信息科学技术通识-课件 第2章 两门科学

第2章两门科学从信息科学的历史发展来看，电磁理论与量子力学的建立具有划时代的意义，不但引起人类对自然界认识的深刻变革，更推动了人类文明和经济社会发展。19世纪中期，电磁感应定律的发现以及位移电流概念的提出，阐明了变化磁场能够激发电场，变化电场能够激发磁场，充分揭示了电场和磁场的内在联系及依存关系。电磁理论成功地预言了电磁波的存在，揭示了光的电磁本质，还极大地推动了现代电工技术和无线电技术的发展。20世纪初期建立的量子力学进一步解释了电磁科学的深层次内涵，促使新的通信手段和控制手段的大量涌现。引言目

录2.1电磁科学2.2量子科学1.预备知识——场的概念物理学中把某个物理量在空间的区域内分布称为场。带电的电荷激发电场，电场在时间和空间上是变化的，单位电荷所受的力即为场强，因此场强在空间的分布就构成电场。场分为标量场和矢量场。标量场：物理量是标量的场，例如热场其场强温度只有大小，没有方向。矢量场：物理量是矢量的场，例如电场，其既有大小，也有方向。2.1电磁科学1.预备知识——描述矢量场的数学工具散度定理描述了面和体的转换关系。从数学上看，散度定理将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，或反之。从场的观点来看，散度定理建立了区域中的场与包围该区域边界上的场的关系。散度定理指出以下关系：

：矢量场：闭合曲面：闭合面所包围的体积2.1电磁科学散度定理(divergencetheorem)旋度定理描述了线和面的关系。从数学上看，利用旋度定理可以将面积分化为线积分，或反之。从场的观点来看，它建立了区域中的场与区域边缘上的场之间的关系。旋度定理指出以下关系：

：矢量场：闭合曲面

：非闭合光滑有向曲面：边界线2.1电磁科学旋度定理(curltheorem)1.预备知识——描述矢量场的数学工具1785

年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库仑定律，该定律是第一个电学定律：真空中两个静止的点电荷之间的作用力与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。具体来讲，对于电荷量分别为和的两个点电荷，当二者之间的距离为时，它们之间的作用力可表示为：2.1电磁科学

：库伦常量，取值为

1.预备知识——电是什么1.预备知识——电是什么电荷之间的作用力是电荷之间交换虚光子所导致的。虚光子是传播力的一种效应，尽管在现实中测量不到这种粒子，但是能测出力存在的效应。由于电场是客观存在的，场强大小与试探电荷无关。事实上，由于电场是矢量场，根据矢量场的唯一性定理，电场的散度、旋度和边界条件就可以描述一个电场。例如，真空中静电场方程为：2.1电磁科学

：电场强度：场点处的分布电荷密度：真空介电常数1820年9月，安培进一步发现，不仅电流能够产生磁场，而且反过来磁场对通电的导线也会产生一种作用力。此后，安培发现了一个更简单实用地计算电流周围磁场的方式，即安培环路定理，揭示了真空中恒定电流磁场的基本规律。此外，安培还总结了如何判断电流产生的磁场的方向，即安培定则，也就是右手螺旋定则。安培环路定理如下式所示：2.1电磁科学

：磁感应强度：真空磁导率，取值

：闭合路径：闭合路径所包围的电流的代数和1.预备知识——磁是什么与电场的定义思路类似，磁场B

的定义为：

：运功电荷在磁场中受的磁力：运动电荷的速度：运动电荷的电荷量描述真空中磁场的数学方程为：：磁场的磁通密度

：真空磁导率

：磁场空间点的电流密度洛伦兹力是运动于电磁场的带电粒子所感受到的作用力。记洛伦兹力为

f，电场强度为E，洛伦兹定律指出 ：

2.1电磁科学1.预备知识——磁是什么2.磁生电2.1电磁科学电磁感应现象指的是，磁通量在穿过闭合电路时发生变化，从而产生感应电动势。当闭合电路中的导体在磁场中切割磁感线时，导体中就会产生感应电流。根据电磁感应定律，任何封闭电路中感应电动势大小，等于穿过这一电路磁通量的变化率，用公式表示为：

