一次函数的概念课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.1

一次函数的概念第二十三章

一次函数学习目标1.理解一次函数和正比例函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.2.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.（重点、难点）1．请写出下列问题中的函数关系式：(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化；(2)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化；(3)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(min)的变化而变化．解：(1)l＝2πr.(2)h＝0.5n.(3)T＝－2t.新课导入2．某电信公司的一种通话收费标准是：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费10元；另外，每通话1min缴费0.10元．(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系式；(2)某用户本月通话120min，他应缴的费用是多少元；(3)若某用户本月预交了200元，则该用户本月可以通话多长时间？解：(1)y＝0.1x＋10(x≥0).(2)当x＝120时，y＝22.(3)当y＝200时，x＝1900.新课导入在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.写出下列问题中的函数关系式：(2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h随这些练习本的本数n的变化而变化；(1)铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm3)大小变化而变化；一次函数的概念解：是函数关系，函数解析式为m=7.9V.解：是函数关系，函数解析式为h=0.5n.探究新知（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化.（4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化.解：是函数关系，函数解析式为y=0.1x+22.解：是函数关系，函数解析式为y=-5x+50(0≤x≤10).探究新知

一般地，形如y=kx+b

（k，

b

是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.一次函数的特点如下：（1）解析式中自变量x的次数是

次;（2）比例系数

；（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.1k≠0为什么强调k是常数，k≠0呢？探究新知归纳总结

一般地，形如y=kx+b

（k，

b

是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.一次函数的特点如下：（1）解析式中自变量x的次数是

次;（2）比例系数

；（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.1k≠0探究新知注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:k≠0;01自变量x的次数是1;02常数b可以是任意实数.03

一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.（1）求弹簧的长度у（单位：cm)关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式；（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？例1（2）把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22.解：(1)由每挂1kg的物体，弹簧伸长2x

cm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12.因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.思考：一次函数与正比例函数有什么关系？（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.（1）当b=0时，y=kx+b

即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.为什么强调k是常数，

k≠0呢？探究新知2.已知函数y=(m-1)x+1-m2.（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?解：由题意可得m-1≠0，解得m≠1.即m≠1时，这个函数是一次函数.注意：利用定义求一次函数的解析式时，必须保证：（1）k≠0；（2）自变量x的指数是“1”探究新知（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?解：由题意可得m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.即m=-1时，这个函数是正比例函数.探究新知例

一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.（1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量

x（单位：kg）的函数解析式；

（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？二、根据实际问题列一次函数解析式探究新知已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值.解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，解得：k＝1.提示：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式.利用正比例函数的概念求字母的值探究新知解：

∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1;∴解得k=2,b=3.一次函数，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.求k和b的值.利用一次函数一般式求字母的值探究新知已知一次函数y=kx-b，当x=3时，y=8；当x=-3时，y=-10．求k和b的值．解：∵当x=3时，y=8；当x=-3时，y=-10;∴解得k=3，b=1.巩固练习(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.解:令y=19.2，则19.2=0.03×(x-3500),

解得

x=4140.答:此人本月工资是4140元.(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？已知函数y=(m-2)x+4-m2（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?解：（1）由题意可得m-2≠0，解得m≠2.即m≠2时，这个函数是一次函数.利用一次函数的概念求字母的值注意：利用定义求一次函数解析式时，必须保证：（1）k≠0；（2）自变量x的指数是“1”（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，解得m=-2.即m=-2时，这个函数是正比例函数.探究新知例一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.（1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式；（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？由实际问题确定一次函数解析式探究新知解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm.

因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12.（2）把x=5代入，得y=2×5+12=22.因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.探究新知一次函数一次函数定义正比例函数定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.课堂小结1.下列各函数是正比例函数的是（）

A.B.C.D.2.若是正比例函数，则m=_______.3.已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=6，则与之间的函数关系为

.C1y=-6x课堂检测4.矩形的周长为50，设它的长为x，宽为y，则y与x的函数关系式为()A.y=-x+25 B.y=x+25C.y=-x+50