2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题二　第3讲　数列的综合应用

第3讲数列的综合应用1.(2023·全国乙卷理，T10)已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S={cosan|n∈N*}，若S={a，b}，则ab等于()A.-1 B.-12 C.0 D.2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm，325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为mm，升量器的高为mm.(不计量器的厚度)

3.(2025·全国Ⅰ卷，T16)已知数列{an}中，a1=3，an+1n=a(1)证明：数列{nan}为等差数列；(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.考查方向：一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的递推关系.1.答案B解析方法一由题意得an=a1+2π3(n-1)cosan+3=cosa=cosa=cosa=cosa=cosan，所以数列{cosan}是以3为周期的周期数列，又cosa2=cosa=-12cosa1-32sinacosa3=cosa=-12cosa1+32sina因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠cosa3，cosa1=cosa3≠cosa2，cosa2=cosa3≠cosa1.下面逐一讨论：①当cosa1=cosa2≠cosa3时，有cosa1=-12cosa1-32sina得tana1=-3，所以ab=cosa1-=-12cos2a1+32sina1cos=-=-=-12-②当cosa1=cosa3≠cosa2时，有cosa1=-12cosa1+32sina得tana1=3，所以ab=cosa1-=-12cos2a1-32sina1cos=-=-=-12-③当cosa2=cosa3≠cosa1时，有-12cosa1-32sina1=-12cosa1+32sin得sina1=0，所以ab=cosa1-=-12cos2a1=-12(1-sin2a1)=-综上，ab=-12方法二取a1=-π3，则cosa1=1cosa2=cosa1+2πcosa3=cosa1+所以S=12，-1，ab2.答案2357.5解析设升、斗量器的高分别为h1mm，h2mm，升、斗、斛量器的容积分别为V1mm3，V2mm3，V3mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3=10V2，即π×32522×230=10×π×32522解得h2=23.又V2=10V1，即π×32522×23=10×π×6522所以h1=57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5mm，23mm.3.(1)证明在数列{an}中，a1=3，an+1n=ann+1+1∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1时，1×a1=3，∴数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1， ①又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm， ②①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-2[1-(-2)m-1]1-(-2)-(m+2)(-2)m=7故f'(-2)=79-m3+79考点一数列在实际问题中的应用例1(1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为()A.癸未年 B.辛丑年C.乙酉年 D.戊戌年答案C解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，100÷10=10余0，则2125年对应的天干为乙，100÷12=8余4，则2125年对应的地支为酉，所以2125年为乙酉年.(2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第一圈)，第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉比第n-1圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉()A.57株 B.56株C.55株 D.54株答案A解析设第n圈栽种花卉an株，则an-an-1=2(n-1)，2≤n≤8，n∈N*，又a1=1，a2=3，则a8-a7=14，a7-a6=12，a6-a5=10，…，a2-a1=2，所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1)+a1=14+12+10+…+2+1=(14+2)×7[规律方法]数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型：(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an+1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.跟踪演练1(2025·龙岩模拟)一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的45处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是(A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析设小球第一次落地时经过的路程为a1，第n-1次落地到第n次落地经过的路程为an(n≥2)，由题意，a1=1，数列{an}从第二项起构成以首项为a2=1×45×2=85，公比为则第n次着地后经过的路程为a1+a2+…+an=1+851-4即45n-1结合选项，当n=4时，453>当n=5时，454<所以n的最小值是5.考点二数列与其他知识的交汇考向1数列与不等式例2(2025·湖南省名校联考)已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=1，S2=12.若对任意正整数n，都有Sn-(-1)n·A>0，则实数A的取值范围是(A.-23，C.