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文档简介
专题06多结论选填题小综合
目录
高频考情深度解读(中考命题规律透视+培优备考要求)
核心考点系统梳理(重难知识图谱+解题结论与高效技巧)
聚焦题型精准解密(5大题型精讲+变式拔高训练)
题型一函数图象与性质多结论判断
题型二几何图形性质多结论判断
题型三动态几何多结论判断
题型四方程与不等式多结论判断
题型五函数与几何跨模块多结论判断
实战演练高效提分(中考仿真模拟+限时训练提升)
多结论选填题小综合是中考数学选填压轴核心题型,分值约3~5分,以选择题(多选/
选正确结论个数)、填空题(填正确结论序号)为主,整体为中档偏难题,侧重考查知识综合
应用、逻辑推理与细节辨析能力,是拉开基础分与高分的关键板块,也是各地中考的必考题型。
基础知识必备:熟练掌握函数(一次、反比例、二次)的图象与性质、几何(三角形、四边形、
圆)的核心定理、方程与不等式的核心知识点(根的判别式、根与系数关系、解集判定);能
结合数形结合、分类讨论思想分析问题;具备逐一验证结论、用排除法简化判断的解题思维;
能准确进行几何计算与代数推导,注重推理的严谨性。
2026中考预测:
题型稳定:函数图象性质、几何图形性质、动态几何为必考类型,函数与几何跨模块综合为
选填压轴最高频考法,方程与不等式多结论判断为基础常考形式;
难度平稳:基础结论侧重单一知识点应用,难点结论侧重多知识点融合,无偏题、怪题,重点
考查结论验证的逻辑与计算准确性;
命题趋势:结论设计更隐蔽,常结合图象、动点、几何计算设置结论,强调细节辨析与推理严
谨性;跨模块综合题占比提升,注重数形结合思想的实际应用,部分题目结合简单生活背景。
题型一函数图象与性质多结论判断
【典例01】(24-25八年级下·湖南湘潭·期末)关于的一次函数,下列说法:
①若,则函数图象经过第一、二、三象限;��=��+4�−1
②若函�=数2图象经过原点,则;
1
③无论为何实数,函数的图�象=总4经过点.
其中正确�的个数是()−4,−1
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象及性质,一次函数图象上点的坐标特征;熟练掌握一次函数的性质是解
题的关键.根据一次函数的性质即可判断①;把代入即可判断②;把代入解析式求得,
即可判断③.(0,0)�=−4�=−1
【详解】解:①,
一次函数为∵�=2,
∴函数图象经过�=第2一�、+二7、三象限,故正确;
∴②函数图象经过原点,
∵且,
∴4�−,1=故0正确�;≠0
1
③∴�=4,
∵�=�时�+,4�−1=,��+4−1
∴函�数=−的4图象总�经=过−1,故正确.
∴①②③都正确.正−确4个,−数1为3,
故选D.
【典例02】(2025·山东青岛·模拟预测)如图,二次函数的图象与正比例函数的图
2
象相交于A,B两点,已知点A的横坐标为,点B的横坐�标=为��2,+二�次�+函�数图象的对称轴是直线�=��.下
−3�−1
列结论:①;②;③关于x的方程的两根为,;④=.其
21
12
中正确的有�(��<0)3�+2�>0��+��+�=���=−3�=2�=2�
A.个B.个C.个D.个
【答案】1B234
【分析】本题考查二次函数的图象及性质,依据题意,根据所给图象可以得出,,再结合对称轴
,同时令,从而由根与系数的关系,逐个判断可以得�解>.0�<0
2
�=−1��+��+�=��
【详解】解:由图象可得,,,又,
�
∴,�>0�<0−2�=−1
∴�>0,
∴①��正�<确0;
由题意,令,
2
∴��+��+�=,��
2
又二��次+函数�−��+�=0的图象与正比例函数的图象相交于A,B两点,已知点A的横坐标为,
2
点B的横坐�标=为�2�,+��+��=��−3
∴的两根之和为,两根之积为,
2
∴��+�−,��+�=,0−3+2=−1−3×2=−6
�−��
∴−�=−1,�=−6
又6�+�,=0
∴�=2�,
∴3�+�=0,
∴②3�错+误2�,=③�正<确0;
∵,,
�−�
∴−�,=−1�=2�
∴④�=错�误.
