第三章图形的平移与旋转☆问题解决活动最短距离课件北师大版数学八年级下册

第三章图形的平移与旋转☆问题解决活动：最短距离情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl情境导入壹

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．B·lA·B′C作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

新知初探贰新知初探探究一：问题解决活动：最短距离贰问题：居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。已知该地下通道长度为am，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）。

新知初探贰

上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。活动1理解问题【数学建模】如果把居民区和工厂所在的位置看作点，把地铁看作两条平行的直线，这个问题可以用轴对称知识解决，先将实际问题抽象成数学问题，点M、N分别为居民区和工厂，两条平行线AB和CD为地铁，如图所示：新知初探贰(3)地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？活动2拟定计划(1)你以前遇到过类似的问题吗？(2)解决这个问题最大的困难是什么？新知初探贰

(1)写出你的解决方案

活动3实施计划

(2)说明你的方案的合理性。

新知初探贰解：如图所示，地下通道建在PR时才能使点M到点N的路线最短，理由：设地下通道为PR，则这个问题中的路线为MP、PR、RN三条线段之和．怎样转化为两点间的一条线段呢？经观察，不难发现其中的线段PR是定值，因此只需要考虑使MP+RN最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移PM到QR，此时连接QN交CD于R，点P和R即为地下通道的出入口．新知初探贰答案提示：关键是把实际问题抽象成几何图形，利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.活动4回顾反思

通过解决上述问题，你获得了哪些经验？你认为解决这类问题的关键是什么？新知初探贰活动5随堂练习1．基本知识如图1，在直线l的两侧分别有点A和B，都要在l上确定一点P，使点P到A、B的距离之和最小，只需连接AB，则AB与l的交点即为所求点P．新知初探贰初步探索如图2（1）所示，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，那么桥建在何处才能使由A到B的路线最短？注意，桥必须与街道垂直，桥的宽度不计．请在图2（2）中画出天桥的位置，不需说明画法，保留画图痕迹．新知初探贰旧题重温如图3，村庄A、B在河流l同侧，现欲在同岸边建一个水泵站P，问水泵站建在何处才能使PA+PB最短．（不需说明画法，保留画图痕迹）

新知初探贰深入探索

如图4（1），两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图4（2）中画出绿化带的位置．并写出画图过程．新知初探贰解：初步探索：如图EF即为所求的天桥的位置．

新知初探贰旧题重温：如图，点P即为所求．新知初探贰深入探索：如图，点C，点D即为所求．

当堂达标叁当堂达标叁

如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．RD课堂小结肆课堂小结肆

在解决最短路径问题时，