人教版初中数学九年级下册《位似》教案

人教版初中数学九年级下册《位似》教案

一、设计理念与指导思想

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，以“图形与几何”领域的知识整合与思想渗透为根本出发点。位似变换作为图形全等、平移、旋转、轴对称、相似等一系列几何变换的“收官”与“升华”，不仅是相似知识的深度延伸，更是连接平面几何与立体几何、初等数学与高等数学（如射影几何）的桥梁。本设计超越传统知识点传授的局限，秉持“大单元”、“大概念”教学理念，将位似置于整个几何变换的宏大脉络中审视。

设计强调“真实情境-问题驱动-探究建构-迁移应用”的深度学习路径，引导学生从生活与科技的真实背景（如数码变焦、地图绘制、医学成像、计算机图形学）中抽象数学概念，通过“做数学”的方式——动手操作、几何画板（Geogebra）动态验证、小组协作推理——自主建构位似的定义与性质体系。本教案深度融合跨学科视角，有机链接美术（透视与素描）、地理（比例尺与地图投影）、信息技术（图像处理算法）等学科知识，展现数学作为基础科学的强大工具性与文化性，着力发展学生的几何直观、空间观念、推理能力、模型观念与应用意识，培育科学精神与创新思维。

二、学情分析

已有认知基础：

九年级下学期的学生已经系统掌握了全等三角形的判定与性质，完整学习了平移、旋转、轴对称三种全等变换，并对相似图形（多边形相似、相似三角形的判定与性质）有了深刻的理解。他们具备了利用坐标描述图形位置的能力，对数形结合思想有初步体验。在技能上，学生能够规范使用直尺、圆规等作图工具，部分学生能初步操作Geogebra等动态几何软件。

潜在认知障碍与发展区：

1.概念混淆区：容易将“位似”与“相似”概念等同，忽略“对应点连线交于一点（位似中心）”这一核心且唯一的判定特征。

2.思维定势：受全等变换和一般相似的影响，对“位似比”与“相似比”的关系（相等）、位似中心的位置（可在形内、形外、边上或顶点）可能理解僵化。

3.作图困难：给定位似中心和位似比进行图形放大或缩小的尺规作图，尤其是反向位似（位似比为负）的作图，步骤繁琐，逻辑严谨性要求高，是技能难点。

4.坐标抽象：从图形直观到用坐标表示位似变换，进而归纳平面直角坐标系中以原点为位似中心的变换公式，需要较强的抽象概括能力。

5.应用迁移：将位似知识灵活应用于解决非标准化的实际问题，如设计缩放图案、解释光学现象、理解简易测距原理等，是素养发展的关键点。

基于此，本设计将通过多层次、多感官的探究活动，搭建认知阶梯，引导学生在辨析中明晰概念，在探究中深化理解，在应用中实现迁移与创新。

三、教学目标

（一）核心素养目标

1.几何直观与空间观念：能从复杂图形中辨识位似关系，准确想象图形在位似变换下的动态变化过程，建立清晰的位似图形心理表象。

2.推理能力：经历位似性质的猜想、验证与证明过程，发展合情推理与演绎推理能力，形成严谨的几何逻辑思维链。

3.应用意识与模型观念：能从实际情境中抽象出位似模型，并利用位似知识解释现象、设计解决方案，体会数学的广泛应用价值。

4.创新意识：在开放性、跨学科的探究任务中，鼓励提出新颖的作图方法、应用设想，培养批判性思维和创造性解决问题的能力。

（二）知识与技能目标

1.理解并准确表述位似图形、位似中心、位似比（相似比）的概念。

2.掌握位似图形的基本性质：对应点连线交于一点（位似中心）；对应边平行（或共线）；任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.能够熟练利用尺规作图或坐标方法，按要求（已知位似中心与位似比）作出一个多边形的位似图形。

4.掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，并能应用于计算。

（三）过程与方法目标

1.通过观察、比较、操作、测量、猜想、验证、证明等一系列数学活动，构建位似知识体系。

2.体验从特殊到一般、从具体到抽象、从形到数的研究方法。

3.学会运用动态几何软件进行探究性学习，提升信息技术与数学融合学习的能力。

4.在小组合作学习中，学会清晰表达、倾听与辩论，提升协作解决问题的能力。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.位似图形概念的深刻理解（本质是“特殊的相似”，核心是“点连线共点”）。