综上,正确的有①③,一共2个.
故选:B.
【典例03】(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)如图,矩形的顶点A,E分别在y轴,x轴的正半轴上,
B为的中点,反比例函数的图象经过点B,�且��与�交于点D,连接,,.若
�
���=�(�>0)��𝑂𝑂��△𝑂�
的面积为3,则下列结论:①与的面积一定相等;②的面积为1;③;④D为
的中点.其中正确的结论是(△�)𝑂△�𝐴△����=4𝐴
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义,关键是找到图形面积与反比例函数的关系;
理解题意,结合矩形的性质以及中线与面积的关系,得,设,根据
1
△���△���△���
的面积为,列出方程求得,在论证的过程中逐一判断�结论=的�正确性=.2���,�△𝑂�
【详解】解3:连接,��
��
∵四边形是矩形,
∴𝑂𝐴,
∵�△是𝑂�=的�中△点𝐴�,
∴���,
1
△���△���△���
设�=,�=2�
∵��,在�反比例函数图象上,
∴�,�,
1
△���△�𝐴
∴�=�=2��,故①正确;
∴�△�𝑂=�,△𝑂�=�△𝑂�=�△𝑂�
即:𝑂=为��的中点,故④正确;
∵��的�面积为,
△𝑂�3
∴矩形,
�𝑂𝐴−�△𝑂�−�△𝑂�−�△���=3
∵分别是的中点,,
∴�,���,𝐴��,∥𝐴,𝐴∥𝑂
1
��=��=�,𝑂=��=2�
∴,
1111
解得2�:×�−2�,�−2��−2�×2�=3
即:��=4,②正确;
111
△�𝑂
∴�,故=③2�正×确2�;=4��=1
故选�:=D4
【变式01】(2024·辽宁·模拟预测)一次函数与的图象如图所示,下列结论中,正
确的有()�1=��+��2=��+�
①对于函数来说,y随x的增大而减小;
②函数�2=��的+图�象经过第一、二、四象限;
1
③�=��+�
�−�
�−�=2
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式,一次函数的图象与性质,利用数形结合是解题的关键.
【详解】解:由图象可知,对于函数来说,y随x的增大而增大;函数的图象经过第
一、二、四象限,故①错误,②正确�.2=��+��1=��+�
由图象可知,一次函数,的图象的交点横坐标为2.
∴,�1�2
∴2�+�=2�,+故�③正确.
�−�
�−�=2
故答案:C.
【变式02】.(25-26九年级上·广东东莞·期末)如图,一次函数与反比例函数
9
�=��≥0�=��>0
的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交的图象于点B,点A的横坐
�=�
标为1.有以下结论:
①点C的坐标为;
②当时,一3次,3函数的值小于反比例函数的值.
�>3
③将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点.
9
���=��>0
④连接,,则的面积为12.
其中结论��正确𝑂的个数△是�(��)
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,利用数形结合思想求解是解答的关键.
联立方程组可求得点C坐标,可判断①;由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判
断②;根据一次函数图象的平移,结合反比例函数图象的位置可判断③;先求得点A、B的坐标,再利用坐
标与图形性质求得的面积可判断④,进而可得答案.
△𝑂�
【详解】解:∵一次函数与反比例函数的图象交于点C,
9
�=��≥0�=��>0
∴联立方程组,解得或(舍去),
�=�
9�=3�=−3
∴点C的坐标为�=�,故①正�确=;3�=−3
由图象知,当3,3时,一次函数图象位于反比例函数图象的上方,
∴当时,�一>次3函数的值大于反比例函数的值,故②错误;
�>3
∵将直线向上平移k个单位后,直线始终经过第一象限,又反比例函数的图象位于第一
9
象限,�����=��>0
∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点,故③正确;
9
���=��>0
∵点A在反比例函数的图象上,且点A的横坐标为1.
