不等式-吃透难点 高考数学高考复习专题

不等式

[例题分析:]

1.己知函数/(x)=|x-l|+|2x-m\,meR.

(1)当机=3时，解不等式/(%)W2；

(2)若存在工。满足1%-1|+/(%0)<3,求实数771的取值范围.

【分析】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于中档题.

(1)当m=3时，/(%)=|x-l|+|2x-3|,分三段分别求解；

(2)若存在见满足-1|+/(x0)<3等价于|2x-2|+\2x-m\<3有解，由于|2x-2|+|2x-m|>

|2x—2—2%+m|=\m-2\,即|m—2|v3,求解即可.

2.已知函数/(%)=|x-1|4-|x+1|.

(1)求不等式/(x)<3的解集；

(2)若二次函数y=-x2-2x+zn与函数y=/(无)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.

【分析】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数图象的应用，二次函数及含绝对值函数的最值的应用,

属于中档题.

(1)讨论》的范围，从而去掉绝对值符号，由不等式可求出每种情况》的范围，可得不等式的解集；

(2)由二次函数丫=一/一2%+巾在％=-1取得最大值1+小，/(%)在％=-1处取得最小值2,根据题意

7"+1》2,由此求得m的范围.

[提高训练:]

3.已知函数/'(x)=|2x-1|+|x+1|.

(1)求函数f(x)的值域M；

(2)若aeM,试比较|a—1|+|a+1|,2a的大小.

4.已知函数|/(无)=2\x\+\x-21的最小值为m.

(1)求m的值；

(2)若实数a,b满足a?+=m,求/芯+3正的最小值•

5.已知a,b,c,d均为正实数.

(【)求证：(小+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2；

(H)若a+b=l,求证：言+《丹.

6.已知函数f(%)=设一a|+；(aH0).

4a

(1)若不等式/Q)-/a+m)<1恒成立，求实数m的最大值；

(2)当Q<g时，函数g(x)=/(无)+|2%一1|有零点，求实数a的取值范围.

7.知函数/(x)=|2x+1|+|3x-4|.

(I)求不等式f(%)>2x+2的解集;

(II)若f(x)>1|在R上恒成立,求实数k的取值范围.

8.已知函数/(%)=\x+3\-\x-1|.

(I)解关于％的不等式/(%)>%+1;

(II)若函数f(x)的最大值为M,设a>0,b>0,且(a+l)(b+l)=M，求Q+b的最小值.

9.已知函数f(%)=|x-1|+|x+2|.

(I)求不等式/口)<5的解集；

(11)若不等式/0)>X2-ax4-1的解集包含[一1,1],求实数a的取值范围.

10.已知函数/(X)=\x+2\.

(1)求不等式/。)十/■。-2)〈人+4的解集：

(2)若VxeR,使得/(X+a)+/(r)>/(2a)恒成立，求a的取值范围.

—3x,x<—1

3.【答案】解：(1)/(%)=《2-K-1

\3xfx>^

根据函数/(%)的单调性可知，

当4时,fMmin=/(I)=|,

所以函数f(x)的值域M=碎,+8);

(2)因为aWM,所以a2所以0V1W1,|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2aN3,

所以|a-1|4-\a+1|>

因为3_(；2a)=生产=心当空2

2a,272a2a

又由QN|,知Q-l>0,4a-3>0,

所以(a-l；(4a-3)>o,

2a

所以我>1—2a,

LaL

Q7

所以|a-l|+|a+l|>^>^-2a.

4.【答案】解：⑴由题意/卜卜国+,.卜-斗之㈤.卜-卜”卜㈤.？”,

当且仅当x=O时等号成立，

故m=2；

(2)由题意02+/=2,

由柯西不等式得〃♦2浦"(1讨了=4,

当且仅当=3,/='时，零号成立,

22

I]44的最小值为士.

5

5.【答案】证明：(I)(a2+b2Xc2+d2)

=(a2c2+a2d2+匕2c2+62d2)

>(a2c2+2abcd+b2d2)=(ac+bd)2,

当且仅当ad=be时等号成立.

2J,2

(】【)(备a+名)(l+a+l+>)

21+621+Q1212

=c+TTbb+b

>a2+2ab+b2=(a+b)2=1,

当且仅当Q=b时等号成立.

而(l+a)+(l+b)=3,

所以纪-+宜_>1

'以1+。+1+8-3.

6.(答案］解：(1),•*/(x)=\x-a\+工414，：.f(x+TH)=优+m—a|+4u

•••f(x)-f(x+m)=\x-a\-\x-\-m—a\<|m|,

•••|m|Wl,.IWrnWl,.•.实数m的最大值为1；

—3x+ct+—+1,x<a

-x-a+^+1,a<x<|,

3x—(Z+y--1,X〉:

(Za2

、/、1.1-2a2+a+l八

•••g(fx)min=g(5)=5-a+五=一五一工0，

1

0<a<-或fa<0

「2a2+a+1工()T-2a2+a+1>

-T<tz<0»

乙

.•.实数Q的取值范围是［一］。）.

7.【答案】解：（I）依题意，|2x+l|+|3x-4|>2x+2,

若原式化为-2x-1-3X+4>2x+2,解得不<

故XV-；：

若原式化为2x+1-3x+4>2x+2,解得xV1,

故V1;

x>原式化为2x+1+3x—4>2x+2,解得%>,，

若JJ

故X>.

综上所述，不等式/（x）>2x+2的解集为（-工.1）U（：；,♦工）；

*>

(0)依题意，|2%+1|+|3%-4|之女以一1|,显然kW0时该不等式恒成立;

当A>0时，在同一直角坐标系中分别作出y=/(%),y=k|x-l|的图象，

如图所示：

观察可知，临界状态为曲线y=k\x-1|过点Mg3

此时々=丹，故0VkW

综上所述，实数k的取值范围为

—4,x<—3

8.【答案】解：(I)/(x)=|x+3|-|x-l|=2x+2,-3<x<1.

A,x>1

/(x)>x4-1,二当％<—3时，-42x+1,二工工一5,因此％4—5：

当一3WXW1时，2x+2Zx+1,二xZ-1,因此一1WXW1；

当时，4>x+l,x<3,因此1<XW3,

•••不等式的解集为(-8,-5]U[-1,3]；

(II)由(I)知函数/'(X)max=M=4,

••(a+1)(D+1)=M=4,aba+b=3.

又a>0,b>0,3—(a+b)=ab<

(a+b)?+4(a+b)—12>0,

Aa+b>2或Q+b<一6(舍)，当且仅当a=b=1时取等号,

.•・a+b的最小值为2.

9.【答案】解：(I)不等式/(%)W5可化为f"京一2，或f

l—LX—135loS□

X>1

2x+1<5

解得一34工工一2,或一2Vx<1,或14%42

所以/(%)W5的解集为[-3,2]；

(II)由题可知，即当工€[—1,1]时，不等式|%-1|+氏+2|2/一。%+1恒成立

即1一%+%+22％2-QX+1,即工£[-1,1]时，/一a%一2w0恒成立

令山)77-2,所叫需设,即｛:;二江；，

所以实数Q的取值范围为ae[-1,1].

10.【答案】解：(1)不等式，(%)+(。-2)〈「+4可化为优+2|+氏］</+4,

当为V-2时，—2%-2VX+4,x>-2,所以无解：

当一2VXW0时，2〈无+4所以-2<%工0；