2.3.位似图形性质的探究与应用。

3.4.按要求作已知图形的位似图形。

5.教学难点：

1.6.对“位似中心的位置任意性”及“位似比的正负性（方向）”的理解。

2.7.位似图形性质的严谨证明（特别是对应边平行的证明）。

3.8.在复杂情境中灵活识别和构造位似关系解决问题。

4.9.坐标系中位似变换公式的推导与多情形应用。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含丰富的位似图片：显微镜下的细胞分裂、同版不同尺寸的地图、建筑物效果图与实景图、分形艺术、星座图等）。

2.3.动态几何软件Geogebra课件（可动态演示位似中心移动、位似比变化对图形的影响）。

3.4.预设的探究任务单、分层作业设计单。

4.5.实物道具：可伸缩的教鞭、两个形状相同大小不同的透明三角形胶片（中心可固定旋转）。

5.6.板书设计框架。

7.学生准备：

1.8.复习相似三角形的判定与性质。

2.9.直尺（带刻度）、圆规、量角器、铅笔。

3.10.（可选）安装有Geogebra软件的平板电脑或笔记本电脑，用于分组探究。

六、教学实施过程（核心环节）

第一课时：概念的生成与性质的初探

（一）情境导入，激疑生趣（预计时间：8分钟）

1.视觉冲击，提出问题：

1.2.展示一组图片：①同一张个人照片的原始尺寸与放大后的眼睛局部；②某城市地铁线路图与其中某一站区的放大详图；③通过显微镜将一滴水中的微生物由低倍镜切换到高倍镜的视野变化视频。

2.3.教师提问：“这些变化中的两组图形，与我们学过的全等变换、相似变换有什么相同与不同？它们的变化有什么共同规律？”

3.4.学生观察并讨论，可能回答：形状相同，大小不同（相似）；但放大的方式好像是从一个“点”发散出去的。

5.动手操作，初步感知：

1.6.活动：发给每两位学生一组道具：两个相似透明三角形胶片和一个图钉。

2.7.任务：固定小三角形，用图钉穿过两个三角形的同一个对应顶点（如顶点A和A‘），然后移动、旋转大三角形，能否找到一个位置，使得两个三角形的所有对应顶点（B与B’，C与C‘）的连线都经过图钉所在的那个点？

3.8.学生动手尝试，教师巡视。绝大部分学生能找到此位置。

4.9.追问：“这个‘点’扮演了什么角色？此时两个三角形除了相似，还有什么更特殊的关系？”引导学生初步描述：所有对应点的连线都交于同一个点。

【设计意图】从跨学科的鲜活实例引入，迅速聚焦“特殊相似”这一主题。动手操作活动将抽象的视觉规律转化为可触摸的体验，为“位似中心”概念的提出奠定坚实的感性基础，有效激发探究欲望。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

1.定义提炼：

1.2.基于操作与讨论，教师引导学生用数学语言描述发现：如果两个相似多边形任意一组对应顶点（P和P’）的连线都经过同一个定点O，且满足OP‘=k·OP(k≠0)，那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，常数k叫做位似比（也即相似比）。

2.3.教师用Geogebra动态演示：任意拖动原图形顶点，其位似图形同步变化，始终满足定义。强调定义的两个核心要素：①相似；②对应点连线共点。

4.概念辨析与深化：

1.5.探究活动一（小组讨论）：

1.2.6.问题1：位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？举例说明。

2.3.7.问题2：位似中心的位置一定在图形外部吗？请用Geogebra构造位似中心在图形内部、边上、顶点上的位似图形。

3.4.8.问题3：当位似比k>1，k=1，0<k<1，k<0时，图形分别如何变化？（k<0的情况动态演示，引导学生观察对应点与位似中心的位置关系）。

5.9.小组汇报，教师总结：

1.6.10.位似是特殊的相似（判定：先证相似，再证共点；或直接利用对应边平行且成比例且共点）。

2.7.11.位似中心位置任意。

3.8.12.k>1：放大；0<k<1：缩小；k=1：全等（是特殊的位似）；k<0：图形在位似中心的两侧，称为反向位似或中心对称位似。这是概念的深化点，也是与生活直觉（缩放）的差异点，需重点通过动态演示理解。

