2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题11 圆的综合证明与计算（题型专练）（原卷版）

专题11圆的综合证明与计算

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第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

题型01圆中求角的度数

题型02圆中求线段的长

题型03圆中求弧长、面积

题型04圆与正多边形

题型05证切线与求线段、半径综合

题型06证切线与求弧长、面积综合

题型07圆与（特殊）平行四边形综合问题

题型08圆中动点探究型问题

题型09圆中新定义探究综合问题

题型10圆与函数的综合问题

第二部分题型训练整合应用，模拟实战

题型破译

典例引领

【典例01】（2026·陕西西安·二模）如图，AB为O的直径，点C，D在圆上，且ACCD．若ABC32，

则DAB的度数为______．

【典例02】（2026·陕西西安·一模）如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，点P在圆周上，且CPB27，

则A的度数为________．

方法透视

圆心角与圆周角：利用同弧所对圆心角是圆周角两倍，直径所对圆周角为°，求角度。

考向1.90

2.弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，用于圆中求角或导角关系。

解读

3.圆内接四边形：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，常与方程结合求角度。

找弧桥接角：见到圆中角，先找它所对的弧，通过同弧或等弧将未知角与已知角建立联系。

方法1.

2.见直径想直角：出现直径立即联想90°圆周角，构造直角三角形求角度。

技能

3.内接四边形用互补：圆内接四边形对角互补，结合已知角列方程求解未知角度。

变式演练

【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，AB是O的直径，BC、BD是O的两条弦，连接CD，DCB45，

BC平分ABD，则CBD的度数为____________．

【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，ABC是O的内接三角形，ABC的内角ABC的平分线BO

与其外角ACD的平分线CE相交于点E，若ABCE，则A___________．

典例引领

【典例01】（2026·江苏南京·一模）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，ABCD于点E，若AB10，

CD8，则BE_____．

【典例02】（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在O上，OCAB，AB8，CD2，则O的

直径AE为__．

方法透视

垂径定理：利用垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理求弦长、半径或弦心距。

考向1.

2.切割线定理：从圆外一点引切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的线段比例中项。

解读

3.相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，用于求线段长。

勾股优先：出现垂直或直径，优先在直角三角形中用勾股定理列方程求解。

方法1.

2.相似三角形：圆中常出现母子型相似（如切割线、相交弦），利用相似比列比例式求线段。

技能

3.设参列方程：未知线段多时，设未知数表示相关线段，利用定理或相似列方程求解。

变式演练

【变式01】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，若AOB120，OA2，

则PAB的周长是______．

【变式02】（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一点，AD2AE，以E为圆心，

BE

DE为半径的弧交CD于点G，交BC于点F．若G是DF的中点，则的值为_________．

BF

典例引领

【典例01】（2025·安徽淮南·一模）如图，AB为O的直径，AB4，CD为O的弦，ABCD，连接OC，

OD，BCO25，则劣弧AD的长为______．

【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90,ABC30,AC2，将Rt△ABC

绕点A逆时针旋转30后得到△ABC，则图中阴影部分的面积是____________________．

方法透视

考向1.弧长公式：考查弧长公式l=应用，已知圆心角、半径、弧长中两个量求第三个。

𝑛�

180

解读扇形面积：考查扇形面积公式或，常与组合图形结合。

2.S=2S=lr

𝑛�1

3.阴影面积：求不规则阴影面积，用割36补0法、容斥2原理转化为扇形、三角形、弓形面积和差。

公式准确代：弧长扇形面积公式中圆心角代度数，注意与弧度制区分。

方法1.n

2.割补转化：不规则阴影通过分割、补形转化为规则图形面积和差，简化计算。

技能

3.弓形面积法：弓形面积=扇形面积±三角形面积，根据弓形与圆心位置定加减。

变式演练

【变式01】（2025·河南·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方

形的顶点上，且点B，C在弧AD上，BAC22.5，则弧BC的长为___________．

【变式02】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，分别以点A，D为圆心，以AB，

DC为半径作扇形ABF，扇形DCE，则图中阴影部分的面积是______；阴影部分的周长为______．

典例引领

【典例01】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形ABCDEF内接于O，若正六边形的周长是18cm，则

O的半径是__________cm．

【典例02】（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形ABCDE的外接圆为O,点P是劣弧DE上一点,连接

AC,AP,CP,则APC的度数是__________.

