2026步步高高考大二轮复习数学-思维提升　培优点6　阿基米德三角形与蒙日圆

培优点6阿基米德三角形与蒙日圆[考情分析]在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.考点一阿基米德三角形过圆锥曲线上任意两点A，B分别作两条切线相交于点P，则称△PAB为阿基米德三角形.其中∠P为顶角，AB为底边，当AB过圆锥曲线的焦点时，△PAB叫作焦点阿基米德三角形.图中的△PAB分别为椭圆、双曲线、抛物线的阿基米德三角形.例1(1)过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为.

答案x0x=p(y+y0)解析y=x22p，y'=xp，由导数的几何意义得所求切线的斜率∴所求的切线方程为y-y0=x0p(x-x0即x0x=x02+py-py0，又x02∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).(2)(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是()A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p答案ABC解析对于A，由蒙日圆的定义知A正确；对于B，过A的切线方程为y1y=p(x+x1)，过B的切线方程为y2y=p(x+x2)，联立方程y解得两切线交点Qy1又Mx1∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；对于C，设Q(x0，y0)，则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，又直线AB经过焦点Fp2∴0=pp2+x0，∴x0=-对于D，若底边AB过焦点，则Q点的轨迹方程是x=-p2，此时y1y2=-p2，易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，∴|QM|=x1+x22+p2=y12+由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，∴S△QAB=12|QM||y1-y2|≥|QM|·|y1y2|≥p2，当且仅当∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.[规律方法]抛物线y2=2px(p>0)的阿基米德三角形的常见性质性质1阿基米德三角形底边上的中线MQ平行(或重合)于抛物线的对称轴.性质2底边长为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3性质3抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.性质4如果阿基米德三角形的底边AB过抛物线内定点C(xc，yc)，那么顶点Q的轨迹方程为ycy=p(x+xc).推论如果阿基米德三角形的底边AB过焦点，那么点Q的轨迹为抛物线的准线，且QA⊥QB.性质5阿基米德三角形底边上的中线QM的中点P在抛物线上，且点P处的切线与底边AB平行.性质6在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.性质7在阿基米德三角形中，|AF|·|BF|=|QF|2.跟踪演练1若直线l与抛物线y2=2px(p>0)没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点，若直线l方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为.

答案c解析由题意知a≠0，任取直线l：ax+by+c=0上的一点Q(x0，y0)，则ax0+by0+c=0，当b≠0时，y0=-abx0-cb，过点Q作抛物线y2=2px的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为y0y=p(x0+x)，把①式代入可得-abx0-cby=p即-aby-px0=令-aby-p=0且px+cby可得弦AB所在的直线过定点ca当b=0时，x0=-ca，则弦AB所在的直线方程为y0y=p-将ca，-bp综上，定点的坐标为ca考点二蒙日圆椭圆的蒙日圆的定义：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a例2(1)已知椭圆M的方程为x24+y2=1，过平面内椭圆M外的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为(A.x2+y2=5 B.x2+y2=4C.x2+y2=3 D.x2+y2=5答案A解析设点P(x0，y0)，当切线斜率存在且不为0时，x0≠±2，y0≠±1，设切线方程为y-y0=k(x-x0)，联立x消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，则Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0，两切线垂直，故其斜率之积为-1，则由根与系数的关系知1-y02当切线斜率不存在或为0时，此时点P坐标为(2，1)，(-2，1)，(-2，-1)，(2，-1)，满足方程x02+y02=5，故所求轨迹方程为x2+(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e=12，P为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是(A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PBB.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，则kOP·kAB=-4C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为9D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为3答案ACD解析由题意知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为故a=2，ca=12，所以c=1，b2=a2-c2=3，则椭圆方程为x24+y23=1，“蒙日圆”的方程为x对于A，由蒙日圆的定义知PA⊥PB，A正确；对于B，设A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA的方程为x2x4+PB的方程为x3x4+两切线过点P(x1，y1)，故x2x14x3x14即点A，B在直线xx14+故直线AB的方程为xx14+yy13=1而kOP=y1x1，故kOP·kAB=-3对于C，由于直线AB的方程为xx14+yy13=1得(3x12+4y12)x2-24x1xΔ=(24x1)2-4(3x12+4y12=64y12(3x12+4y则x2+x3=24x13x12+4y故|AB|=1+kAB=1+9x=29又点P到直线AB的距离d1=|3故S△APB=12|AB|d=9x1=(3x又x12+y12=7，故令t=3x12+4y12-12=y12+9，t令f(t)=1t+12t3，显然f(t)在[3，故y=11t+12t3在则(S△APB)min=1f(3)=(S△APB)max=1f(4)=即S△APB的取值范围为97，16对于D，由C的分析可知|AB|=29而点O到直线AB的距离d2=|-12故S△AOB=12|AB|d=9x1=123又x12+y故令t=3x12+4y12-12=y1则S△AOB=12tt2而t+12t≥212=43，当且仅当t=12即t=23∈[3，4]时，等号成立，故S△AOB=12t+12t≤即S△AOB的最大值为3，D正确.[规律方法](1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线，交椭圆于点A性质1PA⊥PB.性质2kOP·kAB=-b2性质3kOA·kPA=-b2a2，kOB·kPB=-b2性质4PO平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB分别交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.性质6S△AOB的最大值为ab2，S△AOB的最小值为a性质7S△APB的最大值为a4a2+b2，(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当(3)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-p2(可以看作半径无穷大的圆)跟踪演练2(多选)已知椭圆C：x25+y24=1，OA.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9B.过直线l：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为-4C.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MND.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，且O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2=20答案ACD解析对于A，椭圆C：x25+y24=1的蒙日圆方程为x2+y2对于B，依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则x解得P-95，125或P(直线OP的斜率为-43或0，B对于C，设P点坐标为(x0，y0)，直线OP斜率kOP=y0由切点弦公式得到MN的方程为x0xa2+y0yb2=1，kMN=-b由点差法可知，PO平分MN，C正确；对于D，设P(a2+b2cosθ，a2则直线MN的方程为xb2a2+b2ya2a2+b2sinθ-a2则原点O到直线MN的距离d1=a2则点P到直线MN的距离d2=|=a=a4故d1d2=a2b2a2+专题强化练[分值：30分]1.(13分)如图，过圆M：x2+(y+4)2=1上一点P作抛物线C：x2=4y的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求△PAB面积的最大值.解设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA的方程为y-y1=x12(x-x1切线PB的方程为y-y2=x22(x-x2将点P(x0，y0)分别代入直线方程中，可得x所以直线AB的方程为x0x-2(y+y0)=0.联立x可得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4x02-16y0则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，所以|AB|=1+kAB=(4+x设点P到直线AB的距离为d，则d=|x所以S△PAB=12|AB|·d=(由于点P在圆M上，则x02=-y02-8代入上式得S△PAB=(-y02-12y0-15)322，y0∈[-5，-3]，所以当y2.(17分)如图，已知椭圆C：x24+y23=1，圆E：x2+y2=7，过圆E上的任一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与圆E交于点D，O为坐标原点.若直线OM，OD的斜率存在，且分别为k1，k2，证明：k1·证明当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y=kx+m(k≠0).由y消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，