【设计意图】摒弃直接灌输定义的方式，让学生在辨析正例与反例、操作与观察中自主建构概念。特别是对位似比正负的探究，打破了学生的思维定势，引入了“方向”这一维度，使概念认知更加完整、科学。

（三）性质猜想与初步验证（预计时间：12分钟）

1.性质猜想：

1.2.教师引导：“根据定义和我们的观察，位似图形除了‘对应点连线共点’和‘对应线段成比例’（来自相似）外，还可能有哪些独特的性质？关注一下对应边、对应角、周长、面积等。”

2.3.学生独立猜想，小组汇总。可能的猜想：对应边平行（或共线）；对应角相等（由相似可得）；周长比等于位似比|k|；面积比等于位似比的平方k²。

4.实验验证：

1.5.探究活动二（Geogebra验证）：

1.2.6.在Geogebra中构造一对位似四边形ABCD和A‘B’C‘D’，O为位似中心。

2.3.7.测量：①∠ABC与∠A‘B’C‘（验证相等）；②线段AB与A’B‘的长度并计算比值（验证为|k|）；③分别测量AB与A’B‘、BC与B’C‘…的斜率或使用“关系”工具判断是否平行；④计算四边形ABCD和A’B‘C’D‘的周长与面积，验证比值关系。

4.8.学生分组操作，记录数据，得出结论。

9.归纳与板书：

1.10.师生共同归纳位似图形的核心性质（板书）：

1.2.11.性质1（核心）：对应点的连线相交于一点（位似中心）。

2.3.12.性质2（位置）：各对对应边分别平行（或在同一直线上）。

3.4.13.性质3（形状与大小）：位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质（对应角相等，对应线段成比例，周长比等于|k|，面积比等于k²）。

5.14.强调：性质2是位似图形特有的、非常实用的性质，可用于快速判断或作图。

【设计意图】猜想是科学发现的起点。让学生先基于直观进行猜想，再用技术工具进行高效、精准的验证，亲历“发现”知识的过程。这既培养了合情推理能力，也让学生体会了现代技术作为数学研究工具的强大魅力。

（四）初步应用，巩固新知（预计时间：5分钟）

1.判断练习：给出几组图形（包括明显的位似、一般的相似、含位似但需判断中心位置等），让学生判断是否为位似图形，若是，指出位似中心和估计位似比。

2.简单作图（引出下节课重点）：已知△ABC和位似中心O，请画出位似比为2的放大图形（只做思路口述，具体步骤下节课详解）。

【设计意图】通过即时练习，强化概念辨识，暴露理解误区。简单的作图任务为下一课时的技能学习埋下伏笔。

第二课时：作图的掌握与坐标规律的探索

（一）复习导入，明确任务（预计时间：5分钟）

1.快速回顾位似定义与核心性质（对应点连线共点、对应边平行）。

2.提出问题：“上节课我们‘看’懂了位似，这节课我们要‘画’出位似。给定一个图形、一个位似中心O和一个位似比k，如何精准地作出它的位似图形？有哪些方法？”

（二）技能建构——位似图形的作图（预计时间：20分钟）

1.方法探究：尺规作图法

1.2.基础任务：已知△ABC和形外一点O，求作△A‘B’C‘，使它与△ABC位似，位似中心为O，位似比k=2。

2.3.学生尝试：鼓励学生基于性质（OA‘=2OA，且A’B‘//AB）独立思考作图步骤。教师巡视，收集典型方案。

3.4.方案展示与优化：

1.4.5.方案一（射线法）：连接OA、OB、OC并延长，在射线OA上截取OA‘=2OA，同理得B’、C‘，连接。此方法直接源于定义。

2.5.6.方案二（平行线法）：取OA中点，或利用平行线分线段成比例定理。引导学生比较哪种更简便、更具一般性。

6.7.教师规范演示与板书步骤（射线法）：一连（连接关键点与O）、二延（作射线）、三截（按比例截取）、四连（连接新顶点）。强调作图规范与k>1和0<k<1时截取方向的不同。

