2026年中考数学二轮复习讲练测(全国)专题06多结论选填题小综合(高频考点)(解析版)_第1页
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文档简介

专题06多结论选填题小综合

目录

高频考情深度解读(中考命题规律透视+培优备考要求)

核心考点系统梳理(重难知识图谱+解题结论与高效技巧)

聚焦题型精准解密(5大题型精讲+变式拔高训练)

题型一函数图象与性质多结论判断

题型二几何图形性质多结论判断

题型三动态几何多结论判断

题型四方程与不等式多结论判断

题型五函数与几何跨模块多结论判断

实战演练高效提分(中考仿真模拟+限时训练提升)

多结论选填题小综合是中考数学选填压轴核心题型,分值约3~5分,以选择题(多选/

选正确结论个数)、填空题(填正确结论序号)为主,整体为中档偏难题,侧重考查知识综合

应用、逻辑推理与细节辨析能力,是拉开基础分与高分的关键板块,也是各地中考的必考题型。

基础知识必备:熟练掌握函数(一次、反比例、二次)的图象与性质、几何(三角形、四边形、

圆)的核心定理、方程与不等式的核心知识点(根的判别式、根与系数关系、解集判定);能

结合数形结合、分类讨论思想分析问题;具备逐一验证结论、用排除法简化判断的解题思维;

能准确进行几何计算与代数推导,注重推理的严谨性。

2026中考预测:

题型稳定:函数图象性质、几何图形性质、动态几何为必考类型,函数与几何跨模块综合为

选填压轴最高频考法,方程与不等式多结论判断为基础常考形式;

难度平稳:基础结论侧重单一知识点应用,难点结论侧重多知识点融合,无偏题、怪题,重点

考查结论验证的逻辑与计算准确性;

命题趋势:结论设计更隐蔽,常结合图象、动点、几何计算设置结论,强调细节辨析与推理严

谨性;跨模块综合题占比提升,注重数形结合思想的实际应用,部分题目结合简单生活背景。

题型一函数图象与性质多结论判断

【典例01】(24-25八年级下·湖南湘潭·期末)关于的一次函数,下列说法:

①若,则函数图象经过第一、二、三象限;��=��+4�−1

②若函�=数2图象经过原点,则;

1

③无论为何实数,函数的图�象=总4经过点.

其中正确�的个数是()−4,−1

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查一次函数的图象及性质,一次函数图象上点的坐标特征;熟练掌握一次函数的性质是解

题的关键.根据一次函数的性质即可判断①;把代入即可判断②;把代入解析式求得,

即可判断③.(0,0)�=−4�=−1

【详解】解:①,

一次函数为∵�=2,

∴函数图象经过�=第2一�、+二7、三象限,故正确;

∴②函数图象经过原点,

∵且,

∴4�−,1=故0正确�;≠0

1

③∴�=4,

∵�=�时�+,4�−1=,��+4−1

∴函�数=−的4图象总�经=过−1,故正确.

∴①②③都正确.正−确4个,−数1为3,

故选D.

【典例02】(2025·山东青岛·模拟预测)如图,二次函数的图象与正比例函数的图

2

象相交于A,B两点,已知点A的横坐标为,点B的横坐�标=为��2,+二�次�+函�数图象的对称轴是直线�=��.下

−3�−1

列结论:①;②;③关于x的方程的两根为,;④=.其

21

12

中正确的有�(��<0)3�+2�>0��+��+�=���=−3�=2�=2�

A.个B.个C.个D.个

【答案】1B234

【分析】本题考查二次函数的图象及性质,依据题意,根据所给图象可以得出,,再结合对称轴

,同时令,从而由根与系数的关系,逐个判断可以得�解>.0�<0

2

�=−1��+��+�=��

【详解】解:由图象可得,,,又,

�

∴,�>0�<0−2�=−1

∴�>0,

∴①��正�<确0;

由题意,令,

2

∴��+��+�=,��

2

又二��次+函数�−��+�=0的图象与正比例函数的图象相交于A,B两点,已知点A的横坐标为,

2

点B的横坐�标=为�2�,+��+��=��−3

∴的两根之和为,两根之积为,

2

∴��+�−,��+�=,0−3+2=−1−3×2=−6

�−��

∴−�=−1,�=−6

又6�+�,=0

∴�=2�,

∴3�+�=0,

∴②3�错+误2�,=③�正<确0;

∵,,

�−�

∴−�,=−1�=2�

∴④�=错�误.