方法透视

考向1.中心角计算：正n边形的中心角，用于求内角、外角或旋转角度。

𝟑�

�

解读2.边心距与半径：正n边形的半径R、边心距r、半边长构成直角三角形，用勾股定理互求。

�

2

3.周长与面积：正多边形周长=na，面积=nar，常与圆面积结合考查。

1

2

方法1.中心角公式：熟记中心角=，用于求边数或角度。

𝟑�

勾股定理应用：在半径、边�心�距、半边长构成的直角三角形中用勾股定理列方程。

技能2.

3.面积分割法：将正n边形分割为n个全等等腰三角形，每个三角形面积ar求和。

1

2

变式演练

【变式01】（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟

数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形A1B1C1D1，

已知AB:A1B11:2，作四边形A1B1C1D1的外接圆，则此外接圆的半径为______________．

【变式02】如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为2，MN1，

则AMN周长的最小值是_________．

典例引领

【典例01】（2026·陕西西安·一模）如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，

与BC相切于点C，过点A作ADBO交BO的延长线于点D，且AODBAD．

(1)求证：AB为O的切线；

3

(2)若AC8，tanBAC，求OD的长．

4

【典例02】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，F是BD上一点，

连接CD，DF，CF，AB与CF交于点E，且FACD．

(1)求证：AC是O的切线．

(2)若CDDF，AC3，OC2，求AD的长．

方法透视

切线证明：常考两种方法——连半径证垂直（已知点在圆上）或作垂直证半径（未知点是否在

考向1.

圆上）。

解读

2.切线长计算：利用切线长定理，从圆外一点引两条切线长相等，结合勾股定理求线段长。

3.半径求解：在含有切线的直角三角形中，利用勾股定理或相似三角形列方程求半径。

判定方法明确：已知点在圆上连半径证垂直；未知点在圆上作垂直证半径等于已知线段。

方法1.

2.勾股优先：出现垂直即构造直角三角形，用勾股定理列方程求线段长或半径。

技能

3.相似辅助：有平行线或公共角时，利用相似三角形对应边成比例求未知线段。

变式演练

【变式01】（2026·陕西西安·二模）如图，ABC内接于O，D是O的直径AB延长线上一点，且满足

BCDBAC，过圆心O作OE∥BC交DC的延长线于点E．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)若BC2，AC4，求DE的长．

【变式02】（2026·四川雅安·二模）如图O是ABC的外接圆，ABC45，延长BC至点D，连接AD，

使得AD∥OC，AB交OC于E．

(1)求证：AD与O相切；

(2)若AE25，CE2．求O的半径和AB的长度．

典例引领

【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ADC内接于O，过点A作AB平行于CO交CD的延长

线于点B，OCAADC．

(1)求证：AB是O的切线；

(2)若ABAC4，求AD的长．

【典例02】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于

点D，过点D作DEAC，垂足为点E，延长CA交O于点F．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若AF4，C30，求图中阴影部分的面积．

方法透视

切线证明与计算：先证切线（连半径证垂直），再结合勾股或相似求半径或线段长。

考向1.

扇形面积计算：利用切线性质求出圆心角，代入扇形面积公式求面积。

2.S=2

解读𝑛�

3.阴影面积综合：切线分割圆形成扇形和三角形，用割补法求阴影部36分0面积（常为扇形加减三角

形）。

先证切线得垂直：通过切线证明得到直角，为后续勾股或角度计算打基础。

方法1.

