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人教2019A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理正弦定理（第1课时）

余弦定理

三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．复习回顾推论：

在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，ABCabc探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？显然，在三角形中，如果我们得到A，B，a，b之间的关系，就可以解决已知A，B，a,求b的问题。首先，来看直角三角形：思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？?可分为锐角三角形，钝角三角形两种情况分析.

CABDabc请同学们课下完成钝角三角形的证明在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，所以我们可以先考虑用向量的探究：我们可以结合诱导公式，构造角之间的互余关系，把边角余弦关系化正弦关系。∴asinC=csinA.同理，过点C作与垂直的单位向量，可得CBA则两边同乘以单位向量证明：当为锐角三角形时，过A作单位向量垂直于当是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为与的夹角为同理可得在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,

即变式:正弦定理：

思考：

利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.例1.在中，已知解这个三角形。解：由三角形内角和定理，得

由正弦定理，得

例2.在中，已知，解这个三角形。解：由正弦定理，得

所以

此时

因为

于是或

（1）当时，

此时

（2）当时，

思考：

例2中角C为什么有两个值？在已知两边和其中一边的对角，三角形的形状能确定吗？

例2.在中，已知，解这个三角形。BAc=2

C

三角形形状不能确定想一想：改变b的大小，三角形有没有可能出现无解或者一解的情况？思考：在用正弦定理解决已知“两边一对角”问题时，什么情况下会出现两解？一解？无解？(1)当A为锐角时无解一解两解一解(2)当A为直角或钝角时

ACbaCAba一般地，在已知两边和其中一边对角（例如已知a,b和A）的情况下，确定三角形解的情况，有两种常见方法：

法2：

数形结合跟踪练习跟踪练习11正弦定理：利用正弦定理可以解决的问题：1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角。2、已知三角形的两边与其中一边的对角，出三

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