9
�=��>0
∴当时,,则点A坐标为,
�=1�=91,9
又∵点A作x轴垂线,垂足为点D,交的图象于点B,
∴点B坐标为,�=�
∴,1,1
如图��,=8
则,故④正确,
11
�△𝑂�=�△𝑂�+�△𝑂�=2×8×1+2×8×3−1=4+8=12
综上,结论正确的个数是3个,
故选:C.
【变式03】如图,二次函数的图象与轴正半轴交于点,对称轴为直线,
25
以下结论:①;②�=��+��+;�③(�≠0);④�若点2,0均在函数�图=象1
上,则���>;0⑤对4于�任+意2�实+数�=,0都有5�+4�>0.其−中4,结�1论,正1,确�2的,有2(.5,�3)
2
�1>�3>�2��+�≤��+��
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明
等知识点,解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息,确定的符号及它
们之间的关系,并灵活运用二次函数的对称性和最值性质,根据抛物线开口向上,判断�,�.,�根据对称轴
,判断,结论①正确,是当时的函数值.利用抛物�线>的0对称性,
和�=1,关�于=对−称2�轴<0对称,所以4�+2时�+的�函=数0值与�=2时的函数值相�等,②错误;将代入�=2
5
�=0中�,=结1合,�得=2,③�错=误0;根据二次函数的性质,点到对2,称0轴的距�离=
2
越��远+,�函�数+�值(�越≠大0()因为开口�向=上−)2�,即可5判�+断4④�正=确0;将等价转化为恒
22
�+�≤��+����−1≥0
成立,即可判断⑤正确.
【详解】解:由图象开口向上得,对称轴得,
与轴交点在负半轴得,故�>0,①正确�=;1�=−2�<0
当�时,�<0,由��对�称>性0,关于的对称点为,
此时�=2�,=故4�+2�+�,②错误�;=2�=1�=0
将�=代�入<04�+2�+�<0中,结合,得,③错误;
52
点2,0距�对=称�轴�最+远�,�+�(�≠在0顶)点,�=−距2对�称轴较5�近+,4故�=0,④正确;
由−4,�1,知1,�2等价于2.5,�3恒成立,⑤正�确1>,�3>�2
22
故�①=④−⑤2正�确,�共+3�个≤,��+����−1≥0
故选:C.
【变式04】(2024·四川广元·二模)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴
2
的正半轴交于点C,对称轴是直线,其顶点在第�=二�象�限+,给��出+以�下�结<论0:①当时,
2
;②若且�=−1,则;③若,则�≠−1④若�−�,>��+
221
����1+��1=��2+��2�1≠�2�1+�2=2𝑂=��𝑂=−��10
,,,连接,点P在抛物线的对称轴上,且,则,.