综上,正确的有①③,一共2个.

故选:B.

【典例03】(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)如图,矩形的顶点A,E分别在y轴,x轴的正半轴上,

B为的中点,反比例函数的图象经过点B,�且��与�交于点D,连接,,.若

�

���=�(�>0)��𝑂𝑂��△𝑂�

的面积为3,则下列结论:①与的面积一定相等;②的面积为1;③;④D为

的中点.其中正确的结论是(△�)𝑂△�𝐴△����=4𝐴

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义,关键是找到图形面积与反比例函数的关系;

理解题意,结合矩形的性质以及中线与面积的关系,得,设,根据

1

△���△���△���

的面积为,列出方程求得,在论证的过程中逐一判断�结论=的�正确性=.2���,�△𝑂�

【详解】解3:连接,��

��

∵四边形是矩形,

∴𝑂𝐴,

∵�△是𝑂�=的�中△点𝐴�,

∴���,

1

△���△���△���

设�=,�=2�

∵��,在�反比例函数图象上,

∴�,�,

1

△���△�𝐴

∴�=�=2��,故①正确;

∴�△�𝑂=�,△𝑂�=�△𝑂�=�△𝑂�

即:𝑂=为��的中点,故④正确;

∵��的�面积为,

△𝑂�3

∴矩形,

�𝑂𝐴−�△𝑂�−�△𝑂�−�△���=3

∵分别是的中点,,

∴�,���,𝐴��,∥𝐴,𝐴∥𝑂

1

��=��=�,𝑂=��=2�

∴,

1111

解得2�:×�−2�,�−2��−2�×2�=3

即:��=4,②正确;

111

△�𝑂

∴�,故=③2�正×确2�;=4��=1

故选�:=D4

【变式01】(2024·辽宁·模拟预测)一次函数与的图象如图所示,下列结论中,正

确的有()�1=��+��2=��+�

①对于函数来说,y随x的增大而减小;

②函数�2=��的+图�象经过第一、二、四象限;

1

③�=��+�

�−�

�−�=2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式,一次函数的图象与性质,利用数形结合是解题的关键.

【详解】解:由图象可知,对于函数来说,y随x的增大而增大;函数的图象经过第

一、二、四象限,故①错误,②正确�.2=��+��1=��+�

由图象可知,一次函数,的图象的交点横坐标为2.

∴,�1�2

∴2�+�=2�,+故�③正确.

�−�

�−�=2

故答案:C.

【变式02】.(25-26九年级上·广东东莞·期末)如图,一次函数与反比例函数

9

�=��≥0�=��>0

的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交的图象于点B,点A的横坐

�=�

标为1.有以下结论:

①点C的坐标为;

②当时,一3次,3函数的值小于反比例函数的值.

�>3

③将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点.

9

���=��>0

④连接,,则的面积为12.

其中结论��正确𝑂的个数△是�(��)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,利用数形结合思想求解是解答的关键.

联立方程组可求得点C坐标,可判断①;由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判

断②;根据一次函数图象的平移,结合反比例函数图象的位置可判断③;先求得点A、B的坐标,再利用坐

标与图形性质求得的面积可判断④,进而可得答案.

△𝑂�

【详解】解:∵一次函数与反比例函数的图象交于点C,

9

�=��≥0�=��>0

∴联立方程组,解得或(舍去),

�=�

9�=3�=−3

∴点C的坐标为�=�,故①正�确=;3�=−3

由图象知,当3,3时,一次函数图象位于反比例函数图象的上方,

∴当时,�一>次3函数的值大于反比例函数的值,故②错误;

�>3

∵将直线向上平移k个单位后,直线始终经过第一象限,又反比例函数的图象位于第一

9

象限,�����=��>0

∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点,故③正确;

9

���=��>0

∵点A在反比例函数的图象上,且点A的横坐标为1.