：回路所包含的磁通量2.磁生电2.1电磁科学另一方面，根据斯托克斯定理，对于任意取定的空间回路，有下式成立：联立以上两式得到：特别的，对于不同磁场有以下结论成立：3.电生磁2.1电磁科学安培定律只适用于静磁学，在电动力学中，当物理量包含时间时，安培定律就不一定成立了。1873年，麦克斯韦在《论物理力线》中认为变化的电场也能产生磁场，提出了位移电流的概念，并对安培定律进行扩充，得到以下关系：变化的电场和电流是磁场的旋涡源，变化的电场和电流与其激发的磁场之间符合右手螺旋关系。：以闭合回路为边界的任意曲面：真空介电常数3.电生磁麦克斯韦–安培方程可以等价改写为：

利用旋度定理并两侧求导，可以得到：

：分布电流密度J

在闭合回路ℓ所围面积S

内的积分：回路所包围的电通量2.1电磁科学4.麦克斯韦方程组——数学形式2.1电磁科学麦克斯韦方程组是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程，其积分形式表示为：第一方程式是描述电荷如何产生电场的高斯定律。该式表示闭合曲面上的电通量，也就是穿出曲面的电场线根数，等于曲面内的电荷代数和与真空介电常数a的比值。4.麦克斯韦方程组——数学形式2.1电磁科学第二方程式是描述磁单极子不存在的高斯磁定律。该式表示通过闭合曲面上的磁通量始终为零。也就是说，磁感线要么不穿透这个曲面，要么一定是既穿入这个曲面，又穿出这个曲面，因此磁感线的通量为零。 第三方程式是描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。方程左边表示沿着一个闭合路径的电场路径积分，即这个闭合路径上的电动势，等于回路ℓ

所包围的磁通量ϕB

的变化率。因此，感生电动势产生的原因是磁通量的变化。 第四方程式是描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦–安培定律。方程左边表示沿着任意一个路径的磁场路径积分，右侧的表示真空磁导率，表示电流，ϕE

表示这个路径上所包围的电通量。 4.麦克斯韦方程组——麦克斯韦电磁场理论电力和磁力以振动方式进行传播，在分析这个过程时，安培使用的是超距思想，法拉第使用的是力线思想。事实上，法拉第发现了电磁感应现象，麦克斯韦把磁生电用数学语言进行了描述。此外，麦克斯韦扩展了安培环路定理，也考虑了位移电流激发磁场的情况。麦克斯韦电磁场理论应运而生：变化的磁场产生电场，均匀变化的磁场产生恒定的电场，非均匀变化的磁场产生变化的电场，恒定的磁场不产生电场变化的电场产生磁场，均匀变化的电场产生恒定的磁场，非均匀变化的电场产生变化的磁场，恒定的电场不产生磁场2.1电磁科学4.麦克斯韦方程组——麦克斯韦电磁场理论尽管激发的电场产生的位移电流与传导电流都可以产生磁场，但位移电流与传导电流有以下本质区别：位移电流的本质是变化着的电场，而传导电流产生的原因是自由电荷的定向运动。传导电流在通过导体时会产生焦耳热，而位移电流则不会产生焦耳热，也不会产生化学效应。位移电流也即变化着的电场可以存在于真空、导体、电介质中，而传导只能存在于导体中。2.1电磁科学对于关于位置x和时间t的标量函数f，经典波动方程表示为：

：波的传播速率然后定义拉普拉斯算子：利用拉普拉斯算子，经典波动方程可以改写为：对麦克斯韦方程组的第三方程式两侧取旋度，可以得到2.1电磁科学4.麦克斯韦方程组——麦克斯韦方程组推导出电磁波：波的传播速率根据麦克斯韦方程组可将上式改写为：

2.1电磁科学4.麦克斯韦方程组——麦克斯韦方程组推导出电磁波上式是一个只包含电场的二阶方程。类似地，对麦克斯韦方程组的第四方程式两侧取旋度，可以得到独立的磁感应强度方程：电场和磁感应强度都满足波动方程，且电场和磁场的波动方程的形式和波速相同。通过对比经典波动方程的速度项，可知电磁波的传播速度为：2.1电磁科学5.麦克斯韦方程组——电磁波发现对信息社会的影响经典电磁理论提出后，由于这一理论足以解释当时已知的绝大多数电磁现象，其立即在科学界引起了轰动。但是，仍然有很多人对于光也是电磁波，特别是电磁波是否真实存在这一问题将信将疑。直到1887年，赫兹的电火花放电实验证实了电磁波的存在，且电磁波以光速传播。由此，经典电磁理论的正确性被坚实地确立起来.赫兹的电火花放电实验装置电磁学的发展主要包括以下典型事件：1898年，意大利电气工程师马可尼第一次发射了无线电1930年，雷达被发明出来后，海兰德(LawrenceA.Hyland)首次定位到了飞机。1964年，GPS系统组网成功并投入使用。1973年，美国的摩托罗拉公司工程师马丁·库帕发明了手机，标志着移动通信时代的开始。1986年，第一套移动通信系统在美国芝加哥诞生，标志着1G

