2026步步高高考大二轮复习数学-14小题＋1大题(导数)-节选自长沙市模拟

14小题＋1大题(导数)——节选自长沙市模拟一、单选题(每小题5分，共40分)1.已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则()A.M＝N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N＝∅答案C解析因为M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1|＝{x|－1<x<1}，所以N⊆M，故选C.2.复数z＝eq\f(i,2－i)在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析z＝eq\f(i,2－i)＝eq\f(i（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(－1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以复数z对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5)))，位于第二象限，故选B.3.若抛物线y2＝ax的焦点坐标为(1，0)，则实数a的值为()A.－2 B.2C.－4 D.4答案D解析因为抛物线y2＝ax的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，所以eq\f(a,4)＝1，所以a＝4，故选D.4.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是()A.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))) B.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))C.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) D.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))答案C解析由各选项可知，A>0，ω>0.由图可知A＝2，eq\f(3,4)T＝eq\f(π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝eq\f(3π,4)，所以T＝π，则eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ).因为函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝2，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，即eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，故选C.5.已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是()A.eq\f(3,8) B.eq\f(9,20)C.eq\f(5,8) D.eq\f(13,20)答案D解析设A＝“在甲盒中拿到红球”，B＝“在乙盒中拿到红球”.因为甲盒中有3个红球，2个黄球，所以P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，又乙盒中有2个红球，1个黄球，所以P(B|A)＝eq\f(3,4)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(2,4)，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(13,20)，故选D.6.若tan2α＋4taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝0，则sin2α＝()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(4,5)答案A解析因为tan2α＋4taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝0，所以eq\f(2tanα,1－tan2α)＋4·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝0，化简得2tan2α＋5tanα＋2＝0，解得tanα＝－2或tanα＝－eq\f(1,2).当tanα＝－2时，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(4,5)；当tanα＝－eq\f(1,2)时，sin2α＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(4,5).故选A.7.已知直线y＝a与函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y＝f(x)在点A处切线的斜率，k2为曲线y＝g(x)在点B处切线的斜率，则k1k2的最大值为()A.eq\f(1,e) B.1C.e D.ee答案A解析若直线y＝a与函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx的图象分别相交于A，B两点，则a>0.设A(x1，a)，B(x2，a)，则ex1＝a，lnx2＝a，所以x1＝lna，x2＝ea.因为f′(x)＝ex，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以k1＝ex1＝a，k2＝eq\f(1,x2)＝eq\f(1,ea).令h(a)＝k1k2＝eq\f(a,ea)，a>0，则h′(a)＝eq\f(1－a,ea).令h′(a)＝0，则a＝1.当0<a<1时，h′(a)>0；当a>1时，h′(a)<0.所以h(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当a＝1时，h(a)取最大值，且最大值为eq\f(1,e)，即k1k2的最大值为eq\f(1,e)，故选A.8.在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点.若AB＝2，CD＝3，且eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，则|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝()A.eq\f(\r(17),2) B.eq\f(\r(21),2)C.eq\f(\r(42),2) D.eq\r(5)答案B解析如图，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))，②①＋②，得eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))，因为E为AD的中点，F为BC的中点，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→)).因为eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，所以将eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))变形为eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，两边平方得eq\o(DC,\s\up6(→))2＝4eq\o(EF,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－4eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，③又AB＝2，CD＝3，所以③式转化为9＝4eq\o(EF,\s\up6(→))2＋4－4×4，则eq\o(EF,\s\up6(→))2＝eq\f(21,4)，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21),2)，故选B.二、多选题(每小题6分，共18分)9.