8.方法变式与深化：

1.9.变式1：如果位似中心O在△ABC的边上（如BC边上），如何作图？（引导学生思考，连线时O与所在边的两点重合，只需处理其他点）

2.10.变式2：如果位似比k=-0.5（反向缩小），如何作图？（关键：点在射线反向延长线上截取）用Geogebra演示动态过程，理解k<0的作图实质。

3.11.探究活动三（小组竞赛）：给出一个四边形和位似中心O（在形内），要求用两种不同的方法（射线法、利用一组平行线法）作出k=1/3的位似图形。比较优劣。

12.方法归纳：

1.13.尺规作图的核心是利用“对应点连线过位似中心”和“对应边平行”两个性质。

2.14.关键是根据位似比的正负和大小，确定截取的方向和长度。

【设计意图】将作图技能的教学提升为“问题解决策略”的探究。通过基础、变式、开放的任务链，让学生不仅掌握步骤，更理解原理，并能根据不同条件灵活选择或创造作图方法，实现技能背后的思维增长。

（三）数形结合——坐标系中的位似（预计时间：15分钟）

1.特殊到一般的探究：

1.2.问题：在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，已知△ABC三个顶点的坐标，位似比为k，那么位似图形△A‘B’C‘的顶点坐标有什么规律？

2.3.探究活动四（分组计算，归纳规律）：

1.3.4.任务表1：△ABC顶点为A(2,1)，B(3,3)，C(1,2)。分别计算以O为位似中心，k=2和k=-1时，△A‘B’C‘的坐标，并填入表格。

2.4.5.观察表格中原坐标(x,y)与新坐标(x’,y‘)的关系。

5.6.学生通过计算，很容易发现规律：x’=kx,y‘=ky。

6.7.教师用Geogebra动态演示验证此规律，并强调：此公式仅适用于位似中心为原点的情况。

8.规律的拓展与应用：

1.9.思考：如果位似中心不是原点，而是平面内任意一点P(a,b)，规律又是什么？

2.10.引导推导（师生共析）：我们可以通过坐标平移，将问题转化。将整个坐标系平移，使P点成为新原点。设原坐标系下一点M(x,y)，在新坐标系下为M(x-a,y-b)。在新系中以“新原点”P进行位似变换得M’(k(x-a),k(y-b))，再平移回原坐标系，得M‘(k(x-a)+a,k(y-b)+b)。

3.11.得出一般公式：若位似中心为P(a,b)，位似比为k，则变换公式为：x’=k(x-a)+a,y‘=k(y-b)+b。

4.12.例题：已知四边形顶点坐标，位似中心P(1，-2)，k=0.5，求位似图形顶点坐标。学生应用公式计算。

【设计意图】从具体的数值计算中发现规律，是归纳思维的训练。引导学生推导一般公式，将图形变换代数化，是数形结合思想的深刻体现。此环节将学生的认知从几何操作提升到代数抽象，完成了位似知识在“形”与“数”两个维度的统一。

（四）综合应用，小试牛刀（预计时间：5分钟）

1.选择题：考察对位似概念、性质、坐标规律的理解。

2.综合题：一个小型设计项目：在方格纸（可视为坐标系）中，有一个简单的标志图案（如箭头）。请你以某指定点为位似中心，将其放大为原来的1.5倍，并写出新图案关键点的坐标。

【设计意图】综合练习检验本课时双重技能（作图与坐标计算）的掌握情况。设计项目式题目增加趣味性和应用感。

第三课时：深度应用、跨学科链接与总结提升

（一）应用探究——位似在测量中的应用（预计时间：15分钟）

1.情境呈现（物理/地理跨学科）：

1.2.故事背景：古代如何测量金字塔的高度？现代如何利用一张航拍照片和少量地面数据估算山峰高度或建筑物尺寸？

2.3.原理动画：演示利用“阴影法”或“镜面反射法”构造相似三角形进行测量。引导学生发现，在特定的视角下（观测点、物体顶端、底端共线），这些方法构造的实际上是位似图形（位似中心是观测点眼睛或镜面反射点）。

