2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题03 函数与实际问题（复习讲义）（原卷版）

专题03函数与实际问题

目录

01析·考情目标

02筑·专题框架

03攻·重难考点

考点一函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）

题型一：从函数图像中获取信息

题型二：一次函数与最大利润问题

题型三：一次函数与行程问题

题型四：反比例函数与实际问题

题型五：二次函数与销售问题

真题动向题型六：二次函数与拱桥/隧道问题

题型七：二次函数与投球问题

题型八：二次函数与图形问题

题型九：函数与实际问题（新考法问题）

题型十：函数与实际问题（新情境问题）

题型十一：函数与实际问题（函数综合问题）

知识1一次函数与实际问题

必备知识知识2反比例函数与实际问题

知识3二次函数与实际问题

命题预测

1.命题形式：呈现“新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载

命题

体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调

透视数学建模与应用意识。

2.命题内容

1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。

2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意

义的结合。

3）分段函数：聚焦阶梯收费（水/电/税）、计费规则（快递、医保）等场景，考查分段讨论与实际

问题的适配性。

4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。

5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、

分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。

考点2025年2024年2023年

一次函数方案选择广东・T21：通讯套餐山东・T19：购物优惠方北京・T18：运输费用最

与最值费用优化方案案比较优方案

二次函数利润/浙江・T22：商品销售河南・T20：矩形场地面湖北・T19：抛物线型拱

面积最值利润最大化积最大化桥高度计算

热考

江苏・T18：阶梯水价四川・T17：出租车分段广西・T16：医保分段报

角度分段函数实际应用

计费问题计费销

函数图像与行程问湖南・T21：s-t图像重庆・T22：v-t图像变江西・T19：追及问题图

题分析相遇问题速运动分析像分析

反比例函数工程/安徽・T15：工程效率福建・T16：压强与受力辽宁・T15：杠杆平衡反

效率问题与时间反比例关系面积反比例分析比例应用

命题函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考

查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数

预测学建模与核心素养，压轴题更强调“函数+几何+实际情境”的综合能力。

考点一函数与实际问题

题型一从函数图像中获取信息

根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：

1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；

2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；

3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.

1．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的

变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误

的是（）��kmh

A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为

0.9

B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小

C．要使0这≤款�≤轮6胎0的摩擦系数不低于，车速应不低于

D．若车速从增大到0.，71则这款轮胎的摩擦6系0k数m减/h小

2．（2025·新疆2·5中km考/真h题）一辆60快km车/从hA地匀速驶向B地，一辆慢车0从.04B地匀速驶向A地，两车同时出发，

各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的

是（）�km�h

A．两车出发后相遇

B．A，B两地2相h距

C．快车比慢车早28到0k达m目的地

3

D．快车的速度为2h，慢车的速度为

3．（2025·山东·中考80真km题/）h在水分、养料等条60件km一/定h的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度

（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近�似成一次函数关系；在

�中高光照强度范围内，与近似成二次函数2关00系≤．�其<部10分00图象如图�所�示．根据图象，下列结论

正确的是（）�≥1000��

A．当时，随的增大而减小B．当时，有最大值

C．当�≥100时0，��D．当�=2000时，�

4．（20�2≥5·四0.6川成都�·中≥考10真00题）小明从家跑步到体育�馆=，0在.4那里锻�炼=了60一0段时间后又跑步到书店买书，然后

步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列

说法正确的是（）

A．小明家到体育馆的距离为B．小明在体育馆锻炼的时间为

C．小明家到书店的距离为2kmD．小明从书店到家步行的时间为45min

题型二一次函数与最1大km利润问题40min

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射

线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最

值．

5．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某

健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型

健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相

同．

(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．

(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器

材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？

6．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特

的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字

号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共

需费用120元．

(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？

(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过

950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？

7．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决

定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2

盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．

(1)求甲、乙两种路灯的单价；

(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计

1

一种购买方案，使所需费用最少．3

8．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，

吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动

中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需

380元．

(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？

(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？

(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

题型三一次函数与行程问题

9．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假

设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A1地0的0k距m离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇

时距离A地．�km�h

km

10．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比

乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在�原地休息等待，直到另一人到达�处．两人之间的路

程与甲6m行in走的时间的函数图像如图�所示．�

�m�min

(1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________；

(2)当时，求关于m的/函mi数n,表�达�式；m

(3)甲出18发≤多�长≤时50间时，两�人之间�的路程为．

11．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、45书0m店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家

．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行0了.6km到公园，

1在.8公km园停留后，再用匀速6m跑in步返回家．下面图中表示12时m间in，表示离家的距离12．m图in象反映了

这个过程中小25华m离in家的距离与1时5m间in之间的对应关系．��

请根据相关信息，回答下列问题：

(1)①填表：

小华离开家的时间161850

小华离家的距离/min

②填空：小华从公/园km返回家的速度为___0_._6_______；

③当时，请直接写出小华离家的距离关km于时mi间n的函数解析式；

(2)若小0华≤的�妈≤妈30与小华同时从家出发，小华的妈妈�以�的速度散步直接到公园．在从家到公园

的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，0小.0华5k的m妈/m妈in离家的距离为，当时，求的取

值范围（直接写出结果即�可）．�1�2�1<�2�

12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完

美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一

条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，

机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，

继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接

到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的

时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

(1)A，C两区相距__________米，__________；

�=

(2)求线段所在直线的函数解析式；

(3)机器人�乙�行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）

题型四反比例函数与实际问题

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射

线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最

值．

13．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的

压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，Pa．

333

14．（�2P02a5·辽宁·中考真�题m）在电压不变的情况�下=，1电.2m流（单�位=：200）00与Pa电阻（�单=位1.5：m）是�反=比例函数关

系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达�式为A�．Ω

15．（2�02=5·江4苏南�通=·中5考真题）�如图，一�块砖的，，三个面�=的面积比是5：3：1．如果面向下放在地

上，地面所受压强为，那么面向下放在地上�时，�地面�所受压强为．�

�Pa�Pa

16．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），

有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆�ā�处固定的物体，且

．若图中人物竖直向�下施加的拉�力为，当改变点�与点的距离时，横杆�始终处于30水0N平状态，小星�发�=现

1m与有一定的关系，记录了拉力的大小�与的变化，如�下表�：�

�点�与点的距离1�2�3

���m1.52.5

拉力的大小300200150120

�N�

(1)表格中的值是；

(2)小星通�过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描

出表中对应的点，并画出这个函数的图象；��

(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．

17．（2024·吉林·中考真题）已知蓄��电池的电压为定值，�使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：

Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．

(2)当电阻R为时，求此时的电流I．

题型五二3次Ω函数与销售问题

销售问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解

答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决

问题.

18．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影

票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000

元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．

(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？

(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，

那么至少需要购进B款纪念品多少个？

(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5

个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W

关于a的函数表达式，并求出�6W0的≤最�≤大1值0．0

19．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”

的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．

材料租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车

一多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．

A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．

材料

优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；

二

租用B型客车，租车费用打八折．3200−50�

材料租车公司最多提供8辆A型客车；

三学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．

(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？

(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？

20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创

纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之

和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不

高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每

套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a

元（且a为整数）．

(1)分6别5求≤出�每≤个72A纪念品和每个B纪念品的成本；

(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．

题型六二次函数与拱桥/隧道问题

利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，一般选

择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建

立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解

决实际问题.