下列函数中是奇函数的是()A.y＝ex－e－x B.y＝x3－x2C.y＝tan2x D.y＝log2eq\f(1＋x,1－x)答案ACD解析对于A，令f(x)＝ex－e－x，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x是奇函数，所以A正确；对于B，令g(x)＝x3－x2，则g(1)＝0，g(－1)＝－2，g(－1)≠－g(1)，所以函数y＝x3－x2不是奇函数，所以B错误；对于C，令h(x)＝tan2x，则h(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))，h(x)的定义域关于原点对称，又h(－x)＝tan(－2x)＝－tan2x＝－h(x)，所以函数y＝tan2x是奇函数，所以C正确；对于D，令m(x)＝log2eq\f(1＋x,1－x)，则m(x)的定义域为(－1，1)，又m(－x)＝log2eq\f(1－x,1＋x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))eq\s\up12(－1)＝－log2eq\f(1＋x,1－x)＝－m(x)，所以函数y＝log2eq\f(1＋x,1－x)是奇函数，所以D正确.10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则()A.轨道的焦距为d2＋d1 B.轨道的离心率为eq\f(d2－d1,d2＋d1)C.轨道的短轴长为2eq\r(d1d2) D.当eq\f(d1,d2)越大时，轨道越扁答案BC解析设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝eq\f(d1＋d2,2)，c＝eq\f(d2－d1,2)，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝eq\r(d1d2)，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(d2－d1,d2＋d1)，短轴长为2b＝2eq\r(d1d2)，所以A错误，B正确，C正确；因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(d2－d1,d2＋d1)＝eq\f(1－\f(d1,d2),1＋\f(d1,d2))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(d1,d2)))＋2,1＋\f(d1,d2))＝－1＋eq\f(2,1＋\f(d1,d2))，所以当eq\f(d1,d2)越大时，椭圆的离心率e越小，即椭圆越圆，所以D错误.11.设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，下列说法正确的是()A.若T8＝T12，则a10a11＝1B.若T8＝T12，则T20＝1C.若a1＝1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(10,9))<q<eq\f(1,2)D.若a1>0，且T10>T11>T9，则使得Tn>1成立的n的最大值为20答案BCD解析对于A，B，因为T8＝T12，所以a9a10a11a12＝1，又a9a12＝a10a11，所以a9a10a11a12＝(a10a11)2＝1，所以a10a11＝±1，所以A错误；T20＝a1a2a3·…·a18a19a20＝(a1a20)10＝(a10a11)10＝1，所以B正确；对于C，a1＝1024，若公比q<0，则数列{an}的奇数项为正，偶数项为负，所以T9>0，T10<0，与T10为数列{Tn}的唯一最大项矛盾，所以q>0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a11<1，,q>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q9>1，,a1q10<1，,q>0，))解得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(10,9))<q<eq\f(1,2)，所以C正确；对于D，a1>0，且T10>T11>T9，若公比q<0，则数列{an}的奇数项为正，偶数项为负，所以T10<0，T11<0，T9>0，与T10>T11>T9矛盾，所以q>0.由T10>T11>T9得，a10>a10a11>1，a11<1，则0<q<1.由a10a11>1，得T20＝(a1a20)10＝(a10a11)10>1，由a11<1，得T21＝(a1a21)eq\f(21,2)＝(aeq\o\al(2,11))eq\f(21,2)＝aeq\o\al(21,11)<1，由0<q<1得，数列{an}是递减数列，所以当n≤20时，Tn>1；当n≥21时，Tn<1，所以D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知随机变量X的分布列如下：X123P0.10.70.2则数学期望E(X)＝________.答案2.1解析E(X)＝1×0.1＋2×0.7＋3×0.2＝0.1＋1.4＋0.6＝2.1.13.已知A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则实数r的取值范围是________.答案[2eq\r(2)－1，2eq\r(2)＋1]解析设P(x，y)，由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，得(x－4)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋(y－2)2＋x2＋(y－3)2＝13，得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，所以点P的轨迹是以(2，2)为圆心，1为半径的圆，记该圆为圆E，E(2，2).记圆x2＋y2＝r2(r>0)为圆O，O(0，0)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则圆E和圆O有公共点.连接OE，则|OE|－1≤r≤|OE|＋1，解得2eq\r(2)－1≤r≤2eq\r(2)＋1.14.已知正四棱锥P－ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为________.答案eq\f(27,16)π解析设正四棱锥P－ABCD底面的边长为a，高为h，所以正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)a2h＝1，则a2h＝3.如图，连接AC，记AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥底面ABCD，正四棱锥P－ABCD外接球的球心O在直线PO1上.连接OA，设外接球的半径为R，则OA＝OP＝R，又O1A＝eq\f(\r(2)a,2)，OO1＝|h－R|，所以OA2＝O1A2＋O1O2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))eq\s\up12(2)＋|h－R|2，得2hR＝h2＋eq\f(1,2)a2，因为a2h＝3，所以R＝eq\f(h,2)＋eq\f(3,4h2).令f(h)＝eq\f(h,2)＋eq\f(3,4h2)，h>0，则f′(h)＝eq\f(h3－3,2h3)，由f′(h)＝0，得h＝eq\r(3,3)，当0<h<eq\r(3,3)时，f′(h)<0，当h>eq\r(3,3)时，f′(h)>0，所以函数f(h)在(0，eq\r(3,3))上单调递减，在(eq\r(3,3)，＋∞)上单调递增，所以当h＝eq\r(3,3)时，半径R取得最小值，且最小值为eq\f(3,4)eq\r(3,3)，所以外接球体积的最小值为eq\f(4,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\r(3,3)))eq\s\up12(3)π＝eq\f(27,16)π.四、解答题(本题共13分；考查方向：导数)15.已知函数f(x)＝ax2－(lnx)2(a∈R).(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性.(2)若f(x)有两个极值点x1，x2.①求实数a的取值范围；②求证：x1x2>e.(1)解由a＝1，得f(x)＝x2－(lnx)2，所以f′(x)＝2x－eq\f(2lnx,x).设g(x)＝2x－eq\f(2lnx,x)，则g′(x)＝eq\f(2（x2＋lnx－1）,x2)，令h(x)＝x2＋lnx－1，易得h(x)为(0，＋∞)上的增函数，且h(1)＝0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2，即f′(x)min＝2>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.(2)①解f′(x)＝2ax－eq\f(2lnx,x)，由f′(x)＝0得a＝eq\f(lnx,x2).设p(x)＝eq\f(lnx,x2)，由题意知直线y＝a与函数p(x)＝eq\f(lnx,x2)的图象有两个不同的交点