�03��∠�𝑂=90°�−14
其中正确的有()
A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数综合,二次函数图象的性质等等,由抛物线开口向下,对称轴为直线,
�=−1
得到当时,最大值,据此可判断①;根据题意可得直线和直线关于对称轴
�=−1�=�−�+��=�1�=�2
对称,则,据此可判断②;先由对称轴公式得到,再由,得到,,点B
12
的坐标为�+�,=−,2把,代入抛物线解析式中求出�=2�,则点�B�的=坐�标�为�,−�,据0此可判
2�−11
断③;先求�出−20,,设�−�,0,利用勾股定理得到�=�,则−�0,
22222
解得,�据−此3可判0断④�.−1���+��=𝑂�−6�+10+18=�+4
�=4
【详解】解:∵抛物线开口向下,对称轴为直线,
�=−1
∴当时,最大值,
∴当�=−1时,�=�−�+�,即,故①正确;
22
当�≠−1�−�+且�>��时+�,�则+直�线�−�和>直�线�+��关于对称轴对称,
22
∴��1+��1=�,�2故+②�错�2误;�1≠�2�=�1�=�2
∵�抛1物+线�2对=称−轴2为直线,
∴,�=−1
�
∴−2�=−,1
∵�=2�,
∴𝑂=,��,
∴�点−B�的坐0标为,,
把,代入抛�−物2线解0析式中得,
2
∴�−�0,��−2��+�=0
2�−1
�=�
∴,
1
�−2=−�
∴点B的坐标为,,
1
−�0
∴,故③正确;
1
∵𝑂=,−�,
∴�1,0,
设�−3,0,
∴�−1�,,
22222222
𝑂=−1−−3+�−0,=�+4��=−1−0+�−3=�−6�+10
222
�∵�=−3−0,+0−3=18
∴∠�𝑂=90°,
222
∴��+��=𝑂,
22
解得�−6�,+10+18=�+4
∴�=,4,故④正确;
故选�:−1A.4
【变式05】若二次函数的图象向右平移个单位长度,得到的新抛物线关于轴对
2
称.则下列说法正确的是�_=__�_�__+.�(�填+序��号>)01�
;
�
①�=2
当时,代数式的最小值为;
3522
②对于2≤任�意≤实2数,不等式�+�−5�+8一定3成立;
2
③,�为该�二�次+函�数�图−象�上+任�≥意0两点,且.当时,一定有.
④【答�案�】1,�1��2,�2�1<�2�1+�2+2>0�1>�2
【分析】本①题③主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几
何变换、二次函数的最值,由平移可得二次函数的图象的对称轴为直线,从
2
而判断;由,则有�=��+��+��>0�=−1,
222222
把①代入即�可=判2断�;由�+�代−入5�+8=�+2�即−可5×判2断�+8;=根5据�题−意1得0�+8=5�,−则1直线+3
32�1+�2
�=2②�=2���+��−�+�③2>−1�=
在对称轴右侧,可得点离对称轴的距离比点离对称轴的距离近,从而判断;熟练掌握并能灵活运
�1+�2
用2是解题的关键.��④
【详解】解:∵二次函数的图象向右平移个单位长度,得到的新抛物线关于轴
2
对称,�=��+��+��>01�
∴二次函数的图象的对称轴为直线,
2
∴�,=��+��+��>0�=−1
�
−2�=−1
∴,故正确;
�
∴�=2,①
∴�=2�,
222222
∵�+�−,5�+8=�+2�−5×2�+8=5�−10�+8=5�−1+3
35
2≤�≤2
∴当时,的最小值为,故错误;
2
322317
∵�=2,�+�−5�+852−1+3=4②
∴�=2�,故正确;
2222
∵��+��−�+,�=��+2��−�+2�=��+2��+�=��+1≥0③
12
∴�+�+2,>0
�1+�2
2>−1
∴直线在对称轴右侧,
�1+�2
∵�=,2
∴�点1<到�对2称轴的距离比点离对称轴的距离近,
∵�,�
∴�>0,故错误,
综上�1可<知�2:④正确,
故答案为:①③.
【变式06】①(③2025·湖北武汉·模拟预测)二次函数(a,b,c为常数,)的图像经
2
过点,下列四个结论:①;②�;③=若��+��+,�则对任意x,都有�>�>�;
22
④记S1,为0函数的最小值,若��<0�恒成−立4�,�>则0�+�;=其0中正确的有______�_�__+__�_�__+__�.≥2�−2
【答案】①②�<�<��−�>2�
【分析】首先将代入得到,然后由得到,,即可判
2
断①;根据题意判1断,0出抛物�线=与��x轴+有��两+个�交点�,即+可�+判�断=②0;根据题意�得>到�>�,�>0,然�后<令0
2
,得到�=0,即�可=−判�断③;首先�得=到��+
22
��+�−,然2�后+表2示出Δ=−2,然−后4�根�据+2=4−得4�到−�+2=4�−,1然后≥表0示出,取�=
2
�−�99�
−�−��=−4��>�>��>−�−�>�−4�<�<−16�=
,,代入即可判断④.
