三年级下册数学《连续等分建模：连除问题深度探究》导学案

三年级下册数学《连续等分建模：连除问题深度探究》导学案

一、教学内容与课标锚点

（一）精准课题定位

本课隶属于人教版义务教育教科书《数学》三年级下册第二单元“除数是一位数的除法”第7课时，教学内容为“用连除或乘除混合运算解决实际问题”（教材第23页例4及练习五相关习题）。本课是在学生已经熟练掌握表内除法、两位数除以一位数口算与笔算，并初步具有两步计算问题解决经验的基础上，对除法意义进行结构化延伸的关键课次。

（二）课标依据与核心素养锚定

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课精准对应“数与代数”领域第二学段“数量关系”主题。课标要求：学生能理解四则运算的意义，在具体情境中认识常见的数量关系，能解决两步计算的实际问题。本课是落实“模型意识”、“应用意识”和“推理意识”的核心载体。教学必须超越“会算”的浅层目标，走向“会用数学思维理解现实世界”的深度建构，实现从“程序性知识”向“素养型能力”的跃升。

二、学情前测与精准画像

（一）认知起点探查【重要】

为摒弃经验主义臆断，本设计倡导实施“前测导学单”。前测题设计如下：1.有60人参加团体操，平均分成2队，每队平均分成3组，每组有多少人？（测试学生对连续平均分结构的初步感知）。2.根据算式60÷2÷3=10，编一个数学小故事。（测试学生对算式的意义理解，即“内化”水平）。3.妈妈买了2箱牛奶，每箱4盒，每盒售价5元，一共花了多少钱？（测试学生区分连乘与连除模型的能力，探查负迁移风险）。

（二）典型学情预判【非常重要】

基于对城区与乡镇多所学校的跟踪调研及本文件检索材料中对前测数据的分析-7，三年级学生在本课学习中呈现以下显著特征：

1.模型混淆风险【高频易错】：约30%-40%的学生在初次接触连除问题时，会出现“见到问题就列乘法”或“见多步就随意乘除”的现象。其根源在于未能从“总量、份数、每份数”的核心关系出发分析问题，而是凭个别词汇（如“一共”用乘，“分”用除）进行机械解题。

2.运算顺序异化风险【难点】：部分学生虽能计算出60÷2÷3=10，但说不出“为什么先算60÷2”，对“从左往右”的运算顺序仅停留在记忆层面，无法将其与“先求每队人数”的实际意义建立对应关系。

3.综合算式畏难情绪【基础】：学生习惯于分步列式，当要求列综合算式时，极易出现括号缺失（如直接写60÷2×3）或运算顺序错误。这并非计算技能不足，而是抽象概括能力与符号化表达能力的阶段性瓶颈。

三、素养导向教学目标

基于课标分解与学情研判，确立本课四维融合性目标：

4.知识技能目标【基础】：学生能结合具体情境（如分组、装盒、运输），理解连除问题的数量关系是“总数连续除以两个份数等于每份数”，掌握“从左往右依次计算”的运算顺序，能正确列分步算式或综合算式（含带括号的综合算式）进行解答，正确率达到95%以上。

5.过程方法目标【重要】：经历“阅读理解—分析解答—回顾反思”完整的问题解决闭环。在信息整理阶段，学会用“圈、划、标”的方法提取关键条件与核心问题；在分析数量关系阶段，能运用“从条件入手”或“从问题入手”两种分析路径，能通过画直观图、列表等方式表征连续平均分的过程，培养几何直观与逻辑推理能力。

6.模型意识目标【非常重要】【高频考点】：通过“连乘”与“连除”的对比辨析，深刻理解两类问题的本质结构性差异——连乘是“合并”（求总量），连除是“分解”（求每份量）。能从看似不同情境（购物、分配、行程）中抽象出共同的“连续等分”数学模型，初步感悟“归一”与“归总”思想。

7.情感态度目标：在解决真实问题的过程中，感受数学的简洁与力量；在小组共学中，养成倾听、质疑、反思的理性精神。

四、教学重难点与化解策略

（一）教学重点【基础+高频考点】

掌握用连除或乘除混合运算解决实际问题的解题思路，能正确分析连续平均分过程中的“中间量”，并列出综合算式。

【确立依据】这是本课知识技能维度的核心底线，是后续学习较复杂归一问题、行程问题、工程问题的思维脚手架。

（二）教学难点【难点】

8.理解连除运算顺序（从左往右）的合理性，即“先算出的结果必须有实际意义”。

9.根据问题灵活选择解题策略，独立构建带有括号的综合算式。

（三）突破策略【深度设计】

10.可视化思维支架：强制要求学生在学习单上用“框线图”或“箭头图”标出每一步求的是什么，将内隐思维外显。

11.冲突式对比：预设典型错解（如60÷2×3），组织学生辩论“这个算式求得是什么？符合问题要求吗？”在批判中深化认知。

12.多元表征转换：鼓励学生用学具（小棒）演示分的过程，将动作表征（动手分）、图像表征（画图）、符号表征（算式）一一对应，实现算理与算法的融合-3-6。

五、教学准备与环境设计

（一）教师准备

13.交互式课件：制作包含动画演示的PPT，动态呈现“连续平均分”的全过程（如：大屏幕上的60人先闪动分成2队，每队30人闪烁，每队再分成3组，每组10人闪烁）。