21．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛

物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于�1所在直线对称�．2�3，，

为框架，点，��在=1上6m，点�1，分别在��，�上，��=4m，�2�3，��．以为原�点�，以𝑀

�所�在直线为轴�，以�所�1在直线为�轴�，建立�平2面�直3角坐�标�系∥．��𝑀⊥��𝑁⊥�����

����

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)已知抛物线�1的函数表达式为，，求的长．

325

�3�=−16�−4𝑁=2m��

22．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，

能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若

隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并

排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车

并排行驶，能否安全通过？请说明理由．

23．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆

均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对�称．的�1最,�低2

点到的距离为，��到的距离为��．以为�原�点⊥，��以,��所=在2 m直,线�1为,�2轴，�以�所在直线为轴�1，建立

1

平面直��角坐标系、2 m��2 m�������

(1)求所在抛物线的函数表达式；

(2)现�要1悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点

在上，点�1到�1,�的2�距2离均为．已知�所1�在1抛,�物2�线2的函�数�表达式为�1,�2，求�这1,�两2条灯带

12

�的1总,�长2．��1,�2��3 m��=−16�

24．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究

其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认

真阅读，解决问题．

发现问题

涉水线设置限高架设置

确定目标

数学抽象

绘制图形

隧道及斜坡的侧面示意图，可图3为隧道横截面示意图，

近似如图2所示．由抛物线的一部分和矩形的三边构成．

���𝐴��

当隧道内积水的水深为0.27米

信息收集车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保

时，（即积水达到涉水线处），

资料整理证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．

车辆应避免通行．

���

斜坡的坡角为，并查得：

隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高

实地考察�，10°

米，地面跨度��米．车辆行驶方向的右侧𝐴车=道

数据采集sin10°≈0.174，

�线�（=宽3度忽略不计）与��墙=面1的0距离为1米．

cos10°≈0.985．

问题解决：tan10°≈0.176

(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；

(2)在图3中建立适当的平面直角坐�标�系，求抛物线的解析式；

(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全��限�高），求h的值（精确到米）．

0.1

题型七二次函数与投球问题

25．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系

式是．有下列结论：①小球运动时间是时ℎ，(m高)度为；②小�(球s)运动中高度

2

可以是ℎ=30�；−③5�当0≤�≤6时，高度h随着时间t的增大而减小1．s其中正确结2论5的m个数是（）

A．050m3≤B．�≤16C．2D．3

26．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的

点将球击出．��

信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数

（，为常数）图象的一部分�，其中（�米�）是�球的高度，（米）是球和原点的水平距离�=，

2

�图�象+经�过�点+1.8�，�．��

2,3.24,4.2

信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据

如下：��0≤�≤1.6

（秒）0…

�0.40.6

（米）046…

�

(1)求与的函数关系式；

(2)网�球被�击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？

(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，

2

为常�数1）.6图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距�离=−．0当.0网2�球所+在��点+的�横�坐

�标为，纵坐标大于等于时�，的取值范围为__�______（直接写出结果）．

�2�1.8�

27．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在

空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空

中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物

线，且�，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动�路径近似为抛物线，

2

且�1�1:�=��+��．+（�小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状�大小、空气阻力等因素忽略�2不

12

计）�2:�=−5�+��+�

(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；

11

(2)在（1）的条�件=下−，2,若�=2，在水�面上有一(2个,0)截面宽�1，高的矩形的障碍物，点

的坐标为，判断此�时�石=块4沿抛物线运动时是否能�越�过=障1碍物�？�请=说0明.5理由；��𝐴�

(4.5,0)�2

(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包

括这两点），其中�1，求的取�值�范��围．（在抛掷过程中正方形�与拋(3物,0线)(4在,0同)一平面

113

内）�2,1,�(1,1),�2,2��1

28．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和

网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．

［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的

剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点

到地面的距离�，人与球网之间的距离，假设�两种击球路线都��经=过2点.4m正上方

�处的点，网前�吊�球=和1扣.55杀m球的落点分别为点、�．�=1.6m�0.05m

（1）请�在图（3）中建立合适的平面直角坐标�系，�并分别求出两种击球路线的函数表达式．

［模型应用］

（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．

（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛��球的平均速度约为m．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时

间之间�的关系式为．乙在看到甲击球的同时，3尝6m试/接s球，从甲击球到乙能成功接球的时ℎ间m至少需

2

要�s．请通过计算说ℎ明=，5乙�能接到哪种方式的击球．

0.5s

题型八二次函数与图形问题

求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题

转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.

在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个

几何量的取值范围，一般有以下几种情况:边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边.