2.圆心角定弧长：由切线性质或角度关系求出圆心角度数n，代入弧长或面积公式。

技能

3.割补求阴影：阴影面积不规则时，分割为扇形和三角形，分别计算后相加减。

变式演练

【变式01】（2026·山东威海·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的顶点B、C、D在O上，连接OC，OD．

(1)若COD120，CD6，求CD的长．

(2)若COD128，A58，求证：直线AB是O的切线．

【变式02】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AD平分BAC交BC于

点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的O经过点D，交AB于点F，连接DF．

(1)求证：BC是O的切线；

(2)若BD6，tanADB3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

典例引领

【典例01】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD2ABBC中，E是BC中点，以点E为圆心，CE

长为半径在矩形内画半圆，AG切半圆于点F，与CD交于点G，连接AE,GE．

(1)求证：AEGE；

(2)若AE:EG4:3,AB4，求四边形ADGE的面积．

【典例02】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图1，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA

为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F．

(1)若O的半径为3，B60，则劣弧AF的长为_________；（结果保留π或根式）

(2)如图2，若O与BC相切于点M．求证：CD与O相切；

(3)在（2）的基础上，若AC8，CM4，求O的半径．

方法透视

圆内接平行四边形：圆内接平行四边形必为矩形，利用这一性质结合圆周角定理求角或线段。

考向1.

2.菱形与圆：菱形内切圆或外接圆，利用菱形对角线垂直、四边相等，结合垂径定理或切线长定

解读

理求解。

3.正方形与圆：正方形外接圆（对角线为直径）或内切圆（边心距为半径），利用半径与边长的

关系求值。

性质转化：将平行四边形性质（对边平行、对角线平分）转化为圆中的角等关系或线段比例。

方法1.

2.勾股定理优先：出现垂直（如菱形对角线、切线）立即构造直角三角形用勾股定理列方程。

技能

3.分类讨论圆心：圆与多边形位置关系（外接、内切）不同，解题方法不同，先确定位置再计算。

变式演练

【变式01】（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD中，B是锐角，AB62，BC10．在射线BA上

取一点P，过P作PEBC于点E，过P，E，C三点作O．

3

(1)当cosB时，

5

①如图1，若AB与O相切于点P，连结CP，求CP的长；

②如图2，若O经过点D，求O的半径长．

(2)如图3，已知O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B，且B

恰好同时落在O和边AD上，求此时PA的长．

【变式02】（2024·广东阳江·二模）如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在ABP的外接圆

上，且位于正方形ABCD的内部，EAEP，连结AE，EP．

(1)求证：△PAE是等腰直角三角形；

(2)如图2，连结DE，过点E作EFBC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；

(3)当点P是BC的中点时，DE4．

①求BC的长；

②若点Q是ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ．当PAQ与ADE的一个内角

相等时，求所有满足条件的AQ的长．

典例引领

【典例01】（2025·河北·一模）如图，半圆O与直线AB相切于点B，BC为半圆O的直径，OB2．P为

直线AB上的一动点，过点P作射线PQ，QPB60，射线PQ随点P的移动而平移．

(1)如图1，移动点P，使得射线PQ与半圆O交于点D，E，连接OD，OE．当OD∥AB时，求DE的长．

(2)如图2，移动点P，使得射线PQ经过点C，射线PQ与半圆O交于另一点F，求CF的长．

【典例02】（2024·陕西咸阳·一模）

(1).【问题情境】（1）点A是O外一点，点P是O上一动点．若O的半径为2，且OA5，则点P到

点A的最长距离为______；

(2).【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于

点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；

(3).【灵活运用】（3）如图3，O的直径为8，弦AB43，点C为优弧AB上的一动点，AMAC，

交直线CB于点M，求ABM面积的最大值．

方法透视

位置关系探究：动点运动过程中，探究线段数量关系、角度大小变化或特殊位置（相切、共线）。

考向1.