14.磁力学具板：设计可移动的磁性卡片（人物头像、箱子图标），用于板演时动态展示“分”与“合”的过程。

15.导学单设计：研发包含“预习诊学—共学探究—延学拓思”三阶任务的分层学习单。

（二）学生准备

16.知识储备：复习“总数÷份数=每份数”及“每份数×份数=总数”的基本数量关系。

17.学具准备：每人准备12个小圆片（替代物）。

六、教学实施过程【核心篇幅】

（一）启动阶段：情境激活与认知冲突（约5分钟）

18.真实情境植入

师：（课件播放学校“阳光体育大课间”视频）同学们，这是我们学校正在筹备的团体操表演。三年级有60名同学报名参加，导演组遇到了两个难题。大家愿意用数学智慧帮他们解决吗？

【设计意图】摒弃枯燥的复习导入，用真实校园情境引发共情，让数学学习发生在真实的解决问题的需求中。

19.分层出示信息

屏幕呈现核心例题：

“三年级有60人参加团体操表演。**

信息A：平均分成2队。

信息B：每队平均分成3组。

问题：每组有多少人？”

【特别处理】采用“分层呈现法”：先出示总人数60人，再逐条点击出现信息A、信息B。每出现一条信息，请学生用手势表示“是平均分吗？分什么？分几份？”强化对除法意义的即时反应。