-12，答案B解析由a1=1，S2=a1+a2=12故a2=-12，所以公比q=-1故Sn=1--12由Sn-(-1)n·A>0可得231--12n-(当n为奇数时，则231+12n+A>0由于f(n)=-231+12n，n∈N*单调递增，且f(n)<-23当n为偶数时，则231-12n-A>0由于g(n)=231-12n，当n=2时，此时g(n)=231-12n取最小值12，故A<12，综上可得故实数A的取值范围是-2考向2数列与函数例3(2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，则f(2025)等于()A.-1 B.1 C.2025 D.4049答案D解析由xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，当x∈N*时，可得f(x+1)x+1=f(x)xf利用累加法可得f(2025)2025=f(2)2+代入f(2)=3可得f(2025)2025=32+12-12025=40492025⇒f(2考向3数列与几何例4(2025·大庆模拟)已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：anx+an+2y+an+5=0(n∈N*)与圆C：(x-1)2+(y+2)2=1交于A，B两点，则∠ACB的最小值为()A.2π3 B.π2 C.π3答案B解析由题意可知，圆C：(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为C(1，-2)，半径r=1，设等差数列{an}的公差为d，则直线anx+an+2y+an+5=0可化为anx+(an+2d)y+an+5d=0，即(x+y+1)an+(2y+5)d=0.令x+y可知直线l过定点D32如图，当CD⊥AB时，弦长|AB|最小，此时∠ACB最小.又因为|CD|=22则|AB|=2r2-|CD在△ACB中，可知|CA|2+|CB|2=|AB|2，则∠ACB=π2，故∠ACB的最小值为π考向4数列与概率统计例5将16处景观分别用A1，A2，…，A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中1≤i≤16，i∈N*，记a2n+1=m(1≤n≤7，n∈N*)，则nΣi=1a2i=(结果用m表示)答案8m-1解析由题意知，到达A2点共有1种走法，到达A3点共有1+1=2(种)走法(一种是经过A2点到达A3，一种是直接到达A3)，到达A4点共有1+2=3(种)走法(一种是经过A2，一种是经过A3，所以到达A4的走法是将到达A2，A3的走法加起来)，到达A5点共有2+3=5(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3，所以到达A5的走法是将到达A4，A3的走法加起来)，到达A6点共有3+5=8(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3和A5，所以到达A6的走法是将到达A4，A5的走法加起来)，故按图中所示方向到达A6有8种不同的打卡路线.由题意知，a1=1，a2=1，a3=a1+a2=2，a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，…，an+an+1=an+2(1≤n≤14且n∈N*)，因为an+an+1=an+2(1≤n≤14且n∈N*)，所以a1+a2=a3，a3+a4=a5，a5+a6=a7，…，a2n-1+a2n=a2n+1(1≤n≤7且n∈N*)，将上式累加可得a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2n-1+a2n=a3+a5+a7+…+a2n+1(1≤n≤7且n∈N*)，整理可得a1+a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1，又a1=1，a2n+1=m，所以a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-a1=m-1，即nΣi=1a2i=m[规律方法]数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.跟踪演练2(1)将被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则2Sn+48nA.20 B.25 C.612 D.答案B解析被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列{an}，则Sn=2n+n(n-1)2×3=32n∴2Sn+48n=3n≥23n×当且仅当3n=48n，即n=4时，等号成立，故所求最小值为25(2)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=x3+x，数列{an}是等差数列，且a1013<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)的值()A.大于0 B.小于0C.等于0 D.不能确定答案B解析函数y=x3，y=x均为奇函数且为增函数，则函数f(x)=x3+x为奇函数且为增函数，由数列{an}是等差数列，得a1+a2025=2a1013<0，即a1<-a2025，于是f(a1)<f(-a2025)=-f(a2025)，即f(a1)+f(a2025)<0，同理f(a2)+f(a2024)<0，f(a3)+f(a2023)<0，…，f(a1012)+f(a1014)<0，f(a1013)<0，因此f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)<0.(3)(2025·辽宁名校联盟模拟)如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，取正方形各边的四等分点A2，B2，C2，D2，得到第2个正方形A2B2C2D2，再取正方形A2B2C2D2各边的四等分点A3，B3，C3，D3，得到第3个正方形A3B3C3D3，依此方法一直进行下去，若从第k个正方形开始，它的面积小于第1个正方形面积的150，则正整数k的最小值为(参考数据：lg2≈0.3)(A.8 B.9 C.10 D.11答案C解析由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为342+所以其公比为104设第n个正方形的面积为an，则anan-1=1042=5当n=1时，a1=1，所以an=58由ak<150a1，得58k所以(k-1)lg58<lg1即k-1>-lg50lg5-lg8=-lg5-1lg5-3lg2=-(1-lg2)-11-lg2-3lg2=lg2-21-4lg2≈0.3-2所以k>9.5，所以正整数k的最小值为10.专题强化练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2025·上饶模拟)某统计数据共有13个样本xi(i=1，2，3，…，13)，它们依次成公差d=1的等差数列，若这组数据的60%分位数是26，则x13为()A.32 B.31 C.19 D.18答案B解析因为数列xn为公差d=1的等差数列，且13×0.6=7.8所以该组数据的60%分位数为x8，由x8=x1+7=26得x1=19.