2.最值问题：圆中动点求线段最值（常利用直径是最长弦、垂线段最短、三角形三边关系）。

解读

3.函数关系建立：动点运动中某几何量（线段长、面积）与动点位置之间的函数关系式。

抓不变量：动点运动中圆的性质（半径相等、圆周角不变）往往是解题突破口。

方法1.

2.极端位置分析：考虑动点运动到起点、终点、特殊点（切点、共线点）时的情形猜想结论。

技能

3.函数建模：设动点坐标或用角度表示线段，代入几何公式建立函数关系式求最值。

变式演练

【变式01】（2025·广西梧州·二模）在ABC中，BAC90，AB8，AC6，点D是线段AB上的一

个动点，以AD为直径作圆O．

(1)当AD6时，如图1，求证：圆O与BC相切；

(2)如图2，连接CD，CD与圆O相交于点E，连接BE，请你求出BE的最小值并说明理由；

1

(3)如图3，AD4，若点P是圆O上的一个动点，且点P在ABC内，连接BP、CP，请你直接写出CPBP

3

的最小值．

【变式02】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，已知AB是O的直径，点E是射线AB上的一个动点，以

AE为边构造ACDE，满足CAE60，

(1)如图2，当点C恰好在O上时，则BOC______．

(2)如图3，若AC2AE，且动点E与点O重合时，连接DB，求证：DB是O的切线．

(3)在点E的运动过程中，若AC2AE，且AB4，是否存在ACDE的边所在的直线与O相切？若存在，

求出AE的长；若不存在，请说明理由．

典例引领

【典例01】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：对角线相垂直的四边形为“优秀四边形”．

△

(1)已知Rt△ABC外接圆为O,AC为直径．将Rt△ABC沿AC翻折得RtAB1C，恰好B1在O上，连接BB1

交AC于E,E为BB1,OC中点，BCB1C．证明四边形ABCB1为优秀四边形．

(2)证明：ACBB1AB1BCABB1C．

【典例02】（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

(1)若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为．

(2)如图①，MN是O的直径，点A、B、C在O上，AM、CN相交于点D.求证：四边形ABCD是对余

四边形．

(3)如图②，在对余四边形ABCD中，ABBC，ABC60，ADC30，探究线段AD、CD和BD之

间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

方法透视

新定义理解：给出圆中新概念（如“关联点”“和谐三角形”），要求读懂定义并转化为几何

考向1.

条件。

解读

2.性质探究：根据新定义探索图形性质，判断点、线、圆之间的位置关系或数量关系。

3.综合应用：结合圆的性质（垂径定理、切线、圆周角）和代数计算，求取值范围或最值。

翻译定义：将新定义中的文字语言转化为几何语言（如距离相等、角度固定、位置特殊）。

方法1.

2.画图分析：根据定义画出草图，标注关键点，直观分析满足条件的图形特征。

技能

3.模型转化：将新定义问题转化为熟悉的圆模型（切线、弦、圆周角），用已有知识求解。

变式演练

【变式01】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆

美四边形，其中这个角叫做美角．

【初步应用】（1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，A是美角．

①A的度数为_________；

②连接BD，若O的半径为5，求线段BD的长；

【拓展提升】

（2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，BAD是美角，连接CA，若CA平分BCD，若O的半