9

�=��>0

∴当时,,则点A坐标为,

�=1�=91,9

又∵点A作x轴垂线,垂足为点D,交的图象于点B,

∴点B坐标为,�=�

∴,1,1

如图��,=8

则,故④正确,

11

�△𝑂�=�△𝑂�+�△𝑂�=2×8×1+2×8×3−1=4+8=12

综上,结论正确的个数是3个,

故选:C.

【变式03】如图,二次函数的图象与轴正半轴交于点,对称轴为直线,

25

以下结论:①;②�=��+��+;�③(�≠0);④�若点2,0均在函数�图=象1

上,则���>;0⑤对4于�任+意2�实+数�=,0都有5�+4�>0.其−中4,结�1论,正1,确�2的,有2(.5,�3)

2

�1>�3>�2��+�≤��+��

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明

等知识点,解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息,确定的符号及它

们之间的关系,并灵活运用二次函数的对称性和最值性质,根据抛物线开口向上,判断�,�.,�根据对称轴

,判断,结论①正确,是当时的函数值.利用抛物�线>的0对称性,

和�=1,关�于=对−称2�轴<0对称,所以4�+2时�+的�函=数0值与�=2时的函数值相�等,②错误;将代入�=2

5

�=0中�,=结1合,�得=2,③�错=误0;根据二次函数的性质,点到对2,称0轴的距�离=

2

越��远+,�函�数+�值(�越≠大0()因为开口�向=上−)2�,即可5判�+断4④�正=确0;将等价转化为恒

22

�+�≤��+����−1≥0

成立,即可判断⑤正确.

【详解】解:由图象开口向上得,对称轴得,

与轴交点在负半轴得,故�>0,①正确�=;1�=−2�<0

当�时,�<0,由��对�称>性0,关于的对称点为,

此时�=2�,=故4�+2�+�,②错误�;=2�=1�=0

将�=代�入<04�+2�+�<0中,结合,得,③错误;

52

点2,0距�对=称�轴�最+远�,�+�(�≠在0顶)点,�=−距2对�称轴较5�近+,4故�=0,④正确;

由−4,�1,知1,�2等价于2.5,�3恒成立,⑤正�确1>,�3>�2

22

故�①=④−⑤2正�确,�共+3�个≤,��+����−1≥0

故选:C.

【变式04】(2024·四川广元·二模)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴

2

的正半轴交于点C,对称轴是直线,其顶点在第�=二�象�限+,给��出+以�下�结<论0:①当时,

2

;②若且�=−1,则;③若,则�≠−1④若�−�,>��+

221

����1+��1=��2+��2�1≠�2�1+�2=2𝑂=��𝑂=−��10

,,,连接,点P在抛物线的对称轴上,且,则,.

�03��∠�𝑂=90°�−14

其中正确的有()

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数综合,二次函数图象的性质等等,由抛物线开口向下,对称轴为直线,

�=−1

得到当时,最大值,据此可判断①;根据题意可得直线和直线关于对称轴

�=−1�=�−�+��=�1�=�2

对称,则,据此可判断②;先由对称轴公式得到,再由,得到,,点B

12

的坐标为�+�,=−,2把,代入抛物线解析式中求出�=2�,则点�B�的=坐�标�为�,−�,据0此可判

2�−11

断③;先求�出−20,,设�−�,0,利用勾股定理得到�=�,则−�0,

22222

解得,�据−此3可判0断④�.−1���+��=𝑂�−6�+10+18=�+4

�=4

【详解】解:∵抛物线开口向下,对称轴为直线,

�=−1

∴当时,最大值,

∴当�=−1时,�=�−�+�,即,故①正确;

