2026步步高高考大二轮复习数学-14小题＋1大题(数列)-节选自济南市模拟

14小题＋1大题(数列)——节选自济南市模拟一、单选题(每小题5分，共40分)1.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝7，a10＝2，则S14＝()A.49 B.63C.70 D.126答案B解析由题知a5＝7，a10＝2，所以S14＝eq\f(14×（a1＋a14）,2)＝7(a1＋a14)＝7(a5＋a10)＝7×(7＋2)＝63，故选B.2.已知a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，若a∥b，则m＝()A.1 B.－1C.eq\f(2,3) D.－eq\f(2,3)答案A解析因为a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，a∥b，所以2m－1×(3m－1)＝－m＋1＝0，即m＝1.3.某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师，既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为()A.eq\f(3,8) B.eq\f(17,24)C.eq\f(4,5) D.eq\f(33,40)答案C解析由题知公司有120人，荣获“优秀员工”称号的有85人，则未荣获“优秀员工”称号的35人中有35－14＝21(人)是高级工程师，所以高级工程师共有75＋21＝96(人)，所以被选中的员工是高级工程师的概率为P＝eq\f(96,120)＝eq\f(4,5)，故选C.4.与抛物线x2＝2y和圆x2＋(y＋1)2＝1都相切的直线的条数为()A.0 B.1C.2 D.3答案D解析当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，直线与圆相切，则有eq\f(|1＋b|,\r(1＋k2))＝1，即(1＋b)2＝1＋k2，所以k2＝b2＋2b，联立直线与抛物线方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝2y，))得x2－2kx－2b＝0，由于直线与抛物线相切，所以Δ＝4k2＋8b＝0，即Δ＝4(b2＋2b)＋8b＝0，所以4b2＋16b＝0，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2\r(2)，,b＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2\r(2)，,b＝－4，))所以满足条件的直线有3条，故选D.5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋eq\r(3)asinC＝b，则A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案A解析由acosC＋eq\r(3)asinC＝b，得sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，即eq\r(3)sinAsinC＝cosAsinC，又知sinC≠0，所以eq\r(3)sinA＝cosA，即tanA＝eq\f(\r(3),3)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,6)，故选A.6.若a＝sin1，b＝lg(tan1)，c＝eq\f(1,2)，则()A.c<b<a B.b<a<cC.b<c<a D.a<c<b答案C解析因为y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以a＝sin1>sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)＝c，因为y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以tan1<taneq\f(π,3)＝eq\r(3)<eq\r(10)，而y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，则b＝lg(tan1)<lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(π,3)))＝lgeq\r(3)<lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)＝c，所以b<c<a，故选C.7.已知复数z1，z2满足2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝()A.1 B.eq\r(3)C.2 D.2eq\r(3)答案B解析由2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，得|2z1－z2|2＝4zeq\o\al(2,1)－4z1z2＋zeq\o\al(2,2)＝4，将|z1|＝1，|z2|＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))eq\s\up12(2)＝zeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,4)zeq\o\al(2,2)＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝eq\r(3)，故选B.8.若不等式lnx≤eq\f(a,x)＋b≤ex(a，b∈R)对任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))恒成立，则a的最小值为()A.－3eeq\f(3,2) B.－eq\f(5,2)eeq\f(3,2)C.eq\f(3,2)lneq\f(3,2) D.3e－3lneq\f(3,2)答案A解析因为lnx≤eq\f(a,x)＋b≤ex，所以xlnx≤bx＋a≤xex，所以即求直线y＝bx＋a的纵截距a的最小值，设f(x)＝xex，所以f′(x)＝ex(x＋1)>0，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上单调递增，又∀x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，所以f(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上的图象上凹，所以直线与曲线f(x)相切时，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为eq\f(3,2)，则直线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)e\f(3,2)))，且直线y＝bx＋a的斜率为eq\f(5,2)eeq\f(3,2)，所以直线y＝bx＋a的方程为y＝eeq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x－\f(9,4)))，当x＝1时，y＝eq\f(e\f(3,2),4)>eq\f(2.56\f(3,2),4)＝1.024>xlnx，即直线y＝bx＋a与曲线f(x)相切于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)e\f(3,2)))时，直线y＝bx＋a与曲线y＝xlnx无交点.设g(x)＝xlnx，所以g′(x)＝lnx＋1，所以曲线g(x)在x＝eq\f(3,2)处切线的斜率为lneq\f(3,2)＋1，在x＝1处切线斜率为1，均小于直线y＝eeq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x－\f(9,4)))的斜率，所以可令直线y＝bx＋a在x＝eq\f(3,2)处与曲线y＝xex相交，在x＝1处与曲线y＝xlnx相交，即直线y＝bx＋a过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)e\f(3,2)))和点(1，0)，所以直线方程为y＝eq\f(\f(3,2)e\f(3,2)－0,\f(3,2)－1)(x－1)＋0＝3eeq\f(3,2)(x－1)，此时纵截距为－3eeq\f(3,2)，故选A.二、多选题(每小题6分，共18分)9.