4.建模与解决问题：

1.5.问题：如图，小明（点A）为了测量一棵大树CD的高度，他在树下水平地面上放一面小镜子（点E），当他移动到点B时，刚好在镜子里看到树顶C的像。已知AB=1.5m，BE=2m，ED=10m，小明眼睛离地面高度AF=1.2m。求树高CD。

2.6.小组合作：分析光路的反射原理（入射角等于反射角），证明△ABE∽△CDE。进一步分析，若连接AC和BD（视线），它们交于点（无穷远处吗？），引导学生思考这是否是位似？严格来说，由于对应边不平行而是相交，这不是严格的位似，但利用了相似。此处可对比辨析，强调位似的“对应边平行”性质在此情境中的特殊性。

3.7.引出更典型的视差测距法模型（军事、天文常用），该模型直接构成反向位似，用于计算不可到达点的距离。

【设计意图】将位似知识置于历史与科技应用的真实情境中，让学生看到数学原理是如何驱动问题解决的。通过跨学科模型的建立与分析，深化对位似本质的理解，并学会区分相似与位似的具体应用场景。

（二）文化链接——位似与艺术（预计时间：12分钟）

1.美术中的透视：

1.2.展示文艺复兴时期的名画（如达芬奇的《最后的晚餐》）或一幅街道的透视图。

2.3.提问：画面中平行的马路、铁轨，为什么在画面上会相交于一点（消失点）？等高的路灯，为什么近处画得大，远处画得小？

3.4.利用Geogebra构建一个简单的立方体一点透视模型。解释：人眼观察三维世界时，相当于一个“投影中心”，将三维物体投影到二维视网膜或画布上，这个投影过程就近似构成一个以人眼为位似中心的位似变换（更精确地说是中心投影）。消失点就是各组平行线的“位似中心”（无穷远点的像）。画面中物体大小的变化规律符合位似比的变化（距离越远，像越小）。

5.数学与美的创造：

1.6.展示埃舍尔（M.C.Escher）的充满数学魅力的版画，其中大量运用了相似、平移、旋转、乃至分形（一种无限自相似、自位似的结构）。

2.7.创意挑战：请学生利用位似变换（可以结合已学的其他变换），设计一个简单的、有规律的图案或Logo。例如，以一个基本图形（如一片叶子）开始，以某点为中心不断按固定比例缩小并旋转，形成富有美感的漩涡图案。

【设计意图】此环节是数学人文性与美育的体现。将位似与透视原理结合，揭示了艺术背后的数学密码，让学生惊叹于数学的普适性与深刻性。创意挑战活动鼓励学生将知识转化为创造，体验数学之美。

（三）单元总结与思维建构（预计时间：10分钟）

1.知识框图构建（学生主导，教师补充）：

1.2.以“几何变换”为总纲，引导学生梳理知识脉络：全等变换（保距）→相似变换（保形）→位似变换（保形且保向/反向，对应边平行）。明确位似在知识体系中的坐标。

2.3.总结位似的“三要素”（图形、中心、比）、“三性质”（共点、平行、相似衍生）、“两技能”（作图、坐标计算）、“多应用”。

4.思想方法提炼：

1.5.强调本单元贯穿的数学思想：从特殊到一般、数形结合、类比归纳、模型思想。

2.6.总结研究一个几何对象的一般路径：生活实物→抽象定义→探究性质→掌握表示（作图、坐标）→实践应用。

（四）布置分层作业（预计时间：3分钟）

（详见第七部分作业设计）

七、作业设计（分层、弹性、跨学科）

（一）基础巩固性作业（全体必做）

1.教材课后练习题，侧重概念辨析与基本作图。

2.填空题：系统梳理位似定义、性质、坐标公式。

3.判断题：针对常见误区设计（如“位似中心一定在图形之间”等）。

（二）能力发展性作业（大部分学生选做）

1.一题多解：给定一个五边形和位似中心O（在形外），请用两种不同的方法作出其位似比为-2的图形，并说明每种方法的依据。

2.综合推理：证明位似图形的性质2：各对对应边分别平行。（提示：利用相似三角形对应角相等，以及同位角/内错角相等）

3.实际建模：查阅资料，了解“视差法”测量天体距离的原理，并用位似的语言描述其数学模型，进行简化计算。

（三）拓展探究性作业（学有余力或兴趣小组选做）

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