22

当�≠−1�−�+且�>��时+�,�则+直�线�−�和>直�线�+��关于对称轴对称,

22

∴��1+��1=�,�2故+②�错�2误;�1≠�2�=�1�=�2

∵�抛1物+线�2对=称−轴2为直线,

∴,�=−1

�

∴−2�=−,1

∵�=2�,

∴𝑂=,��,

∴�点−B�的坐0标为,,

把,代入抛�−物2线解0析式中得,

2

∴�−�0,��−2��+�=0

2�−1

�=�

∴,

1

�−2=−�

∴点B的坐标为,,

1

−�0

∴,故③正确;

1

∵𝑂=,−�,

∴�1,0,

设�−3,0,

∴�−1�,,

22222222

𝑂=−1−−3+�−0,=�+4��=−1−0+�−3=�−6�+10

222

�∵�=−3−0,+0−3=18

∴∠�𝑂=90°,

222

∴��+��=𝑂,

22

解得�−6�,+10+18=�+4

∴�=,4,故④正确;

故选�:−1A.4

【变式05】若二次函数的图象向右平移个单位长度,得到的新抛物线关于轴对

2

称.则下列说法正确的是�_=__�_�__+.�(�填+序��号>)01�

;

�

①�=2

当时,代数式的最小值为;

3522

②对于2≤任�意≤实2数,不等式�+�−5�+8一定3成立;

2

③,�为该�二�次+函�数�图−象�上+任�≥意0两点,且.当时,一定有.

④【答�案�】1,�1��2,�2�1<�2�1+�2+2>0�1>�2

【分析】本①题③主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几

何变换、二次函数的最值,由平移可得二次函数的图象的对称轴为直线,从

2

而判断;由,则有�=��+��+��>0�=−1,

222222

把①代入即�可=判2断�;由�+�代−入5�+8=�+2�即−可5×判2断�+8;=根5据�题−意1得0�+8=5�,−则1直线+3

32�1+�2

�=2②�=2���+��−�+�③2>−1�=

在对称轴右侧,可得点离对称轴的距离比点离对称轴的距离近,从而判断;熟练掌握并能灵活运

�1+�2

用2是解题的关键.��④

【详解】解:∵二次函数的图象向右平移个单位长度,得到的新抛物线关于轴

2

对称,�=��+��+��>01�

∴二次函数的图象的对称轴为直线,

2

∴�,=��+��+��>0�=−1

�

−2�=−1

∴,故正确;

�

∴�=2,①

∴�=2�,

222222

∵�+�−,5�+8=�+2�−5×2�+8=5�−10�+8=5�−1+3

35

2≤�≤2

∴当时,的最小值为,故错误;

2

322317

∵�=2,�+�−5�+852−1+3=4②

∴�=2�,故正确;

2222

∵��+��−�+,�=��+2��−�+2�=��+2��+�=��+1≥0③

12

∴�+�+2,>0

�1+�2

2>−1

∴直线在对称轴右侧,

�1+�2

∵�=,2

∴�点1<到�对2称轴的距离比点离对称轴的距离近,

∵�,�

∴�>0,故错误,

综上�1可<知�2:④正确,

故答案为:①③.

【变式06】①(③2025·湖北武汉·模拟预测)二次函数(a,b,c为常数,)的图像经

2

过点,下列四个结论:①;②�;③=若��+��+,�则对任意x,都有�>�>�;

22

④记S1,为0函数的最小值,若��<0�恒成−立4�,�>则0�+�;=其0中正确的有______�_�__+__�_�__+__�.≥2�−2

【答案】①②�<�<��−�>2�

【分析】首先将代入得到,然后由得到,,即可判

2

断①;根据题意判1断,0出抛物�线=与��x轴+有��两+个�交点�,即+可�+判�断=②0;根据题意�得>到�>�,�>0,然�后<令0

2

,得到�=0,即�可=−判�断③;首先�得=到��+

22

��+�−,然2�后+表2示出Δ=−2,然−后4�根�据+2=4−得4�到−�+2=4�−,1然后≥表0示出,取�=

2

�−�99�

−�−��=−4��>�>��>−�−�>�−4�<�<−16�=

,,代入即可判断④.

