。

2.教师提问：“同学们，你能帮松鼠妈妈分一分吗？每只小松鼠能分到几个？还会剩下几个？请用算式表示。”

3.学生活动：独立在练习本上列式。请一位学生上台用教具演示分发过程。

4.互动与板书：

1.5.学生列出：9÷4=2（个）……1（个）

2.6.教师追问：“算式中每个数表示什么意思？”（9是被分的松果总数，4是要分的份数，2是每份分到的个数，1是分完后剩下的余数。）

3.7.教师板书核心算式：9÷4=2……1

8.设疑引新：“松鼠妈妈觉得这个分法很公平。第二天，它又采回了10个松果，还是平均分给4只小松鼠。这次分的结果用算式怎么表示？”（10÷4=2……2）“第三天，采回11个呢？”（11÷4=2……3）“第四天，采回12个呢？”（12÷4=3）

1.9.教师将算式依次板书在第一个算式下面，形成一列。

2.10.关键提问：“仔细观察这一组算式，你有什么发现？关于‘剩下的’也就是‘余数’，你有什么想说的吗？”

3.11.学生可能初步观察到余数在变化，有1,2,3，直到没有余数。教师抓住生成：“余数好像总是1,2,3，它会不会是4、5或者更大呢？今天我们就化身数学小侦探，来深入研究‘余数’的秘密。”

【设计意图】用童话情境快速吸引学生注意力，在解决贴近生活的实际问题中自然复习有余数除法的意义和读写。通过连续变式（9,10,11,12除以4）的一组算式，初步营造认知冲突，让学生对“余数的大小”产生好奇和疑问，为后续的规律探究做好心理和认知上的铺垫。

第二阶段：操作探究，建构模型（预计时间：20分钟）

【活动二：任务驱动，系统操作】

1.发布探究任务：

“数学王国正在举办‘小小建筑师大赛’，要求用同样长的小棒搭出尽可能多的、独立的（不共用边）正方形。每个正方形需要4根小棒（明确除数是4）。现在，每个小组都有一个‘魔法材料包’，里面的小棒数量不同，分别是：5根、6根、7根、8根、9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根。”

“你们的任务是：

（1）动手搭：依次用这些数量的小棒搭正方形，看看最多能搭出几个，还会剩下几根小棒。

（2）认真记：把每次搭的结果，像刚才分松果一样，用除法算式清清楚楚地记录在表格里。”

2.出示记录单（表格投影）：

小棒总根数（被除数）

除法算式

搭的正方形个数（商）

剩余小棒根数（余数）

5

5÷4=（）……（）

6

6÷4=（）……（）

...

...

15

15÷4=（）……（）

（注：表格中“搭的正方形个数”和“剩余小棒根数”两列，旨在引导学生将算式的“结果”与“操作的结果”进行意义关联，强化理解。）

3.小组合作探究：

1.4.教师巡视指导，关注以下几点：

1.2.5.操作是否有序（从5根开始，逐一增加）。

2.3.6.记录是否规范、完整。

3.4.7.小组成员分工是否明确（操作员、记录员、汇报员等）。

4.5.8.特别关注当小棒数为8、12时，余数为0的情况如何记录和表述。

6.9.鼓励完成快的小组思考：“观察你们记录表里‘剩余小棒根数’这一列，你有什么有趣的发现？”

【活动三：数据汇总，发现规律】

1.全班数据共享：

1.2.教师邀请几个小组将他们的记录表投影或在黑板上展示。

2.3.教师将全班认可的算式，规范地板书到黑板上，形成完整的序列：

5÷4=1……1

6÷4=1……2

7÷4=1……3

8÷4=2

9÷4=2……1

10÷4=2……2

11÷4=2……3

12÷4=3

13÷4=3……1

14÷4=3……2

15÷4=3……3

4.聚焦观察，引导发现：

1.5.教师用彩色粉笔圈出所有算式的“余数”：1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3。

2.6.核心讨论：

（1）“这些余数像在排队，它们排出的队伍有什么规律？”（引导学生说出：余数总是1、2、3、0，然后重复出现。）

（2）“余数可能是4吗？可能是5吗？为什么？”

1.3.7.此处进入难点突破。让学生结合搭正方形的操作解释。

2.4.8.学生解释：“如果剩下4根，就正好可以再搭一个正方形，就没有余数了。”“如果剩下5根，里面还包含一个4（根），还能再搭一个，最后只会剩下1根。”

3.5.9.教师提炼与追问：“说得太好了！也就是说，在平均分的过程中，我们一直在用‘4根’（除数）作为一个标准去分。如果剩下的等于或超过这个标准（4根），说明我们还能再分一次（再搭一个正方形）。所以，最后真正‘不能再分’时剩下的根数，一定会比这个标准（4根）要——”（生：少。）

（3）“如果余数可以是0，那1、2、3和0比，谁大谁小？”（0表示没有剩余，所以余数可以是0、1、2、3。）

（4）“谁能用一句话总结，在‘除数都是4’的除法算式中，余数有什么特点？”

10.抽象概括，形成结论：

1.11.在学生充分发言的基础上，教师引导学生共同总结：在有余数的除法里，余数必须比除数4小。余数可以是0、1、2、3。

2.12.教师将结论板书在黑板上醒目位置。

【活动四：猜想验证，推广规律】

1.引发猜想：“刚才我们通过搭正方形（除数是4），发现了余数比4小。这是一个普遍的规律吗？如果除数是别的数，比如我们玩‘3人一组’的游戏（除数是3），余数又会怎样呢？请你猜一猜。”