径为6，求BCCD的最大值是多少？

【变式02】（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相

交于点O，P是△ADO的内切圆，切点分别记为E，F，G，平行四边形ABCD的形状随着圆心角EPF

的变化而变化，则称P是平行四边形ABCD的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题．

(1)若EGFG，求证：四边形ABCD是矩形；

(2)如图②，若EPF90，以OB为直径作Q．

①AC是Q的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

②如图③，过点D作Q的切线，切点为H，直线DH交AC于点M，交BC于点N，若AM5，CM3，

求DN的长．

典例引领

【典例01】（2025·广东清远·三模）如图，经过A4,0，C9,0两点的抛物线交y轴正半轴于点E，以A点

为圆心，AC长为半径作A交x轴另一点于点B，交y轴正半轴于点D．

(1)求点B、点D的坐标；

(2)过B点作A的切线与抛物线交于点F，若F点的纵坐标为t，四边形FEAC的面积为S（A、E、F不共

线）

①求S与t的函数关系式；

②若△FBO和△DOA相似，求四边形FEAC的面积S．

【典例02】（2024·广东清远·二模）综合探究

1

如题图，抛物线yx2bxc的顶点为M，与x轴交于点A2,0和点B8,0，与y轴交于点C，D经

4

过A、B、C三点，且圆心D在x轴上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线CM与D相切吗?请说明理由；

(3)过点C作直线CE，交x轴于点E，当直线CE与抛物线只有一个交点时，直线CE是否与D相切?若相

切，请证明：若不相切，请直接写出直线CE与D的另外一个交点的坐标．

方法透视

函数关系建立：圆中动点运动，建立某几何量（弦长、面积）与动点坐标或时间的函数关系。

考向1.

2.最值问题：结合二次函数顶点式或一次函数增减性，求圆中线段、面积的最值。

解读

3.交点坐标：圆与函数图象（一次、二次）相交，联立方程求交点坐标，结合圆的性质求解。

设点坐标：设动点坐标，用含的式子表示几何量，建立函数关系。

方法1.(x,y)x

2.几何条件转化：将圆的性质（半径相等、直径对直角）转化为代数方程，联立求解。

技能

3.数形结合：画出圆与函数图象草图，直观分析交点位置、最值点，辅助列方程。

变式演练

【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数yax2bxc(a0，c0)与x轴交于点A、

B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．

(1)若点A–2,0，点B8,0，求ac的值；

(2)若点A(x1,0)，B(x2,0)，试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

(3)若点D是圆与抛物线的交点(D与A、B、C不重合)，在1的条件下，x轴上是否存在一点P，使得以

P、B、C为顶点的三角形与CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【变式02】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为2，△APQ是等腰直角三角形，

PAQ90，对于点Q和O，给出如下定义：若存在点Q在O内（包含圆周），则称△APQ为O的

关联三角形．

(1)如图1，若点A4,4

△△

①已知点P18,0，P28,2，则在AP1Q1，AP2Q2中为⊙O的关联三角形的是；

②P是x轴上的动点，且△APQ为O的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是；

(2)如图2，若点A4,0，直线yxb上存在点P使得．△APQ为O的关联三角形，直接写出b的取值

范围．

题型训练

一、单选题

1．（2026·山西长治·一模）如图，四边形ABCD内接于O，BOD108，则BCD的度数是（）

A．127B．108C．126D．72

2．（2026·山东滨州·一模）如图，O是边长为63的等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，

连接BD，CD，以点D为圆心，BD的长为半径在O内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥

底面圆的半径为（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示

是“直角角尺”，AOB90，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC6，

OD8，则此圆的半径约为（）

A．10B．5C．8D．6

4．（2025·四川南充·一模）如图，ABC内接于O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CA，CB

1

于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交O内于点P，连接CP，并

2

延长交O于点D，连接AD，BD，连接OD，与AB交于点E，则下列结论不一定成立的是（）

A．ADBDB．AEBE

C．CADCBD180D．AD∥BC

5

5．（2026·广西柳州·一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线yx2bx与

16

x轴的一个交点为A8,0，点C是抛物线的顶点，且C与y轴相切，点P为C上一动点．若点D为PA

的中点，连接OD，则OD的最大值是（）

1715

A．B．5C．D．8

22

二、填空题

6．（2025·浙江杭州·二模）如图，ABC内接于O，若B115，则OAC的度数为_________．

7．（2025·青海西宁·三模）如图所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与圆O相切于A，B两点，C

是圆O上的一点，若P70，则∠ACB______．

8．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如

图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，点N是AB的中点，MNAB，交AB于点M．“会圆术”