所以x13=x1+12d=19+12=31.2.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系中，若直线l：3x+4y+n=0与圆C：(x-2)2+y2=an2(an>0，n∈N*)相切，则数列{an}的前10项和为(A.232 B.272 C.23 D答案C解析由圆C：(x-2)2+y2=an2(an>0，n∈N*)，可得圆心为C(2，0)，半径为r=a可得圆心C(2，0)到直线l：3x+4y+n=0的距离为d=|6+n3因为直线l：3x+4y+n=0与圆C相切，则d=r，即an=6+n5，{an所以数列{an}的前10项和为S10=10(a1+a103.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为()A.44π B.64π C.70π D.80π答案D解析由题意每段圆弧的圆心角都是2π3，每段圆弧的半径依次增加1则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an=2π3·n所以S15=2π3×(1+2+3+…+15)=80π4.(2025·长春模拟)已知递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，a1+a2=6a3，若N≤Sn-1Sn≤M恒成立，则M-N的最小值为(A.43 B.32 C.2 D答案D解析由题可设等比数列{an}的公比为q，0<q<1，∵a1=2，a1+a2=6a3，∴2(1+q)=12q2，解得q=-13(舍去)或q=1∴an=2×12n-1Sn=21-12∴Sn<4，又Sn≥S1=a1=2，∴2≤Sn<4，令t=Sn，∴f(t)=t-1t，t∈[2，4)显然函数f(t)在[2，4)上单调递增，∴32=f(2)≤f(t)<f(4)=15故若N≤Sn-1Sn≤M恒成立，则N≤32，M≥154，故M-N≥154-32=94二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.将函数f(x)=sinωx-2π3(ω>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1=23A.ω=2B.f(x)在(1，2)上先单调递增后单调递减C.a10=31D.数列{an}的前n项和为3答案BD解析由f(x)=0，得ωx-2π3=kπ(k∈Z)，则x=(3k+2)π3ω(因为ω>0，且a1=23所以当k=0时，2π3ω=23(当k≤-1且k∈Z时，x<0，不符合题意，舍去)，得ω=π，故f(x)=sinπ若x∈(1，2)，则πx-2π3∈π故f(x)=sinπx-2π3在(1，2由于ω=π，故周期为2，所以数列{an}是首项为23，公差为1则a10=23+9×1=293，数列{an}的前n项和Sn=23n+n(n-1)2×1=6.(2025·兰州模拟)如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则()A.第n个圆的面积为3πB.这n个圆的半径成公比为12C.第一个圆的面积为3πD.前n个圆的面积和为1-1答案ABD解析设第n个正三角形的内切圆的半径为an，因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个正三角形的12每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的12即这n个圆的半径成公比为12的等比数列，故B因为a1=12×3a2=12a1，a3=12a2，…，an+1=12所以数列{an}是以32为首项，1所以an=32×12n-1，则an则第n个圆的面积为πan2=34×14第一个圆的面积为3π4，故A正确，C设前n个圆的面积和为Sn，则Sn=3π=3π4×1×1-14n1-14三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2025·南宁模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则1x+4y的最小值为答案3解析因为在公差不为0的等差数列{an}中，a3是ax与ay的等差中项，所以2a3=ax+ay，所以x+y=6，且x≥1，y≥1，x，y∈N*，所以1x+4y=16(x+y)1x+4y当且仅当yx=4xy，即x=2，所以1x+4y的最小值为8.(2025·唐山模拟)设n∈N*，xn是曲线y=x2n-1-2在点(1，-1)处的切线与x轴交点的横坐标，记an=nxnxn+1n+1，则数列{an答案5100解析y'=(2n-1)x2n-2，当x=1时，y'=2n-1，∴在点(1，-1)处的切线为y-(-1)=(2n-1)(x-1)，化简得y=(2n-1)x-2n，令y=0，得x=2n2n-1，即x∴an=nxnxn+1n+1=n·2n则数列{an}的前50项和为a1+a2+a3+…+a50=50+12×=50+12×1-1101=50+50四、解答题(共28分)9.(13分)(2025·广州模拟)已知向量a=sinπx2，-sinπx2，b=cosπx2，sinπx2，函数f(x)=(1)写出{an}的前6项；(8分)(2)求{an}的前100项和S100.(5分)解(1)由题意得f(x)=sinπx2·cosπx2-sin2πx2=12sinπx-=12(sinπx+cosπx)-12=22sinπ由f(x)=0，得sinπx+π所以πx+π4=2kπ+π4或πx+π4=2kπ+3π4，即x=2k或x=2k+12，k∈Z，取其中的正数构成递增数列{an}所以{an}的前6项为12，2，52，4，92(2)依题意S100=12+52+…=50×1=5025.10.(15分)(2025·江门模拟)已知数列{an}满足a1=2，且对于任意正整数n，均有nan+1-(n+1)an=n(n+1)，且bn=an(1)证明：{bn}为等差数列；(5分)(2)设cn=bn2bn，Sn为数列{bn}的前n项和，Tn为数列{cn}的前n项和，若32-Tn≤k(n+3)Sn对任意的n∈(1)证明由题意，等式nan+1-(n+1)an=n(n+1)两边同时除以n(n+1)，可得an+1n+1因为bn=an则bn+1-bn=1，且b1=a1=2，所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列.(2)解由(1)可得bn=2+n-1=n+1，所以cn=bn2bSn=(2+n+1)nTn=222+323+42则12Tn=223+324+…上述两个等式作差可得12Tn=12+123+124+…+12n=34-n所以Tn=32-n因为32-Tn