99�

【−4详�解】�=解−:1①6∵二次�函−数�的图像经过点,

2

∴,�=��+��+�1,0

∵�+�+�,=0

∴�>�,>�,

∴�>0,�故<①0正确;

②∵��<0,

∴抛物�>线0开口向上,

∵,

∴�抛<物0线与y轴交于负半轴,

又∵二次函数的图像经过点,

2

∴抛物线与x轴�=有�两�个+交�点�+,�1,0

∴,故②正确;

2

�−4��>0

③∵,,

∴�+,�+�=0,�+�=0

∴�若=对0任意�=x,−都�有,即,

22

∴令��+��+,�≥2�−2��+��+�−2�+2≥0

2

∴�=��+��+�−,2�+2

2

∴�=��−2�+�+2,

22

∴Δ抛=物线−2−4��+2=4−与4�x轴−�有+12个=交4点�或−21个交≥点0,

2

∴�=��−2�+可�能+小2于0,故③错误;

2

④∵�=��−2�+,�+2

∴�+�+�,=0

∵�二=次−函�数−�,

2

∴最小值�=��+��+�,

222

4��−�4��−−�−��−�

∵�=,4�=4�=−4�

∴�>�>�,

∴�>−�−�>,�

�

−2�<�<−2

∴,

�

2<−�<2�

∴,

3�

2<�−�<3�

∴,

2

9�22

4<�−�<9�

∴,

2

229�

−9�<−�−�<−4

∴,

2

9�−�9�

−4�<−4�<−16

∴,

99�

−4�<�<−16

∴取,,

99�

�=−4��=−16

∴,故④错误.

9�927�

综上�−所�述=,−其16中−正确−的4�有=①②16.<2�

故答案为:①②.

【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数和x轴交点问题,二次函数

2

�=��+

系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,熟练掌

�握�二+次�函数的性质是关键.

题型二几何图形性质多结论判断

【典例01】(24-25八年级下·江苏南京·期中)如图,在四边形中,,相交于点O,且

,动点E从点B开始,沿折线运动至点D停�止��,�与��相�交�于点N,点F是�线�段=𝑂的=

�中�点=,�连�接,有下列结论:①四边形�—�—是�矩形;②当点E在边𝐴上��,且时,点E是𝐴的

中点;③当𝑂,时,线段�长�度𝑂的最大值为2;④当点E�在�边上�,�且=4𝑂时,��

是等边三角�形�.=其3中�正�确=的4结论有(�)���∠�𝑂=60°△𝑂�

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定,三角形中位线定理,等边三角形的判定等,由对角线互相平

分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形,即可判断①;可证明是中位线,

,而点在上,据此可判��断�②�;根据,则有最大𝑂值时△,�𝐴有最大值�,�则=点𝑂与=点

1

4𝑂=2�����𝑂=2����𝑂�

重合时,的最大值为4,则长度的最大值为2.据此可判断③;根据,

�据此可判断�④�.𝑂∠𝑂�=∠�𝑂+∠�𝑂>60°

【详解】解:①∵,

∴四边形是平�行�四=边𝑂形=,��=𝑂,

∴平行四边��形𝑂是矩形,故①��正=确�;�

②由①可知,四��边𝑂形是矩形,

∴,��𝑂

∵O��,=F分𝑂别是,的中点,点在上,

∴是的�中�位�线�,���

∴𝑂△��,�

��=2𝑂

∵,

∴𝑂=4𝑂,

∴�点�E=是��=的2中��点,故②正确;

③∵是��的中位线,

∴𝑂△�,𝐴

1

∴当𝑂=的2�值�最大时,的值最大,

当点�E�与点D重合时�,�的值最大,此时,

∴线段长度的最大值是��2,故③正确;��=��=��=4

④当点�E�在边上,且时,,

∴不是等��边三角形∠�,�故�④=错60误°.∠𝑂�=∠�𝑂+∠�𝑂>60°

综上△所𝑂述�,正确的结论有3个,

故选:C.