99�
【−4详�解】�=解−:1①6∵二次�函−数�的图像经过点,
2
∴,�=��+��+�1,0
∵�+�+�,=0
∴�>�,>�,
∴�>0,�故<①0正确;
②∵��<0,
∴抛物�>线0开口向上,
∵,
∴�抛<物0线与y轴交于负半轴,
又∵二次函数的图像经过点,
2
∴抛物线与x轴�=有�两�个+交�点�+,�1,0
∴,故②正确;
2
�−4��>0
③∵,,
∴�+,�+�=0,�+�=0
∴�若=对0任意�=x,−都�有,即,
22
∴令��+��+,�≥2�−2��+��+�−2�+2≥0
2
∴�=��+��+�−,2�+2
2
∴�=��−2�+�+2,
22
∴Δ抛=物线−2−4��+2=4−与4�x轴−�有+12个=交4点�或−21个交≥点0,
2
∴�=��−2�+可�能+小2于0,故③错误;
2
④∵�=��−2�+,�+2
∴�+�+�,=0
∵�二=次−函�数−�,
2
∴最小值�=��+��+�,
222
4��−�4��−−�−��−�
∵�=,4�=4�=−4�
∴�>�>�,
∴�>−�−�>,�
�
−2�<�<−2
∴,
�
2<−�<2�
∴,
3�
2<�−�<3�
∴,
2
9�22
4<�−�<9�
∴,
2
229�
−9�<−�−�<−4
∴,
2
9�−�9�
−4�<−4�<−16
∴,
99�
−4�<�<−16
∴取,,
99�
�=−4��=−16
∴,故④错误.
9�927�
综上�−所�述=,−其16中−正确−的4�有=①②16.<2�
故答案为:①②.
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数和x轴交点问题,二次函数
2
�=��+
系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,熟练掌
�握�二+次�函数的性质是关键.
题型二几何图形性质多结论判断
【典例01】(24-25八年级下·江苏南京·期中)如图,在四边形中,,相交于点O,且
,动点E从点B开始,沿折线运动至点D停�止��,�与��相�交�于点N,点F是�线�段=𝑂的=
�中�点=,�连�接,有下列结论:①四边形�—�—是�矩形;②当点E在边𝐴上��,且时,点E是𝐴的
中点;③当𝑂,时,线段�长�度𝑂的最大值为2;④当点E�在�边上�,�且=4𝑂时,��
是等边三角�形�.=其3中�正�确=的4结论有(�)���∠�𝑂=60°△𝑂�
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定,三角形中位线定理,等边三角形的判定等,由对角线互相平
分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形,即可判断①;可证明是中位线,
,而点在上,据此可判��断�②�;根据,则有最大𝑂值时△,�𝐴有最大值�,�则=点𝑂与=点
1
4𝑂=2�����𝑂=2����𝑂�
重合时,的最大值为4,则长度的最大值为2.据此可判断③;根据,
�据此可判断�④�.𝑂∠𝑂�=∠�𝑂+∠�𝑂>60°
【详解】解:①∵,
∴四边形是平�行�四=边𝑂形=,��=𝑂,
∴平行四边��形𝑂是矩形,故①��正=确�;�
②由①可知,四��边𝑂形是矩形,
∴,��𝑂
∵O��,=F分𝑂别是,的中点,点在上,
∴是的�中�位�线�,���
∴𝑂△��,�
��=2𝑂
∵,
∴𝑂=4𝑂,
∴�点�E=是��=的2中��点,故②正确;
③∵是��的中位线,
∴𝑂△�,𝐴
1
∴当𝑂=的2�值�最大时,的值最大,
当点�E�与点D重合时�,�的值最大,此时,
∴线段长度的最大值是��2,故③正确;��=��=��=4
④当点�E�在边上,且时,,
∴不是等��边三角形∠�,�故�④=错60误°.∠𝑂�=∠�𝑂+∠�𝑂>60°
综上△所𝑂述�,正确的结论有3个,
故选:C.