2.快速验证：

1.3.“请用你们的小棒，快速验证一下：如果3根小棒搭一个三角形（除数是3），用4根、5根、6根、7根、8根小棒去搭，余数可能是哪些数？”

2.4.学生快速操作并汇报。

3.5.教师板书典型算式：4÷3=1……1，5÷3=1……2，6÷3=2，7÷3=2……1

4.6.“除数是3时，余数有哪些？”（0,1,2）“比3小吗？”（是）

7.归纳定论：

1.8.教师总结：“看来，无论除数是4、3还是其他数，只要是有余数的除法，余数都有一个共同的特点。”

2.9.与学生一起完整、精准地表述核心规律：在有余数的除法中，余数一定要比除数小。

3.10.将此最终结论用方框框出，作为本节课的“数学宝石”。

【设计意图】这是本节课的核心环节，遵循“具体—表象—抽象”的认知规律。通过“搭正方形”这一操作性极强且目标明确的任务，让学生在大量、系统的数据生成中亲身经历规律的发现过程。“数据汇总”将个人、小组的发现扩大到全班，形成强大的数据支撑。“聚焦讨论”环节，教师通过层层递进的问题链，引导学生从现象观察深入到原理探究，深刻理解“余数比除数小”的必然性，从而突破难点。“猜想验证”则让学生初步经历“发现规律-提出猜想-举例验证-得出结论”的数学研究一般过程，使发现的规律从特殊推广到一般，培养了学生的推理能力和科学探究精神。

第三阶段：深化理解，灵活应用（预计时间：12分钟）

【活动五：基础闯关，巩固规律】

1.判断诊所（火眼金睛）：

1.2.课件出示：下面的计算对吗？把不对的改正过来。

(1)28÷5=4……8（）

(2)33÷7=4……5（）

(3)40÷6=6……4（）

2.3.学生独立判断并说明理由。重点围绕“余数是否比除数小”进行分析。

3.4.对于第(1)题，追问：“余数8比除数5大，说明什么？（说明还能再分）商4对吗？应该商几？”引导学生理解利用规律可以检验计算的正误。

5.填空小能手（逆向思维）：

1.6.（）÷6=4……（），余数可能是（）。

2.7.（）÷（）=5……6，这道题有问题吗？为什么？

3.8.÷7=……，余数最大是（）。

4.9.一个数除以8，商是5，当余数最大时，这个数是（）。

5.10.本题设计由易到难，第1题巩固余数范围；第2题强化对规律的理解（余数6不能比未知的除数小，所以算式错误）；第3题直接应用；第4题综合应用，需要学生理解“余数最大比除数小1”，进而求出被除数。教师需引导学生说清思考过程。

【活动六：联系生活，解决问题】

1.情境问题：

“学校彩色气球按‘红、黄、蓝、绿’的顺序依次悬挂庆祝节日。”

（1）第16个气球是什么颜色？

（2）第23个气球呢？

（课件动态展示循环排列）

2.引导建模：

1.3.“这个问题和我们今天学的知识有什么关系？”（引导学生发现：颜色的循环周期是4，就是‘除以4’，看余数。）

2.4.“可以把每个气球编号，用它的序号除以4，看余数。”

3.5.列式计算：16÷4=4（组），余数为0，对应每一组的最后一个颜色——绿色。

23÷4=5（组）……3（个），余数为3，对应每组第三个颜色——蓝色。

4.6.引导学生总结解决这类周期问题的策略：找周期（除数）→列除法→看余数。

7.即时拓展：“如果按‘红、黄、蓝’3种颜色循环，第20个是什么颜色？”让学生快速口答，举一反三。

【设计意图】练习设计分层递进，兼顾基础与拓展。“基础闯关”旨在固化规律，从正向判断到逆向思考，培养学生的批判性思维和灵活运用能力。“解决问题”则将数学规律置于真实、有趣的场景中，让学生体会数学的实用价值，同时渗透了“化归”和“模型”思想，将周期问题转化为有余数的除法问题，提升了学生综合运用知识解决问题的能力。

第四阶段：总结反思，拓展延伸（预计时间：3分钟）

1.分享收获：“今天这节数学探索之旅，你发现了什么最重要的‘数学宝石’？你是通过什么样的‘探险’过程发现的？它有什么用？”

1.2.鼓励学生从知识（余数比除数小）、方法（动手操作、观察比较）、体验（合作、发现）等多角度进行总结。

3.教师升华：

“同学们，今天我们通过自己的双手和智慧，发现了除法世界里一个非常重要且美丽的规律：余数比除数小。这个规律就像除法计算王国里的一条交通规则，保证了计算的秩序。它不仅能帮助我们检查计算对不对（验算），还能帮助我们解决像猜颜色、安排活动等许多生活中的问题。数学的规律就藏在我们每一次认真的操作和思考里。”

4.布置作业（分层、实践性）：

1.5.必做题：数学书第XX页做一做，练习X第X、X题。

2.6.选做题（实践探究）：

（1）找一找生活中哪些地方用到了“有余数的除法”，举一个例子，并说说余数表示什么，为什么余数一定比除数小。

（2）挑战题：△÷6=☆……○，○最大是（），这时△是（）。如果○不为0，○最小是（），这时△是（）。

七、板书设计

板书设计力求体现知识的发生、发展过程和内在逻辑关系。

有余数的除法（二）

——余数和除数的关系

操作探究（搭正方形）：

5÷4=1……1

6÷4=1……2

7÷4=1……3

8÷4=2

9÷4=2……1

10÷4=2……2

...（有序排列）

观察发现：余数总是0、1、2、3。

思考：余数可能是4吗？为什么？

→余数4根可以再搭一个！说明还能再分一次。

验证猜想（搭三角形）