已知椭圆C：3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则()A.C的离心率为eq\f(\r(3),2)B.△PF1F2的周长为12C.|PF1|的最小值为3D.|PF1|·|PF2|的最大值为16答案BD解析由3x2＋4y2＝48得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，所以a＝4，b＝2eq\r(3)，c＝2，令F1(－2，0)，F2(2，0)，对于A，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，错误；对于B，△PF1F2的周长为2a＋2c＝12，正确；对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，错误；对于D，2a＝8＝|PF1|＋|PF2|≥2eq\r(|PF1|·|PF2|)，即|PF1|·|PF2|≤16，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，正确，故选BD.10.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象在y轴上的截距为eq\f(1,2)，eq\f(π,12)是该函数的最小正零点，则()A.φ＝eq\f(π,3)B.f(x)＋f′(x)≤2恒成立C.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递减D.将y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到的图象关于y轴对称答案AC解析由f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象在y轴上的截距为eq\f(1,2)，得f(0)＝cosφ＝eq\f(1,2)，又0<φ<eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,3)，A正确；又eq\f(π,12)是该函数的最小正零点，所以eq\f(π,12)ω＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解得ω＝2，所以f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，所以f(x)＋f′(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋θ))，其中tanθ＝－eq\f(1,2)，故f(x)＋f′(x)的最大值为eq\r(5)>2，B错误；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，f′(x)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))<0恒成立，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递减，C正确；原图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，由余弦函数性质知，该函数不是偶函数，其图象不关于y轴对称，D错误.故选AC.11.下列等式中正确的是()A.eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=1))Ceq\o\al(k,8)＝28 B.eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=2))Ceq\o\al(2,k)＝Ceq\o\al(3,9)C.eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=2))eq\f(k－1,k！)＝1－eq\f(1,8！) D.eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=0))(Ceq\o\al(k,8))2＝Ceq\o\al(8,16)答案BCD解析对于A，(1＋x)8＝Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(1,8)x＋Ceq\o\al(2,8)x2＋…＋Ceq\o\al(8,8)x8，令x＝1，得28＝1＋Ceq\o\al(1,8)＋Ceq\o\al(2,8)＋…＋Ceq\o\al(8,8)＝1＋eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=1))Ceq\o\al(k,8)，则eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=1))Ceq\o\al(k,8)＝28－1，故A错误；对于B，因为Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(3,n＋1)，所以eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=2))Ceq\o\al(2,k)＝Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝…＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,9)，故B正确；对于C，D，因为eq\f(1,（k－1）！)－eq\f(1,k！)＝eq\f(k－1,k！)，所以eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=2))eq\f(k－1,k！)＝eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（k－1）！)－\f(1,k！)))＝eq\f(1,1！)－eq\f(1,2！)＋eq\f(1,2！)－eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,7！)－eq\f(1,8！)＝1－eq\f(1,8！)，故C正确.(1＋x)16＝(1＋x)8(1＋x)8，对于(1＋x)16，其含有x8的项的系数为Ceq\o\al(8,16)，对于(1＋x)8(1＋x)8，要得到含有x8的项的系数，须从第一个式子取出k(0≤k≤8，k∈N)个x，再从第二个式子取出(8－k)个x，它们对应的系数为eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=0))Ceq\o\al(k,8)Ceq\o\al(8－k,8)＝eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=0))(Ceq\o\al(k,8))2，所以eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(k=0))(Ceq\o\al(k,8))2＝Ceq\o\al(8,16)，故D正确，故选BCD.三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知随机变量X～N(1，22)，则D(2X＋1)的值为________.答案16解析由题意知随机变量X～N(1，22)，所以D(X)＝22＝4，所以D(2X＋1)＝22×4＝16.13.在三棱柱ABC－A1B1C1中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(A1N,\s\up6(→))＝meq\o(A1C1,\s\up6(→))，且BN∥平面A1CM，则m的值为________.答案eq\f(1,2)解析如图，连接AN交A1C于点P，连接MP，由题知BN∥平面A1CM，平面ABN∩平面A1CM＝MP，所以BN∥MP，所以eq\f(AM,BM)＝eq\f(AP,NP)＝2，又eq\f(AP,NP)＝eq\f(AC,A1N)＝2，所以m＝eq\f(1,2).14.已知集合A＝{u(x)|u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，a，b∈R}，函数f(x)＝x2－1.若函数g(x)满足：对任意u(x)∈A，存在λ，μ∈R，使得u(x)＝λf(x)＋μg(x)，则g(x)的解析式可以是________________.(写出一个满足条件的函数解析式即可)答案g(x)＝x－1(答案不唯一，满足g(1)＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确)解析由题知u(x)＝ax2－