【变式01】如图,在菱形ABCD中,,E、F分别是AB,AD的中点,DE、BF相交于点G,连接
∠�=60°
BD,CG.有下列结论:①;②;③;④,其中
32
△���4
正确的结论有()∠���=120°��+��=𝐵△���≌△𝐵��=��
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】B
【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°,由三角形的内角和为180°就可
以求出∠BGD的值;得出∠GDC=∠GBC=90°,DG=BG,由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以
得出BG+DG=CG;在直角三角形GBC中,CG>BC=BD,故△BDF与△CGB不全等;由三角形的面积公
式系可判断④.
【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.∠A=∠BCD.
∵∠A=60°,
∴∠BCD=60°,
∴△ABD是等边三角形,△BDC是等边三角形.
∴∠ADB=∠ABD=60°,∠CDB=∠CBD=60°.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴∠BFD=∠DEB=90°,
∴∠GDB=∠GBD=30°,
∴∠BGD=180°-30°-30°=120°,
故①正确;
∵∠GDB=∠GBD=30°,
∴DG=BG,
在△CDG和△CBG中,
,
𝑂=𝑂
𝐵=𝐵
∴�△�=CD�G�≌△CBG(SSS),
∴∠DGC=∠BGC=60°.
∵∠BFD=∠DEB=90°,,,
∴∠GDC=∠GBC=90°,��∥𝑂��∥��
∴∠GCD=30°,
∴CG=2GD=GD+GD,
∴CG=DG+BG.
故②正确.
∵△GBC为直角三角形,
∴CG>BC,
∴CG≠BD,
∴△BDF与△CGB不全等.
故③错误;
∵sinA=
��
��
∴
3
��=2��
∵=AD•BF
1
�△���2
=AB×
13
22��
=,
32
故4④�正�确;
∴正确的有:①②④共三个.
故选:B.
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质,以及锐角三角函
数的知识,综合的知识点较多,注意各知识点的融会贯通.
【变式02】(2025·黑龙江哈尔滨·三模)如图,在正方形中,与交于点,为延长线上的一
点,,连接,分别交,于点,,连接��,�则�下列�结�论:��①�;②���;
𝑂
③�平�分=��;④����.��其中正�确�结论的个��数是()��=2tan∠�=22−2
2
��∠𝑂�2��=��⋅��
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质等
知识点,解题的关键是熟练掌握正方形的性质.
利用正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质逐项进行判断即可.
【详解】解:①假设正方形的边长为,根据勾股定理得,
��𝑂,���=��=2�
∵∠�𝑂=∠𝑂�,=90°,∠���=∠𝑂�
∴△�𝑂∽△�,��
𝑂��2
故∴�①�错=误��,=不2符合题意;
②由①可得,
���
故②错误,不ta符n∠合�题=意��;=�+2�=2−1
③根据正方形的性质可得,垂直平分线段,
����
,
∴∠���=∠���,,∠𝑂�=∠𝑂�
∴∠𝑂�=∠,𝑂�
∵��=��,
∴∠���=,∠�
∵𝑂∥��,
∴综∠上�,=∠𝑂�,
即平∠分���=,∠𝑂�
故�③�正确,∠�符�合�题意;
④由③可得,
∠���,=∠���,∠���=∠�
∴△���∽,△�𝑂
����
∴��=��
∴,
2
由①��可得=��⋅��,
∴��=2�,�
2
故2④�正�确=,�符�合⋅�题�意;
故选:B.
