2026年高考数学一轮复习 圆与方程含解析

高考数学一轮复习圆与方程一．选择题（共8小题）1．（2025•贵州三模）“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025春•周口期中）已知圆心在x轴上的圆过点(−1，3)且与A．（x+1）2+y2＝4 B．x2+（y﹣2）2＝4 C．（x+2）2+y2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝43．（2025•项城市三模）过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（）A．2 B．23 C．13 4．（2025•廊坊校级模拟）已知O为坐标原点，圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则|OE|＝（）A．2 B．3 C．13 D．55．（2025•北京校级模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，则直线l与圆C的公共点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．与m有关，不能确定6．（2025春•静安区期末）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0 B．x2C．x2+y2+x﹣2y+1＝0 D．x7．（2024秋•北京校级期末）以点C（﹣1，﹣5）为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+5）2＝9 B．（x+1）2+（y+5）2＝16 C．（x﹣1）2+（y﹣5）2＝9 D．（x+1）2+（y+5）2＝258．（2024秋•自贡校级期末）直线l：y＝x与圆M：x2+（y﹣1）2＝4交于A，B两点，则|AB|＝（）A．2 B．7 C．27 D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•南宁模拟）已知点P（4m+3，﹣3m﹣4），点Q在圆C：（x﹣1）2+y2＝1上，则（）A．点P在直线3x+4y+7＝0上 B．点P可能在圆C上 C．|PQ|的最小值为1 D．圆C上有2个点到点P的距离为1（多选）10．（2025•山海关区校级模拟）点P在圆C1：x2+A．圆C1与圆C2相交 B．|PQ|的最大值为10 C．两圆的公共弦长为311D．当直线PQ与圆C1相切时，|PQ|的最大值为11（多选）11．（2025•白银三模）已知圆M：（x﹣1）2+（y+2）2＝4与圆N：（x+m）2+（y﹣1）2＝m2相切，则m的取值可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4（多选）12．（2024秋•梅州期末）圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+（A．1 B．2 C．3 D．4三．填空题（共4小题）13．（2025春•商丘期末）已知圆C的圆心在直线x+y＝4上，且圆C经过点（﹣2，0），（0，6），则圆C的标准方程是．14．（2025春•闵行区校级期末）设实数a＞0，圆C：x2+y2﹣4x+ay＝0的面积为8π，则a＝．15．（2025•河南模拟）若圆C：x2+y2+2x+m＝0上恰有三个不同的点到直线l：x+3y+2=0的距离为1，则m＝16．（2025•武功县校级模拟）过点A（﹣2，﹣1）向圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4作切线，切点为B，则|AB|＝．四．解答题（共4小题）17．（2025•龙凤区校级模拟）如图，由部分抛物线y2＝mx+1（m＞0，x≥0）和半圆x2+y2＝r2（x≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3，2）和（−1（1）求“黄金抛物线C”的方程；（2）设P（0，1）和Q（0，﹣1），过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．18．（2024秋•杭州校级期末）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝25，点P（1，4），且直线l经过点P．（1）若l与C相切，求l的方程；（2）若l的倾斜角为π4，求l被圆C19．（2024秋•河南期末）已知圆E经过点P（﹣2，4），且与圆C1：x（1）求圆心C1的坐标；（2）求圆E的标准方程；（3）过点A的直线l与圆C1和圆E分别交于x轴上方的B，C两点，若|BC|=32，求直线l20．（2025•广安区校级开学）已知圆C1：x2+(y+5)2=5（1）求直线l的方程；（2）设圆C2与圆C1关于直线l对称，求出圆C2的方程．

高考数学一轮复习圆与方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025•贵州三模）“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】二元二次方程表示圆的条件；充分条件必要条件的推断．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】依据已知条件，结合圆方程的性质，即可求解．【解答】解：关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆，则(x+a2)2+(y+1故“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆”是“a＞2”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．2．（2025春•周口期中）已知圆心在x轴上的圆过点(−1，3)且与A．（x+1）2+y2＝4 B．x2+（y﹣2）2＝4 C．（x+2）2+y2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4【考点】依据圆的几何属性求圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】设圆心坐标（a，0），得到（x﹣a）2+y2＝a2，再由点(−1，3【解答】解：依据题意，要求圆的圆心在x轴上，且与y轴相切，设圆心坐标为（a，0），则该圆的半径为|a|，故要求圆的标准方程为（x﹣a）2+y2＝a2，又由圆过点(−1，3)，则有（﹣1﹣a）2+3＝a2，解得：所以圆的标准方程为（x+2）2+y2＝4．故选：C．【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆与坐标轴相切的性质，属于基础题．3．（2025•项城市三模）过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（）A．2 B．23 C．13 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】依据已知条件，结合勾股定理，即可求解．【解答】解：圆O：x2+y2＝1，则圆心为O（0，0），半径r＝1，|MP|=|OP故选：B．【点评】本题主要考查过圆外一点的圆的切线方程，属于基础题．4．（2025•廊坊校级模拟）已知O为坐标原点，圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则|OE|＝（）A．2 B．3 C．13 D．5【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】利用两点间距离公式即可．