事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版

第十章概率10.1.2事件的关系和运算学习目标1.借助图示直观了解事件之间的包含关系和相等关系,了解并事件与交事件的概念,会进行事件的运算.2.理解互斥事件和对立事件的概念及关系.基础落实·必备知识一遍过知识点

事件的关系和运算符号读法含义Venn图B⊇A(或A⊆B)事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

事件A与事件B相等事件B包含事件A,事件A也包含事件B

若事件A发生,则事件B一定发生

A=B(B⊇A且A⊇B)

符号读法含义Venn图A∪B(或A+B)

事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中

事件A与事件B的交事件(或积事件)事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中

事件A与事件B的并事件(或和事件)A∩B(或AB)符号读法含义Venn图

事件A与事件B互斥(或互不相容)事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件

,且

,

即

=B,=A事件A与事件B互为对立事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生

A∩B=⌀

A∪B=ΩA∩B=⌀思考辨析如果事件A∪B是必然事件,那么事件A和事件B是对立事件吗?提示

不一定.事件A和事件B是对立事件满足两个条件:①A∩B=⌀;②A∪B=Ω.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√√×√2.掷一枚骰子,设事件A={出现的点数不小于5},B={出现的点数为偶数},则事件A与事件B的关系是(

)A.A⊆B B.A∩B={出现的点数为6}C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件B解析

A={出现的点数不小于5}={出现的点数为5,6},B={出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6},则A∩B={出现的点数为6},故B正确,A错误;因为事件A与事件B可以同时发生,故事件A与B不是互斥事件,也不是对立事件,故C,D错误.故选B.3.(人教B版教材习题)甲、乙两人各投一次篮,分别记事件A=“甲投中”,B=“乙投中”,试用A,B表示下列事件:(1)甲投中但乙没投中;(2)甲和乙都没投中.重难探究·能力素养速提升探究点一事件的关系与运算【例1】

一个不透明的盒子里有6个红球,4个白球,这些球除颜色外大小、质地完全相同.现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解

(1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白球,或2个红球,1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球,或2个红球,1个白球,或3个均为红球,故C∩A=A.变式探究在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有1个白球},那么事件C与B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?解

由事件C包括的可能结果为1个红球,2个白球,或2个红球,1个白球,或3个红球三种情况,故B⊆C,E⊆C.而事件F包括的可能结果为1个白球,2个红球,或2个白球,1个红球,或3个白球,所以CF={1个红球2个白球,2个红球1个白球}=D.规律方法

事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.探究点二互斥事件、对立事件的判断【例2】

从40张扑克牌(有红桃、黑桃、方块、梅花四种,每种点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.解

(1)是互斥事件,不是对立事件.理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.规律方法

一般判断互斥事件或对立事件时常从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).对于本例中的问题,

要把样本空间明确,再进行分析.变式训练1(1)(2025贵州贵阳高一期末)一个盒子中装有6支圆珠笔,其中3支一等品,2支二等品和1支三等品,若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”,事件B=“2支都是二等品”,事件C=“没有三等品”,下列说法正确的是(

)A.事件A与事件B互斥B.事件B与事件C互斥C.事件A与事件C对立D.事件B与事件C对立A解析对于A,事件A与事件B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,故A正确;对于B,若取到的两支笔都是二等品,则事件B与事件C同时发生,所以事件B与事件C不是互斥事件,故B错误;对于C,若取到的两支笔是一支二等品,一支三等品,则事件A与事件C都没有发生,所以事件A与事件C不是对立事件,故C错误;对于D,若取到的两支笔是一支一等品,一支三等品,则事件B与事件C都没有发生,所以事件B与事件C不是对立事件,故D错误.故选A.(2)(2025天津和平高一期末)从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是(

)A.取出的两个球一个为红色,另一个为黑色B.取出的两个球颜色相同C.取出的两个球至多有一个是红色D.取出的两个球至少有一个是红色A解析与事件“取出的两个球同为红色”对立的事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”,故所求事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”的子事件,且不能等同于该事件.对于A,由以上分析可知A正确;对于BD,由于取出的两个球可能都为红色,故不互斥,故BD不正确;对于C,由以上分析可知,C选项是事件“取出的两个球同为红色”的对立事件,故C不正确.故选A.探究点三用简单事件的和或积表示复杂事件【例3】(1)已知电路图

,其中记A1=“开关K1合上”,A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是

.

开关K1,K2同时合上

(2)(人教B版教材习题)设A,B,C为三个事件,说明下列各式所表示的意义:规律方法

进行事件运算时应注意的问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.变式训练2从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.(1)三次全取到次品;(2)只有第一次取到次品;(3)三次中至少有一次取到次品;(4)三次中恰有两次取到次品;(5)三次中至多有一次取到次品.A1A2A3

A1∪A2∪A3

本节要点归纳1.知识清单:(1)事件的关系和运算.(2)互斥事件和对立事件.2.方法归纳:Venn图法.3.常见误区:(1)易将互斥事件和对立事件混淆.(2)事件的和与事件的积在表示事件时易混淆.学以致用·随堂检测促达标123451.(2025安徽马鞍山高一期末)对空中移动的目标连续射击三次,设事件A=“三次都击中目标”,B=“三次都没击中目标”,C=“恰有两次击中目标”,D=“至少有两次击中目标”,下列关系中错误的是(

)A.A⊆D

B.B∩D=⌀C.A∪C=D D.A∪C=B∪DD12345解析

对空中移动的目标连续射击三次,则样本空间为Ω={三次都击中目标,恰有两次击中目标,恰有一次击中目标,三次都没击中目标},D=“至少有两次击中目标”包含:恰有两次击中目标和三次都击中目标.由题意可得,A⊆D,选项A正确;B∩D=⌀,选项B正确;A∪C=D,选项C正确;B∪D包含的样本点是三次都击中目标,恰有两次击中目标,三次都没击中目标,故A∪C≠B∪D,选项D错误.故选D.123452.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是(

)A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品D解析

抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则

为至多抽到1件次品.故选D.123453.同时抛掷两枚硬币,两枚都是正面向上为事件M,至少有一枚是正面向上为事件N,则有(

)A.M⊆N

B.M⊇NC.M=N