【变式03】(2025·河北石家庄·三模)如图,直角三角板中,,,.已
知斜边的端点A,B分别在相互垂直的射线,上�滑�动�,连∠接�𝑂.=给90出°下∠列�结��论=:6①0°若�C�,=O3两点
关于AB��对称,则;②C,O两点距离�的�最大�值�为4;③若�平�分,则;④在滑动过程
中,始终等于𝑂60=°.3其中所有正确结论的序号是()������⊥��
∠���
A.①②B.①③C.①④D.②③
【答案】C
【分析】在中,由,,,求出,.由轴对称的
性质得Rt△���,可判∠断�①𝑂正=确9;0°取∠�的��中=点6为0°,�连�接=3、,��由=三2角形3三�边�关=系3可知当经过
点时,𝑂=最�大�且=、3两点距离的最大值为��,可判�断②不正𝐴确;�当���,则
四边�形��是矩形�,�满足与相互平分,2但3不成立,可判断∠�③�不�正=确∠�;𝑂=∠�𝑂=90°
【详解】��解��:在中��,��,��⊥��,,
∴Rt△���,∠�𝑂=90°∠���=,60°��=3
∴�若�=、��两÷点s关in于60°=对2称3,如��图=,��÷tan60°=3
∴�为�的垂直平�分�线,1
∴����,故①正确;
𝑂=��=3
②如图,取的中点为,连接、.
∵1��,�𝐴𝐴
∴∠�𝑂=∠�𝑂=90°.
1
当𝐴经=过𝐴点=时2�,�=最3大且、两点距离的最大值为,故②不正确;
③�如�图,当�����,23
∴四边形2∠�是�矩�形=,∠�𝑂=∠�𝑂=90°
∴与�相𝑂互�平分,但不成立,故③不正确;
������⊥��
④延长至点F,如图1,
∵𝐴,
��=𝐴
∴,
∴∠���=∠���.
同理∠�:��=∠���+∠���=2∠���,
∴∠���=2∠�𝐴,∠���=2∠���,
∴2∠���=∠���=∠�,��故+④∠正𝐴确�.=2∠�𝐴+2∠�𝐴=2∠���
故选∠�C�.�=∠���=60°
【点睛】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,三角形外角的性质,矩形的性质,直角三角形斜边中
线的性质,熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
【变式04】如图,点、分别在轴、轴上,以为直径的圆经过原点,是的中点,连
结,.下列结论�:①��;�②𝑂>�;�③若��,,则�的�面�积�等�于5;④若
����,则点的坐标∠�是𝑂=90°.其中��正=确�的�结论有�(�=)4𝑂=2△���
𝑂−𝑂=4�1,−1
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】B
【分析】本题考查圆的有关知识,勾股定理及三角形全等等知识点,关键是综合运用几何知识点.根据圆
周角定理判断①,弧、弦、圆心角的关系判断②,求出,根据等腰直角三角形的性质可判断③,作
轴于,轴于,通过构造全等三角形��,可判断④.𝑂⊥�
【详解�】�解�:⊥�是�直径,△�𝑂≌△�𝐴
∵,�故�①符合题意;
∴∠是�𝑂=中90点°,
∵��𝑂,故②符合题意;
∴��=��,
22222
∵��=𝑂,+𝑂=2+4
∴��=2是等5腰直角三角形,
∵△�𝑂
,
2
∴��=��=2��=10
的面积为,故③符合题意;
2
(10)
作∴△�𝑂轴于,2=轴5于,
𝑂⊥��𝐴⊥��
,
∴∠���=∠�,��=90°
∵∠�𝐴+∠�𝑂,=∠�𝑂+∠�𝑂=90°
∴∠�𝐴=,∠�𝑂
∵��=��,
∴△�𝑂≌△,�𝐴,
∴𝑂=是𝐴正方��形=,��
∴设�正�方𝑂形的边长为,
�,
∴𝑂−�=𝑂+�,
∴2�=�,�−𝑂=4
∴点�=坐2标是,故④不符合题意,
∴故选�:B.(2,−2)
【变式05】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠MPN为直角,使点P与点O
重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM,
PN分别交AB,BC于E,F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论:①EF=OE;②S四边形OEBF:S正方
2
形ABCD=1:4;③BE+BF=OA;④在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;⑤OG•BD
3
24
=AE2+CF2.其中结论正确的个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【分析】①由四边形是正方形,直角,易证得(ASA),则可证得结论;②由
��𝑂∠���△�𝐴≅△�𝑂
①易
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