2021大学初等数论裸考救星题库及考点配套答案

2021大学初等数论裸考救星题库及考点配套答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.下列哪个数是模7的二次剩余？A.2B.3C.5D.62.若a≡b(modm)，则下列哪个式子不一定成立？A.a+c≡b+c(modm)B.a-c≡b-c(modm)C.a×c≡b×c(modm)D.a÷c≡b÷c(modm)3.欧拉定理表明，若(a,m)=1，则：A.a^φ(m)≡1(modm)B.a^m≡1(modφ(m))C.a^φ(m)≡0(modm)D.φ(a^m)≡1(modm)4.下列哪个数是模13的原根？A.2B.3C.5D.75.若p是奇素数，则(-1)是模p的二次剩余当且仅当：A.p≡1(mod4)B.p≡3(mod4)C.p≡5(mod6)D.p≡1(mod6)6.若a≡b(modm)，且d|m，则：A.a≡b(modd)B.a≡b(modm/d)C.a≡b(modm+d)D.a≡b(modm×d)7.威尔逊定理表明，若p是素数，则：A.(p-1)!≡-1(modp)B.(p+1)!≡0(modp)C.(p-1)!≡1(modp)D.(p-1)!≡p(modp)8.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，则：A.a+c≡b+d(modm)B.a-c≡b-d(modm)C.a×c≡b×d(modm)D.以上全部9.若(a,b)=d，则方程ax+by=c有整数解当且仅当：A.d|cB.c|dC.a|cD.b|c10.若n是正整数，则φ(n)表示：A.n的素因子个数B.n的正因子个数C.小于n且与n互质的正整数的个数D.小于n的素数的个数二、填空题（总共10题，每题2分）1.若a≡3(mod5)，则a²≡______(mod5)。2.若p是素数，且p≡1(mod4)，则(-1)是模p的______剩余。3.若(a,m)=1，则a^φ(m)≡______(modm)。4.若n=p₁^k₁p₂^k₂…p_r^k_r，则φ(n)=______。5.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，则a×c≡______(modm)。6.若p是奇素数，则模p的原根共有______个。7.若a≡b(modm)，且d|(a,b,m)，则a/d≡______(modm/d)。8.若n是正整数，且n≥2，则φ(n)≤______。9.若p是素数，则(p-1)!≡______(modp)。10.若a≡b(modm)，且k是正整数，则a^k≡______(modm)。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm)。（）2.若(a,m)=1，则a一定有模m的逆元。（）3.若p是素数，则φ(p)=p-1。（）4.若a≡b(modm)，则a≡b(mod2m)。（）5.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，则a/c≡b/d(modm)。（）6.若n是合数，则φ(n)=n-1。（）7.若a≡b(modm)，则a+c≡b+c(modm+c)。（）8.若p是素数，则模p的原根一定存在。（）9.若a≡b(modm)，则a^k≡b^k(modm)对所有正整数k成立。（）10.若(a,m)=d，则a≡b(modm)当且仅当a≡b(modd)。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧拉定理的内容及其证明思路。2.解释什么是模m的原根，并给出一个例子。3.说明二次剩余的定义，并判断3是否是模11的二次剩余。4.简述中国剩余定理的内容及其应用。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论模m的逆元存在的条件及其计算方法。2.分析威尔逊定理的证明过程，并说明其在数论中的意义。3.讨论如何利用欧拉定理简化大指数的模运算。4.讨论二次互反律的内容及其在数论中的应用。答案与解析一、单项选择题1.B2.D3.A4.A5.A6.A7.A8.D9.A10.C二、填空题1.42.二次3.14.n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_r)5.b×d6.φ(p-1)7.b/d8.n-19.-110.b^k三、判断题1.√2.√3.√4.×5.×6.×7.×8.√9.√10.×四、简答题1.欧拉定理表明，若(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)。证明思路基于群论，利用剩余类乘法群的阶的性质。2.模m的原根是指能生成所有与m互质的剩余类的数。例如，2是模5的原根，因为2^1≡2,2^2≡4,2^3≡3,2^4≡1(mod5)。3.二次剩余是指存在x使得x²≡a(modm)。3是模11的二次剩余，因为5²≡3(mod11)。4.中国剩余定理指出，若m₁,m₂,…,m_r两两互质，则同余方程组x≡aᵢ(modmᵢ)有唯一解模M=m₁m₂…m_r。应用包括解线性同余方程组。五、讨论题1.模