【解答】解：圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则E（2，3），故|OE|=(0−2故选：C．【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．5．（2025•北京校级模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，则直线l与圆C的公共点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．与m有关，不能确定【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；依据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】依据直线方程确定定点，再推断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数．【解答】解：依据题意，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，即y＝m（x﹣2），恒过定点A（2，0），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，有（2﹣1）2+（0﹣2）2＝5＜25，所以点A在圆C内，故直线l恒与圆C相交，故有两个交点．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．6．（2025春•静安区期末）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0 B．x2C．x2+y2+x﹣2y+1＝0 D．x【考点】依据圆的几何属性求圆的一般式方程．【专题】直线与圆．【答案】D【分析】所求圆圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=12，即圆心（所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+1故选：D．【点评】本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．7．（2024秋•北京校级期末）以点C（﹣1，﹣5）为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+5）2＝9 B．（x+1）2+（y+5）2＝16 C．（x﹣1）2+（y﹣5）2＝9 D．（x+1）2+（y+5）2＝25【考点】依据圆的几何属性求圆的标准方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】由已知可得圆心坐标与半径，再由圆的标准方程得答案．【解答】解：由题意，圆心坐标为点C（﹣1，﹣5），半径为5，则圆的方程为（x+1）2+（y+5）2＝25．故选：D．【点评】本题考查圆的标准方程，是基础题．8．（2024秋•自贡校级期末）直线l：y＝x与圆M：x2+（y﹣1）2＝4交于A，B两点，则|AB|＝（）A．2 B．7 C．27 D．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】依据题意，分析圆的圆心和半径，结合直线与圆的位置关系，计算可得答案．【解答】解：依据题意，圆M：x2+（y﹣1）2＝4，其圆心为（0，1），半径r＝2，圆心M到直线l的距离d=|0−1|故|AB|＝2×4−故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•南宁模拟）已知点P（4m+3，﹣3m﹣4），点Q在圆C：（x﹣1）2+y2＝1上，则（）A．点P在直线3x+4y+7＝0上 B．点P可能在圆C上 C．|PQ|的最小值为1 D．圆C上有2个点到点P的距离为1【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】AC【分析】依据已知条件，先求出点P的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】解：点P（4m+3，﹣3m﹣4），3（4m+3）+4（﹣3m﹣4）+7＝0，故P（4m+3，﹣3m﹣4）在直线3x+4y+7＝0上，故A正确；圆心到直线3x+4y+7＝0距离d=|3+7|3故直线3x+4y+7＝0与圆相离，结合A选项可知，点P不行能在圆C上，故B错误；结合B选项可知，|PQ|min＝d﹣r＝2﹣1＝1，故C正确；d＝r+1，则圆C上只有1个点到点P的距离为1，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．（多选）10．（2025•山海关区校级模拟）点P在圆C1：x2+A．圆C1与圆C2相交 B．|PQ|的最大值为10 C．两圆的公共弦长为311D．当直线PQ与圆C1相切时，|PQ|的最大值为11【考点】直线与圆的位置关系；依据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ACD【分析】依据两圆的方程分别求出两圆的圆心和半径，再结合图象分析各个选项的正误．【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于A，圆C1：x2+y2圆C2：x2+y2−6x+8y+24=0上，即（x﹣3）2+（y+4）由于两圆圆心距|C1C2|=(3−0)2+(−4−0)2=5，且|r1﹣r2所以圆C1与圆C2相交，故A正确．对于B，如图所示，当线段PQ同时经过两圆圆心且分别在圆心两侧时，|PQ|取得最大值，且|PQ|max＝|C1C2|+r1+r2＝5+5+1＝11，故B错误．对于C，如图所示，圆C1：x将两圆方程作差，则有6x﹣8y﹣49＝0，即两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣49＝0，又圆心C1到直线6x﹣8y﹣49＝0的距离d=|−49|所以两圆的公共弦长为2r12对于D，如图所示，当直线PQ与圆C1相切时，点Q在圆C1外，由于|PQ|2=|C1Q|由于|C1C2|＝5，所以点C2在圆C1上，所以|C1Q|的最大值为r1+r2＝6，所以|PQ|的最大值为62−5故选：ACD．【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程和标准方程，属于基础题．（多选）11．（2025•白银三模）已知圆M：（x﹣1）2+（y+2）2＝4与圆N：（x+m）2+（y﹣1）2＝m2相切，则m的取值可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4【考点】圆方程的综合应用；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】BC【分析】依据两圆相外切和相内切两种状况，列式求解．【解答】解：依据题意，圆M：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，圆心M为（1，﹣1），半径R＝2，圆N：（x+m）2+（y﹣1）2＝m2相切，圆心N（﹣m，1），半径r＝|m|，分2种状况争辩：若这两个圆外切，则|MN|=(1+m两边平方后，解得m＝﹣1或3；若这两个圆内切，则|MN|=(1+m综合可得：m＝﹣1或3．故选：BC．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．（多选）12．