通信时代的开始。接下来就是大家熟悉的2G、3G、4G、5G移动通信时代，以及正在到来的6G通信时代……2.1电磁科学5.麦克斯韦方程组——电磁波发现对信息社会的影响目

录2.1电磁科学2.2量子科学1.量子力学的诞生过程——量子概念现身及辐射的理解热力学研究发现，任何物体都会向周围空间发射电磁波，辐射的频率从无线电波到X射线的各个波段都会覆盖。而且，温度越高，辐射强度就越大，电磁波频率也越高，这种由温度决定的辐射称为热辐射。另一方面，物体也会反射外来的电磁辐射，而反射的辐射能与物体自身的形状和外来辐射的特征均有关。因此，在热辐射的研究中，常用黑体

(blackbody)这一理想化的物理模型——它能够吸收外来的全部电磁辐射，并且不发生任何反射或透射。黑体辐射出的电磁波称为黑体辐射。2.2电磁科学1.量子力学的诞生过程——量子概念现身及辐射的理解在1900年左右，描述黑体辐射最好的公式是维恩(WilhelmWien)类比麦克斯韦分子速率分布而提出的维恩公式，即：2.2电磁科学其在短波范围与实验相符，但在长波极限下与实验有明显的偏差。1900年6月，瑞利(JohnRayleigh)和金斯(JamesJeans)运用经典能量均分定律提出了瑞利–金斯公式，即：其在长波极限下与实验相符，但在短波下的能量密度迅速增大，同实验结果矛盾，这在物理学史上被称作“紫外灾难”。1.量子力学的诞生过程——量子概念现身及辐射的理解当时，普朗克(MaxPlanck)通过自己的研究也建立了黑体空腔模型，并且发现在空腔模型中，如果熵与能量的关系为北吧吧吧吧吧吧发，就可以得到维恩公式；如果熵与能量关系为把北北把吧吧吧吧，就可以得到瑞利–金斯公式。他对这两个关系做了线性内插，就得到了现在我们所知的普朗克黑体辐射公式：2.2电磁科学黑体辐射能量分布曲线1.量子力学的诞生过程——做“送分题”的爱因斯坦爱因斯坦的伟大并不完全是因为广义相对论和狭义相对论，还因为光电效应。光电效应指出，在光线的照射下，某些物质内部的电子会被光子激发形成电流，可以简单概括为“光生电”。爱因斯坦假定激发出电子需要一定的能量，称之为逸出功W0。光子能量需要大于逸出功才能激发出电子，由此建立了光电效应方程，即：2.2电磁科学在光量子概念的启发下，德布罗意发现了物质波，使人们认清了微观世界的波粒二象性。更进一步，薛定谔在此基础上创立了波动力学，为量子力学的建立奠定了基础。1.量子力学的诞生过程——玻尔的原子模型及光谱的理解1911年，卢瑟福提出了有核原子模型，此模型指出电子在原子核外运动，很好地解释了α粒子散射实验，但与经典的电磁理论产生了矛盾。玻尔意识到了经典理论在解释原子结构方面的困难。在普朗克关于黑体辐射的量子论和爱因斯坦的光量子论的启发下，他在1913年提出了自己的原子结构假说。在这一过程中，瑞士数学教师巴耳末(JohannBalmer)于1885年提出的关于氢原子光谱中可见光波段波长的经验公式(又称巴耳末公式)起到了很重要的作用：2.2电磁科学1.量子力学的诞生过程——玻尔的原子模型及光谱的理解巴耳末公式犹如一把解开原子结构谜题的钥匙，为他打开了原子理论的大门。他从最简单的氢原子入手，提出了三个假设：2.2电磁科学定态假设：即原子系统只能停留于一系列分立的能量状态中，在这些状态中，电子绕核作加速运动，原子不吸收也不辐射能量，这种状态称为原子系统的稳定状态