【变式01】如图,在菱形ABCD中,,E、F分别是AB,AD的中点,DE、BF相交于点G,连接

∠�=60°

BD,CG.有下列结论:①;②;③;④,其中

32

△���4

正确的结论有()∠���=120°��+��=𝐵△���≌△𝐵��=��

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°,由三角形的内角和为180°就可

以求出∠BGD的值;得出∠GDC=∠GBC=90°,DG=BG,由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以

得出BG+DG=CG;在直角三角形GBC中,CG>BC=BD,故△BDF与△CGB不全等;由三角形的面积公

式系可判断④.

【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD.∠A=∠BCD.

∵∠A=60°,

∴∠BCD=60°,

∴△ABD是等边三角形,△BDC是等边三角形.

∴∠ADB=∠ABD=60°,∠CDB=∠CBD=60°.

∵E,F分别是AB,AD的中点,

∴∠BFD=∠DEB=90°,

∴∠GDB=∠GBD=30°,

∴∠BGD=180°-30°-30°=120°,

故①正确;

∵∠GDB=∠GBD=30°,

∴DG=BG,

在△CDG和△CBG中,

,

𝑂=𝑂

𝐵=𝐵

∴�△�=CD�G�≌△CBG(SSS),

∴∠DGC=∠BGC=60°.

∵∠BFD=∠DEB=90°,,,

∴∠GDC=∠GBC=90°,��∥𝑂��∥��

∴∠GCD=30°,

∴CG=2GD=GD+GD,

∴CG=DG+BG.

故②正确.

∵△GBC为直角三角形,

∴CG>BC,

∴CG≠BD,

∴△BDF与△CGB不全等.

故③错误;

∵sinA=

��

��

∴

3

��=2��

∵=AD•BF

1

�△���2

=AB×

13

22��

=,

32

故4④�正�确;

∴正确的有:①②④共三个.

故选:B.

【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质,以及锐角三角函

数的知识,综合的知识点较多,注意各知识点的融会贯通.

【变式02】(2025·黑龙江哈尔滨·三模)如图,在正方形中,与交于点,为延长线上的一

点,,连接,分别交,于点,,连接��,�则�下列�结�论:��①�;②���;

𝑂

③�平�分=��;④����.��其中正�确�结论的个��数是()��=2tan∠�=22−2

2

��∠𝑂�2��=��⋅��

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质等

知识点,解题的关键是熟练掌握正方形的性质.

利用正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质逐项进行判断即可.

【详解】解:①假设正方形的边长为,根据勾股定理得,

��𝑂,���=��=2�

∵∠�𝑂=∠𝑂�,=90°,∠���=∠𝑂�

∴△�𝑂∽△�,��

𝑂��2

故∴�①�错=误��,=不2符合题意;

②由①可得,

���

故②错误,不ta符n∠合�题=意��;=�+2�=2−1

③根据正方形的性质可得,垂直平分线段,

����

,

∴∠���=∠���,,∠𝑂�=∠𝑂�

∴∠𝑂�=∠,𝑂�

∵��=��,

∴∠���=,∠�

∵𝑂∥��,

∴综∠上�,=∠𝑂�,

即平∠分���=,∠𝑂�

故�③�正确,∠�符�合�题意;

④由③可得,

∠���,=∠���,∠���=∠�

∴△���∽,△�𝑂

����

∴��=��

∴,

2

由①��可得=��⋅��,

∴��=2�,�

2

故2④�正�确=,�符�合⋅�题�意;

故选:B.