29．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，，，，，，

∘

按如图方式设计一个矩形桌面（点在边���上�）．�当�∥��∠�𝐴=90时，𝐴矩=形4桌面�面�积=最10大．𝐴=6

𝐸�����𝐸=

30．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，

已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：

方案一方案二60m

如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花

如图1，围成一个面积为圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃

的矩形花圃．两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．

2

450m3m

(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；

(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？

31．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践

【活动背景】数学活动课上，老师提供了如下素材：

某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整

条铝合金型材（接缝及型材宽度6m忽略不计）．��𝐴

【活动任务】结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．

【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲

学习小组求出此时窗户框架的宽．5:3

【方案二】乙学习小组从实用角度��出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助

乙学习小组求出窗户的最大面积．

32．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．

2

(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正�方�形面2m积较大；1.5m

(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与

2

的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．�m��

�m

题型九函数与实际问题（新考法问题）

33．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，

到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间

之间的关系如图②所示．� m/s� s

(1)求所在直线的函数表达式；

(2)求�该�小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．

34．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测

得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药

后3小时，测得血液中药物浓度�达到最高值9微克/毫升；服�药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/

毫升．

(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；

(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于�3微�克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服

药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．

35．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路

程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进

一步应用．

【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静

止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运

动快慢、运动路�程的数据．�(s)

�(cm/s)�(cm)

【收集整理数据】

运动时间048121620…

�(s)

运动快慢12108642…

�(cm/s)

运动路程04480108128140…

�(cm)

【数学建模探究】

【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间

的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表�示�．（选

填：一次、二次、反比例）��

【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．

【应用】当弹珠到达水平�轨�,道�上�点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，

若弹珠能追上小车，那么的最�大值是多少？�3cm/s

��

36．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关

实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两

个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到

甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）

实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的

密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．

总结公式：当小铝块位于液面上方时，拉力重力；

当小铝块浸入液面后，拉力重力�浮力．=�

【建立模型】在实验探究�的过=程�中，−实�验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数拉力与小铝块各自下

降的高度之间的关系如图②所示．�N

�cm

【解决问题】

(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．

(2)当时，求弹簧测力计A的示数拉力关于x的函数解析式．

(3)当弹6簧≤测�≤力1计0A悬挂的小铝块下降8cm时，�甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝

块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，�nN的值．

�N�cm

37．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑

动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（1如2V图），已知串联电路中，

电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下�数=据2Ω：

12

���=�+��

R/Ω…12b46…

I/A…a32.421.5…

(1)______，______；

(2)�根=据以上实验�，=构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．

1212

①在平面直角坐标系中画出对�应=函�数+2�≥0的图象；�=�+2�≥0

12

②随着自变量x的不断增大，函数值�y=的�变+2化�趋≥势0是______；

(3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集

12

�1=−�+6�≥0�+2≥−�+6

为．

38．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践

在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下

材料，解决“数学建模”中的问题．

【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用

的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．

【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率

y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：

生长素浓

度：x（标00.611.722.52.733.344.2

准单位）

发芽率y

35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12

（%）

【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．

说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率；

②当发芽率大于等于零且�=小0于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；

③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．

【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：

(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；

(2)请计算抑．制．种子发芽时的生长素浓度范围．

39．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践

【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，

安排通道数之间的关系．

【研究条件】

条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；

条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．

【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：

��

2

�结=合−上�述+信6息0�，+请1完00成0下≤述�问≤题30：

（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函

数关系式为_________.���

【模型应用】

（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？

（3）已知该演出主办方要求：

①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；

②尽量少安排安检通道，以节省开支．

若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?

【总结反思】

函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优

化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．

40．（2025·山西·中考真题）综合与实践

问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计

出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．

实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点

与落地点的距离为．60cm

160cm

数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人

在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面

垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．����

（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；

问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．

（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x

轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；(0,75)

（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障𝑁碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，

才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，3cm

．仿青蛙机器人从距离左侧�处��的�地面起∠跳�，��发=现∠不��能�安=全9通0°过�该�障=

5碍7物cm．,�若�团=队40人cm员,在𝐴起=跳4处8c放m置一个平台，仿青蛙机器��人从平8台0c上m起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直

接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面

内）．

题型十函数与实际问题（新情境问题）

41．（2025年山东省青岛市即墨区岘山中学中考数学二模试卷）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1

日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如

图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先

按照0售<价�<为3405元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克．

(1)求出与的关系式；

(2)写出销�售�过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？

(3)在销售过程中，共有几天总进�价不少�于元？

725

42．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，

受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售

价如表：

款式成本（元/件）售价（元/件）

甲7001000

乙8001200

根据以上信息，解答下列问题：

(1)列方程（组）解应用题

若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服

装各多少件？

(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求

甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？

43．（202