1.5 角平分线 第一课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.5角平分线第一章三角形的证明及其应用第2课时:角平分线交点的性质学习目标1.重点:理解并掌握三角形三条角平分线交点的性质.2.难点:综合运用角平分线与垂直平分线的性质,位置选择问题.旧知回顾角平分线的性质定理:角平分线的判定定理:角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.(垂直距离)在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.OABC))12PDEEDABC在等腰直角三角形BDE中,例题讲解(1)解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=4cm,∵AC=BC,∠C=90°,∴∠B=∠BAC=45°,∴∠BDE=90°-45°=45°,∴BE=DE=4(等角对等边),例2如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC例题讲解(2)证明:由(1)知DC=DE,∠C=∠AED=90°,又∵AD=AD,∴Rt△ACD≌Rt△ADE(HL),∴AE=AC,又∵BE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.例2如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.探究一:分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么？发现:三角形的三条角平分线相交于一点.探究新知你能证明这个结论吗？探究新知探究二:分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量每组垂线的长度,你发现了什么？发现:过交点作三角形三边的垂线段相等.例3已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F.求证:∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.EBDFACPNM性质证明分析:先使用角平分线的性质定理,再使用角平分线的判定定理.证明:∵BM平分∠ABC,且PD⊥AB,PE⊥BC,∴PD=PE,同理可得,PF=PE,∴PD=PE=PF,∴点P在∠A的角平分线上,即∠A的平分线经过点P.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.三角形角平分线交点的性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.应用格式:性质学习∵AQ,BM,CN是△ABC的角平分线,又∵PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴PD=PE=PF.EBDFACPNMQ小试牛刀1.如左图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠CBE=∠ABE,且AC=6cm,那么线段BE是∠ABC的

,AE+DE=

cm.CABED角平分线6OMABCPD2.如右图,△ABC中,AB=AC,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4cm,则点O到△ABC三边的距离之和为

cm.NE温馨提示:只有一条垂线段—构造应用12随堂练习已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.ACBFMENDP证明:如图,过点F作FP⊥AC于点P,∵AD平分∠BAC,且FM⊥AB,FP⊥AC,∴FM=FP,同理可得FN=FP,∴FM=FN,∵FM⊥AB,FN⊥BC,∴∠FME=∠FND=90°,随堂练习已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=180°-90°-60°=30°,∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴∠FEM=∠BAC+∠ACE=75°,∠FDN=∠BAD+∠B=75°(外角),∴∠FEM=∠FDN,ACBFMENDP∴△FEM≌△FDM(AAS),∴FE=FD.习题1.5BDCA证明:∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=180°-90°-30°=60°,又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴∠BAD=∠B,∴BD=AD(等角对等边),在Rt△ACD中,∠CAD=30°,∴AD=2CD,∴BD=2CD.2.已知:如图,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCDEFPNM证明:如图,过点F作FM⊥AD,FN⊥AE,FP⊥BC,∵BF平分∠CBD,CF平分∠BCE,∴FM=FP,FP=FN,∴FM=FN,∴点F在∠DAE的平分线上.习题1.53.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.APBOCD证明:(1)∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD(角平分线的性质定理),又∵OP=OP,∴Rt△COP≌Rt△DOP(HL),∴OC=OD.(2)∵OC=OD,PC=PD,∴点O,点P都在CD的垂直平分线上,∴OP是CD的垂直平分线.4.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.1.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点加餐训练COMABCPDNE2.如图,△ABC中,AB=AC,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,AP,BD交于点O.过点O作OM⊥AC