2026步步高高考大二轮复习数学-新背景为导向的压轴题

新背景为导向的压轴题1.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为eq\f(1,2).甲如果第k(k∈N*)轮猜对，则他第k＋1轮也猜对的概率为eq\f(2,3)，如果第k轮猜错，则他第k＋1轮也猜错的概率为eq\f(2,3)；乙如果第k轮猜对，则他第k＋1轮也猜对的概率为eq\f(1,3)，如果第k轮猜错，则他第k＋1轮也猜错的概率为eq\f(1,3).在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响.(1)若前两轮活动中第二轮甲、乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率.(2)若一条信息有n(n>1，n∈N*)种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为P1，P2，…Pn，则称H＝－eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(Pilog2Pi)为该条信息的信息熵(单位为比特)，用于量度该条信息的复杂程度.试求甲、乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H.(3)如果“星队”在每一轮活动中至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：E(Y)<4.(1)解设Aj＝“甲在第j轮活动中猜对成语”，Bj＝“乙在第j轮活动中猜对成语”，Cj＝“甲、乙在第j轮活动中都猜对成语”，其中j＝1，2，…，n，n∈N*.则P(C2)＝P(A1A2)P(B1B2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)P(B1B2)＋P(A1A2)P(eq\o(B,\s\up6(－))1B2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)P(eq\o(B,\s\up6(－))1B2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(C1C2)＝P(A1A2)P(B1B2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)，故P(C1|C2)＝eq\f(P（C1C2）,P（C2）)＝eq\f(\f(1,18),\f(1,4))＝eq\f(2,9).(2)解由题意知X＝0，1，2，由(1)知P(X＝2)＝eq\f(1,4).P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(B,\s\up6(－))1eq\o(B,\s\up6(－))2)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2)P(B1eq\o(B,\s\up6(－))2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2)P(B1eq\o(B,\s\up6(－))2)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(B,\s\up6(－))1eq\o(B,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).故X的信息熵H＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(1,2)log2\f(1,2)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))＝eq\f(3,2).(3)证明第二轮甲猜对的概率为P(A2)＝P(A1A2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，第二轮乙猜对的概率为P(B2)＝P(B1B2)＋P(eq\o(B,\s\up6(－))1B2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，所以P(Aj)＝eq\f(1,2)，P(Bj)＝eq\f(1,2)，其中j＝1，2，…，n，n∈N*，则每一轮甲、乙都猜错的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，因此P(Y＝j)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(j－1)×eq\f(1,4)(j＝1，2，…，n，n∈N*)，则E(Y)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(0)×eq\f(1,4)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(1)×eq\f(1,4)＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－1)×eq\f(1,4)，①所以eq\f(3,4)E(Y)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(1)×eq\f(1,4)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)×eq\f(1,4)，②①－②得，eq\f(1,4)E(Y)＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(1)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－1)×eq\f(1,4)－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)×eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(n))),1－\f(3,4))－eq\f(n,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)－eq\f(n,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)<1，所以E(Y)<4.2.(2024·葫芦岛模拟)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通过操作L(M，N)删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列{an}的通项公式an＝3n－1，n∈N＋，通过“数据漏斗”软件对数列{an}进行L(3，1)操作后得到{bn}，设{an＋bn}前n项和为Sn.(1)求Sn；(2)是否存在不同的实数p，q，r∈N＋，使得Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出所有的(p，q，r)；若不存在，说明理由；(3)若en＝eq\f(nSn,2（3n－1）)，n∈N＋，对数列{en}进行L(3，0)操作得到{kn}，将数列{kn}中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到{pn}，再将{pn}的每一项都加上自身项数，最终得到{cn}，证明：每个大于1的奇平方数都是{cn}中相邻两项的和.(1)解由an＝3n－1，n∈N＋知，当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，eq\f(an,3)∈N＋，故bn＝3n，n∈N＋，则Sn＝4eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))3n－1＝4×eq\f(1－3n,1－3)＝2(3n－1)，n∈N＋.(2)解假设存在，由Sn单调递增，不妨设p<q<r，2Sq＝Sp＋Sr，p，q，r∈N＋，化简得3p－q＋3r－q＝2，∵p－q<0，∴0<3p－q<1，∴1<3r－q<2，0<r－q<log32<1，与“q<r，且q，r∈N＋”矛盾，故不存在.(3)证明由题意，en＝eq\f(nSn,2（3n－1）)＝eq\f(n×2（3n－1）,2（3n－1）)＝n，则e3n＝3n，e3n－2＝3n－2，e3n－1＝3n－1，所以保留e3n－2，e3n－1，则k2n－1＝3n－2，k2n＝3n－1，n∈N＋，又k4n＋1＝6n＋1，k4n＋2＝6n＋2，k4n＋3＝6n＋4，k4n＋4＝6n＋5，n∈N＋，将k4n，k4n＋1删去，得到{pn}，则p2n＋1＝6n＋2，p2n＋2＝6n＋4，c2n＋1＝(6n＋2)＋(2n＋1)＝8n＋3，c2n＋2＝(6n＋4)＋(2n＋2)＝8n＋6，n∈N＋，即c2n－1＝8n－5，c2n＝8n－2，n∈N＋，即cn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4n－1，n＝2k－1，,4n－2，n＝2k，))k∈N＋，记rk＝eq\f(k（k＋1）,2)，下面证明(2k＋1)2＝crk＋crk－1，由r4m＝8m2＋2m，r4m＋1＝8m2＋6m＋1，r4m＋2＝8m2＋10m＋3，r4m＋3＝8m2＋14m＋6，k＝4m时，r4m＝8m2＋2m，r4m＋1＝8m2＋2m＋1，cr4m＋cr4m＋1＝[4(8m2＋2m)－2]＋[4(8m2＋2m＋1)－1]＝64m2＋16m＋1＝(2×4m＋1)2；k＝4m＋1时，r4m＋1＝8m2＋6m＋1，r4m＋1＋1＝8m2＋6m＋2，cr4m＋1＋cr4m+1＋1＝[4(8m2＋6m＋1)－1]＋[4(8m2＋6m＋2)－2]＝64m2＋48m＋9＝[2(4m＋1)＋1]2；k＝4m＋2时，r4m＋2＝8m2＋10m＋3，r4m＋2＋1＝8m