(定态)。该假设解决了原子的稳定性问题。跃迁假设：即原子从一种定态跃迁到另一种定态时，需要辐射或吸收固定频率的光子，光子的能量由这两种定态的能量差决定。该假设解释了线光谱的起源。轨道假设：即原子的不同能量状态跟电子沿不同的圆形轨道绕核运动相对应，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件。该假设表明了电子的轨道也是不连续的。1.量子力学的诞生过程——玻尔的原子模型及光谱的理解玻尔在上述假设的基础上建立了新的氢原子模型。玻尔的原子模型第一次将光谱纳入了一个理论体系中，大大加深了人们对光谱的理解。电磁波的频谱广泛，可见光只占极小的一点。而因为谱线是跟原子能级相关的，所以同一种元素的谱线固定。玻尔理论指出了当时原子物理的发展方向，极大地推动了各种实验研究的发展。2.2电磁科学波尔模型1.量子力学的诞生过程——中微子的发现1930年，泡利思考了β衰变的问题，并预言了中微子的存在——在原子核中存在一个静止质量为零、具有自旋、电中性的粒子。在发生放射性β衰变时，中微子随电子一起出射，带走了一部分能量，因此出现了能量亏损。1956年，物理学家莱因斯(FrederickReines)和他的同事考恩(ClydeCowa)在测量中子衰变为质子的实验中，直接观测到了电子中微子的存在。2.2电磁科学1.量子力学的诞生过程——放射性的理解费米在1934年提出的亚原子粒子的相互作用理论：微观物理世界中，相互作用都是以粒子的产生和湮没

(放射和吸收)作为媒介的，例如，电磁相互作用(电生磁或磁生电)以光子的产生和湮没作为媒介的。当原子核发生放射性衰变时，产生一个电子和一个中微子，这两个粒子在放射发生前并不独立存在。2.2电磁科学2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型2.2电磁科学最初的原子模型是1803年提出的道尔顿模型，该模型中的原子是一个坚硬的实心小球。1897年汤姆孙发现了电子，并提出了”葡萄干布丁”模型。1909年，卢瑟福根据他的实验结果设计出行星模型，然而行星模型在经典电磁学中无法稳定存在。由此，玻尔提出了量子的分立轨道模型。1926年，薛定谔和海森伯根据不确定原理，用电子云描述电子位置的概率区，提出了电子云模型。原子结构模型发展2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型薛定谔从经典的波动方程入手，应用于粒子，加入量子化的概念，猜想出了粒子的波动方程。首先，经典波动方程的最平凡的解——平面波解，具有如下形式：2.2电磁科学然后，根据德布罗意假说，粒子的能量和动量分别表示为：：波矢(波数矢量)

：角频率薛定谔方程的猜想过程2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型于是，对于动量p

确定的自由粒子，分别用能量和动量替换平面波的角频率和波矢，可以知道自由粒子的波函数形式如下：2.2电磁科学薛定谔方程的猜想过程在上式两侧计算关于t

的导数和计算散度，可以分别得到：结合上式和粒子的能量和动量关系，可以得到：2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型而对于有势能的粒子来说，动量和能量的关系满足：2.2电磁科学于是有：由含势能的系统能量与波函数的假设关系可知一般势场中运动的粒子的波函数满足：薛定谔方程的猜想过程2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型理论上讲，只需要知道势能就可以求出薛定谔方程的解，但含时间方程的求解实在是过于困难。薛定谔方程是一个线性方程，意味着经典力学的叠加定理仍然成立。为了方便求解，可以采用分离变量法，将含有时间的部分与含有空间的波函数分开，即。2.2电磁科学薛定谔方程的猜想过程分离变量之后，含时间的部分可以直接求解得，而不含时间的部分则可以得到一个仅含空间变量的方程，也就是定态薛定谔方程：2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型这样一来，势场不随时间变化的薛定谔方程的求解，便可以归结为以下步骤：首先求解定态薛定谔方程，然后将含有时间的部分与之相乘，得到含时间的解。其中，求解定态薛定谔方程又分为以下四步：2.2电磁科学薛定谔方程的猜想过程列出每个势能区域的一维定态方程势能区域分别解方程使用波函数边界条件定解使用归一化条件确定系数2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型在量子力学里，无限深势阱问题是一个理想化的问题。无限深势阱是一个有限尺寸的位势阱，势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。对于一维无限深势阱而言，其势能函数表示为：2.2电磁科学一维无限深势阱的薛定谔方程一维无限深势阱示意图2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型势阱内的薛定谔方程为：2.2电磁科学方程通解为：由于粒子仅有有限的能量，只能在势阱内活动，因此势阱外的波函数是0，即