【变式03】(2025·河北石家庄·三模)如图,直角三角板中,,,.已

知斜边的端点A,B分别在相互垂直的射线,上�滑�动�,连∠接�𝑂.=给90出°下∠列�结��论=:6①0°若�C�,=O3两点

关于AB��对称,则;②C,O两点距离�的�最大�值�为4;③若�平�分,则;④在滑动过程

中,始终等于𝑂60=°.3其中所有正确结论的序号是()������⊥��

∠���

A.①②B.①③C.①④D.②③

【答案】C

【分析】在中,由,,,求出,.由轴对称的

性质得Rt△���,可判∠断�①𝑂正=确9;0°取∠�的��中=点6为0°,�连�接=3、,��由=三2角形3三�边�关=系3可知当经过

点时,𝑂=最�大�且=、3两点距离的最大值为��,可判�断②不正𝐴确;�当���,则

四边�形��是矩形�,�满足与相互平分,2但3不成立,可判断∠�③�不�正=确∠�;𝑂=∠�𝑂=90°

【详解】��解��:在中��,��,��⊥��,,

∴Rt△���,∠�𝑂=90°∠���=,60°��=3

∴�若�=、��两÷点s关in于60°=对2称3,如��图=,��÷tan60°=3

∴�为�的垂直平�分�线,1

∴����,故①正确;

𝑂=��=3

②如图,取的中点为,连接、.

∵1��,�𝐴𝐴

∴∠�𝑂=∠�𝑂=90°.

1

当𝐴经=过𝐴点=时2�,�=最3大且、两点距离的最大值为,故②不正确;

③�如�图,当�����,23

∴四边形2∠�是�矩�形=,∠�𝑂=∠�𝑂=90°

∴与�相𝑂互�平分,但不成立,故③不正确;

������⊥��

④延长至点F,如图1,

∵𝐴,

��=𝐴

∴,

∴∠���=∠���.

同理∠�:��=∠���+∠���=2∠���,

∴∠���=2∠�𝐴,∠���=2∠���,

∴2∠���=∠���=∠�,��故+④∠正𝐴确�.=2∠�𝐴+2∠�𝐴=2∠���

故选∠�C�.�=∠���=60°

【点睛】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,三角形外角的性质,矩形的性质,直角三角形斜边中

线的性质,熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

【变式04】如图,点、分别在轴、轴上,以为直径的圆经过原点,是的中点,连

结,.下列结论�:①��;�②𝑂>�;�③若��,,则�的�面�积�等�于5;④若

����,则点的坐标∠�是𝑂=90°.其中��正=确�的�结论有�(�=)4𝑂=2△���

𝑂−𝑂=4�1,−1

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题考查圆的有关知识,勾股定理及三角形全等等知识点,关键是综合运用几何知识点.根据圆

周角定理判断①,弧、弦、圆心角的关系判断②,求出,根据等腰直角三角形的性质可判断③,作

轴于,轴于,通过构造全等三角形��,可判断④.𝑂⊥�

【详解�】�解�:⊥�是�直径,△�𝑂≌△�𝐴

∵,�故�①符合题意;

∴∠是�𝑂=中90点°,

∵��𝑂,故②符合题意;

∴��=��,

22222

∵��=𝑂,+𝑂=2+4

∴��=2是等5腰直角三角形,

∵△�𝑂

,

2

∴��=��=2��=10

的面积为,故③符合题意;

2

(10)

作∴△�𝑂轴于,2=轴5于,

𝑂⊥��𝐴⊥��

,

∴∠���=∠�,��=90°

∵∠�𝐴+∠�𝑂,=∠�𝑂+∠�𝑂=90°

∴∠�𝐴=,∠�𝑂

∵��=��,

∴△�𝑂≌△,�𝐴,

∴𝑂=是𝐴正方��形=,��

∴设�正�方𝑂形的边长为,

�,

∴𝑂−�=𝑂+�,

∴2�=�,�−𝑂=4

∴点�=坐2标是,故④不符合题意,

∴故选�:B.(2,−2)

【变式05】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠MPN为直角,使点P与点O

重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM,

PN分别交AB,BC于E,F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论:①EF=OE;②S四边形OEBF:S正方

2

形ABCD=1:4;③BE+BF=OA;④在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;⑤OG•BD

3

24

=AE2+CF2.其中结论正确的个数是()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】①由四边形是正方形,直角,易证得(ASA),则可证得结论;②由

��𝑂∠���△�𝐴≅△�𝑂

①易

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