（2024秋•梅州期末）圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+（A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】BD【分析】依据已知条件，结合两圆的位置关系，分类争辩，即可求解．【解答】解：圆C1：x2+y2=1与圆C2：x圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆心C2（0，a），半径r2＝3，圆C1：x2+y2=1与圆C2：x当两圆外切时，|C1C2|＝|a|＝r1+r2＝4，解得a＝±4，当两圆内切时，|C1C2|＝|a|＝r3﹣r1＝2，解得a＝±2．故选：BD．【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•商丘期末）已知圆C的圆心在直线x+y＝4上，且圆C经过点（﹣2，0），（0，6），则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20．【分析】设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，依据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可．【解答】解：依据题意，设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心在直线x+y＝4上，且经过点（﹣2，0），（0，6），则(−2−a)2+(0−b)故圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20．【点评】本题考查圆的标准方程，留意圆的标准方程的形式，属于基础题．14．（2025春•闵行区校级期末）设实数a＞0，圆C：x2+y2﹣4x+ay＝0的面积为8π，则a＝4．【考点】圆的一般式方程与标准方程的互化．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】4．【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值．【解答】解：由题可得圆C的方程即为：(x−2)2故π(4+a24故答案为：4．【点评】本题主要考查圆的方程，属于基础题．15．（2025•河南模拟）若圆C：x2+y2+2x+m＝0上恰有三个不同的点到直线l：x+3y+2=0的距离为1，则m＝−【考点】圆上的点到直线的距离及其最值．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】−5【分析】依据题意，分析圆C的圆心和半径，结合直线与圆的位置关系可得圆的半径，进而计算可得答案．【解答】解：依据题意，圆C：x2+y2+2x+m＝0，即（x+1）2+y2＝1﹣m，必有m＜1，其圆心为（﹣1，0），半径为1−m，则圆心C到直线l的距离d=|−1+2|若圆C：x2+y2+2x+m＝0上恰有三个不同的点到直线l：x+3则圆的半径r=1−m=1+12故答案为：−5【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．16．（2025•武功县校级模拟）过点A（﹣2，﹣1）向圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4作切线，切点为B，则|AB|＝14．【考点】过圆外一点的圆的切线方程．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】14．【分析】由圆的方程，可得圆心C的坐标及半径，求出|AC|的值，由勾股定理可得|AB|的值．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4可得圆心C（1，2），半径r＝2，点A（﹣2，﹣1），则|AC|=(−2−1)2所以切线长|AB|=|AC故答案为：14．【点评】本题考查切线长的求法，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025•龙凤区校级模拟）如图，由部分抛物线y2＝mx+1（m＞0，x≥0）和半圆x2+y2＝r2（x≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3，2）和（−1（1）求“黄金抛物线C”的方程；（2）设P（0，1）和Q（0，﹣1），过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1））（3，2）代入抛物线y2＝mx+1，可得4＝3m+1，m＝1，（−12，32）代入x2+y2＝r2（2）假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，则kAQ＝﹣kBQ，求出A，B的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）（3，2）代入抛物线y2＝mx+1，可得4＝3m+1，∴m＝1，（−12，32）代入x2+y2＝∴“黄金抛物线C”的方程为抛物线y2＝x+1（x≥0）和半圆x2+y2＝1（x≤0）；（2）假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，则kAQ＝﹣kBQ，设直线AB的方程为y＝kx+1，与x2+y2＝1联立，可得A（−2k1+ky＝kx+1，与y2＝x+1联立，可得B（1−2kk2，∴1−k∴k＝﹣1±2，∵xB＞0，∴1−2kk∴k＝﹣1+2∴直线AB的方程为y＝（﹣1+2）x【点评】本题考查抛物线与圆的方程，考查直线与曲线的位置关系，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．18．（2024秋•杭州校级期末）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝25，点P（1，4），且直线l经过点P．（1）若l与C相切，求l的方程；（2）若l的倾斜角为π4，求l被圆C【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；依据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆．【答案】（1）3x﹣4y+13＝0；（2）2．【分析】（1）依据题意，分析可得P在圆C上，由圆切线的性质分析可得答案；（2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长．【解答】解：（1）依据题意，圆C：（x﹣4）2+y2＝25，点P（1，4），有（1﹣4）2+42＝25，点P在圆C上，kPC=4−0故切线的斜率k=3此时直线l的方程为34x−y+134=0故直线l的方程为3x﹣4y+13＝0；（2）依据题意，若l的倾斜角为π4，则其斜率k=tan则其方程为y﹣4＝x﹣1，即x﹣y+3＝0，圆心C到直线l的距离d=|4−0+3|故直线l被圆C截得的弦长为25【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．19．（2024秋•河南期末）已知圆E经过点P（﹣2，4），且与圆C1：x（1）求圆心C1的坐标；（2）求圆E的标准方程；（3）过点A的直线l与圆C1和圆E分别交于x轴上方的B，C两点，若|BC|=32，求直线l【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；依据圆的几何属性求圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）C1（1，0）；（2）（x+2）2+y2＝16；（3）x+y﹣2＝0．【分析】（1）由配方得到标准方程即可；（2）由两圆位置关