展开得到：一维无限深势阱的薛定谔方程2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型考虑非平凡解

，那么应有

，也即：2.2电磁科学由此解得波函数为：最后，由于波函数的模方代表概率，波函数需要满足归一化条件，由此得到

从而定态波函数的数学形式如下：一维无限深势阱的薛定谔方程2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型在氢原子中，电子的势能函数为：2.2电磁科学将U代入薛定谔方程得：为方便起见，采用极坐标

代替直角坐标

。在一般情况下，波函数ψ

既是r

的函数，又是θ

和φ

的函数，通常采用分离变量法求解，即设：氢原子的薛定谔方程2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型经过一系列数学换算后，得到三个独立函数所满足的三个常微分方程：2.2电磁科学氢原子的薛定谔方程其中ml

和λ

是引入的常量。解此三个方程，并考虑到波函数应满足的标准条件，即可得到波函数。2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型狄拉克看到薛定谔方程以后，敏锐地发现了其缺陷——粒子运动的动量和动能用的是低速经典模型，即吧

，

而非狭义相对论模型。为此，他在薛定谔方程的基础上，加入粒子变速运动的狭义相对论理论，提出了满足狭义相对论的量子力学方程——狄拉克方程：2.2电磁科学狄拉克方程与相对论性量子力学2.量子力学的主要成就——建立了原子的结构模型狄拉克方程统一了狭义相对论和量子力学，实现了比薛定谔方程更通用的微观粒子运动描述，具有重大意义：2.2电磁科学适应于高速运动粒子的波函数描述揭示了电子自旋的特性开启了认识反物质的先河狄拉克方程与相对论性量子力学2.量子力学的主要成就——揭示了亚原子粒子的基本特征量子力学的第二个突出贡献是揭示了亚原子粒子的基本特征。亚原子粒子的基本特征可以概括成四个主要性质：波粒二象性、不确定性、叠加性与纠缠性。2.2电磁科学波粒二象性：波粒二象性是指亚原子粒子同时具有粒子的特性和波的特性，而波长是由粒子的动量决定的。宏观物体的动量都非常大，波长都极端短，比原子尺寸还小十几个、几十个数量级，因而宏观物体不能表现出波动性质。不确定性：不确定性是粒子具有波粒二象性的体现。对于一个由不同波长的波叠加起来的波包，叠加的短波成分越多，波包的位置就越精确，但同时波长代表动量，因而动量的方差反而越大。2.量子力学的主要成就——揭示了亚原子粒子的基本特征量子力学的第二个突出贡献是揭示了亚原子粒子的基本特征。亚原子粒子的基本特征可以概括成四个主要性质：波粒二象性、不确定性、叠加性与纠缠性。2.2电磁科学叠加性：一个系统处于某个状态，对其进行多次测量，得到的结果不是一个确定的值，而是若干值的一个分布，那么这个状态就是叠加态。例如一个两能级系统，其中

分别为系统处于和处于的概率，当对系统进行测量时，有的概率测量到能级为，有的概率测量到能级为。纠缠性：双粒子或多粒子体系中，粒子间可能处于纠缠态。这种状态下，每个粒子的特性(如自旋方向)都无法单独描述，必须将它们看作一个整体来理解。2.量子力学的主要成就——找出了万物运行的四种力量子力学的第三大贡献就是找出了万物运行的四种力：2.2电磁科学引力：这种力作用于所有存在质量的两个物体之间，也称为万有引力。电磁力：电磁力作用于带电荷的粒子(例如电子、夸克)之间，同性相斥，异性相吸。由于两个物体之间的净电磁力非常小，在宏观物体间没有电磁力显现弱核力：弱核力负责控制放射性

(α、β