20.自主尝试，暴露前概念

指令：请同学们独立思考，试着在练习本上列式解答。不需要讨论，把你最真实的想法写下来。

【重要】教师此时不下讲台巡视，给予完整的2分钟静默思考期。这一步是获取真学情、实现“以学定教”的关键。

21.预设学情收集与分类板书

教师有目的地选取三种典型解法贴于黑板左侧：

①60÷2=30（人）30÷3=10（人）

②60÷2÷3=10（人）

③60÷（2×3）=10（人）

④60÷2×3=90（人）【关键错例】

【教学策略】不对④号解法直接否定，将其作为宝贵的教学资源引入下一环节。

（二）建构阶段：意义理解与模型初建（约15分钟）

22.聚焦核心问题——为什么要分两步？

任务驱动：四人小组利用小圆片模拟“60人平均分成2队，每队再平均分成3组”的过程。

操作要求：

[1]一人操作学具，一人记录分步算式。

[2]一人指着算式解释每一步在“分”的过程中代表什么。

[3]一人准备全班汇报。

23.思维可视化汇报

小组代表上台，在实物投影仪下边摆学具边讲解：

生：我先拿60个圆片（代表60人），把它们平均分成2堆，每堆30个。所以第一步是60÷2=30（人），这求的是每队有多少人。

生：我再把一堆30个圆片平均分成3份，每份是10个。所以第二步是30÷3=10（人），这求的是每组有多少人。

师：（适时追问）你为什么不再分另一队30人了？

生：因为每队都是30人，每队分成的组数也一样，所以算出一队分成组的人数就是每组的人数。

【深度追问】这里指向“平均数”的传导性——同一整体进行相同规则的平均分，各部分结果一致。

24.错例辨析——在批判中建立运算顺序规则【非常重要】

教师将“60÷2×3=90”呈现于屏幕。

师：这也是我们班一位同学的想法，他算出来每组有90人。你们觉得合理吗？问题出在哪？

生1：不合理，总共才60人，每组不可能有90人。

生2：他第一步60÷2=30是对的，求每队30人。但他第二步30×3=90，乘3是什么意思？

生3：他把“平均分成3组”当成“乘以3组”了。分应该用除法，不能用乘法。

师：对！这里的“平均分成3组”是再把30人平分，是用30÷3。运算符号的选择要由每一步的实际意义决定，不能想当然。

【核心归纳】连除算式必须“从左往右依次计算”，因为第一步算出的结果（每队人数）是第二步计算（每组人数）的必要条件。运算顺序不是人为规定，而是由问题逻辑决定的。

25.综合算式生成与括号教学【难点突破】

师：刚才我们用了两个除法算式。数学追求简洁美，谁能把这两个除法合并成一个式子？

生：60÷2÷3=10。

师：（板书递等式示范）60÷2÷3

=30÷3

=10

强调书写格式：等号对齐，先算的前两步下划线。

师：还有同学写了60÷（2×3）=10。这里的括号是什么意思？如果不加括号，60÷2×3会先算什么？

生：不加括号先算60÷2=30，再乘3=90，错了。

生：加了括号要先算2×3=6，60÷6=10，这也是对的。

师：2×3求的是什么？

生：求一共有多少组。

【对比深化】板书两侧对比：

左边：60÷2÷3——先求每队人数，再求每组人数。

右边：60÷（2×3）——先求总组数，再求每组人数。

【模型小结】无论是连除还是带括号的乘除混合，本质都是“总数连续除以两个份数”，只是求中间量的路径不同。这就是我们今天学习的“连除问题”。

（三）深化阶段：模型对比与结构分化（约10分钟）【高频考点集中区】

26.题组呈现——制造认知冲突

出示练习单对比题（同桌合作）：

题A：学校买来2箱矿泉水，每箱24瓶，分给6个年级，每个年级分得多少瓶？

题B：学校买来2箱矿泉水，每箱24瓶，每瓶售价3元，一共花了多少钱？

27.辨析任务

[1]独立解答两题。

[2]小组讨论：这两道题有什么相同点和不同点？

28.深度汇报与模型抽象

相同点：

生：都有两步计算，都出现了“2箱、每箱24瓶”。

不同点：

生：题A最后是求“每份数”，用除法，是连除问题；题B最后是求“总数”，用乘法，是连乘问题。

生：题A的中间量是“总瓶数”（先求2箱共48瓶，再48÷6=8瓶）；题B的中间量可以是“一箱价钱”（先求24×3=72元，再72×2=144元），也可以是“总瓶数”（先求2×24=48瓶，再48×3=144元）。

【教师提升——核心模型】非常重要

连乘模型：每份数×份数=总数（再×更高级的份数）——从部分到整体，归总。

连除模型：总数÷份数=每份数（再÷更细的份数）——从整体到部分，归一。

师指着板书：连乘是“合”，连除是“分”。合用乘法，分用除法。这就是数学的对称美。

（四）迁移阶段：变式训练与灵活应用（约8分钟）【热点题型】

29.信息冗余题——培养筛选能力

“阅览室新购进320本图书。学校有4个年级，每个年级有2个班。每层书架可以放20本书，需要几个书架？”

任务：先划掉多余条件，再列式解答。

【设计意图】真实问题往往信息冗余，培养排除干扰项、聚焦核心关系的审题力。

30.逆向思维题——深化模型理解

“王老师带了一些钱去买跳绳。他先买了4根，付了20元。剩下的钱还可以买2根。每根跳绳多少元？”

引导学生先画线段图，再列综合算式。

31.开放性结构题——高阶思维训练

“根据算式96÷2÷4编一道应用题。”

展示学生编题，如“96个苹果，平均分给2个班，每班再平均分给4个小组，每个小组分几个？”

【思维提升】让学生体会到同一个数学模型可以包裹千差万别的现实情境，这就是数学的抽象力量。

（五）反思阶段：元认知监控与习惯养成（约2分钟）

引导学生回顾解题过程，固化“回顾与反思”三步法：

[1]验：把结果当作已知条件，倒推回去看是否吻合原题数据。

[2]理：每一步算式必须有实际意义，单位名称是否正确。

[3]比：我的方法和别人的方法有什么不同？哪种更简洁？

【重要】将此环节固化为课堂固定仪式，培养闭环思维，根治“做完就扔笔”的坏习惯-7。

七、板书设计：结构化思维场域

（左侧：新知建模区）

【核心例题】60人，2队，每队3组，每组几人？

分步：60÷2=30（人）——每队人数

30÷3=10（人）——每组人数

综合1：60÷2÷3=10（人）综合2：60÷（2×3）=10（人）

（连除，先求每队）（乘除混合，先求总组数）

（右侧：模型对比区）

连乘模型（归总）：每份数×份数=总数——乘法

连除模型（归一）：总数÷份数=每份数——除法

核心本质：两步平均分——找中间量

八、作业体系：分层进阶与素养延伸

（一）基础性作业【必做】

教材练习五第3、4题。要求：圈画关键信息，写出每步求的是什么。

（二）发展性作业【选做】

主题：寻找生活中的连除。

任务：找一找生活中哪些地方用到了“分完再分”，拍成照片或画成图画，在旁边配上连除算式并解释每一步的含义。

（三）挑战性作业【学有余力】

“小马虎在计算一个数除以2再除以4时，把除以4看成了乘4，结果是96。正确的结果是多少？”

（考察逆向推理，渗透还原思想）

九、教学评价与反思支架

（一）过程性评价量规

本课采用“思维可见”评价法：

32.一级水平：能正确列式并计算出结果。——运算能力达标。

33.二级水平：能清晰说出每步求的是什么，并用箭头图表示。——模型意识萌芽。

34.三