命题点4与圆有关的位置关系(必考)

第六章圆课标要求①了解直线与圆的位置关系；②掌握切线的概念；③了解直线与圆的位置关系，能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.命题点4与圆有关的位置关系(必考)要点归纳

1.

点和圆的位置关系如图，圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么，点与圆的位置关系

有三种：点A在圆外，即d

r；点B在圆上，即d

r；点C在圆内，即d

r.＞＝＜2.

直线和圆的位置关系设圆的半径是r，圆心到直线l的距离为d.直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有

⁠

公共点，叫作直线和圆相交直线和圆有

⁠

公共点，叫作

直线和圆相切直线和圆

⁠公共点，叫作直

线和圆相离图形

判定d＜rd＝rd＞r两个

唯一没有直线和圆的位置关系相交相切相离公共点名称及个数2个交点1个切点无公共点直线名称割线切线—综上所述，可用两种方法来判定直线与圆的位置关系：(1)根据直线和圆的公共点的个数来判断；(2)根据圆心到直线的距离d与半径r的数量关系来判断.3.

切线的性质定理及推论(1)切线的性质定理：圆的切线

于经过切点的半径.几何语言：如图，∵OB是☉O的半径，直线CD与☉O相切于点B，∴AB⊥CD.

垂直(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过

⁠.(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线，必经过

⁠.(4)定理及推论总结：对于以下三个条件：①垂直于切线；②过切点；③过圆心.如果一条直线满足其中任意两个，那么一定满足第三个.切点圆心4.

圆的切线的三种判定方法方法一：切线的判定定理：过半径

且

于这条半径的直线是圆的切线.几何语言：如图，∵OA是☉O的半径，且l⊥OA于点A，外端垂直∴l是☉O的切线.此方法的应用前提：已知直线经过圆上一点.此方法的应用思路：连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径和这

条直线垂直即可.此方法可简记为知交点，连半径，证垂直.方法二：根据圆心到直线的距离d与半径r的数量关系来判断，当d＝r时，直线

与圆相切.此方法的应用前提：不知直线与圆是否有公共点.此方法的应用思路：过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度等于半

径的长即可.此方法可简记为无交点，作垂直，证半径.方法三：根据定义来判断：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.失分警示：切线的判定定理和性质定理容易混淆，应用时一定要分清两个定理的条

件和结论.5.

中考考点考查1：直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的数量

关系来判断.出题形式多为选择题或填空题，难度较低.考查2：切线的性质和判定的综合应用，可单独命题，也可以和三角形

相似、函数等知识综合在一起，多以解答题形式出现，中等难度.6.

常用辅助线(1)连接圆心和切点；(2)过圆心作已知直线的垂线.命题点4与圆有关的位置关系(必考)随堂检测

1.

如图，已知☉O的半径为3，点O到某条直线的距离为4，则这条直线

可以是(

B

)A.

l1B.

l2C.

l3D.

l4B2.

(2022哈尔滨)如图，AD，BC是☉O的直径，点P在BC的延长线

上，PA与☉O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数

为(

A

)A.65°B.60°C.50°D.25°A3.

(2024山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与

AC相切于点A，连接OD.

若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(

D

)A.30°B.40°C.45°D.50°D4.(2022自贡)P为☉O外一点，PT与☉O相切于点T，OP＝10，∠OPT

＝30°，则PT的长为(

A

)A.

5

B.5C.8D.9A

5.

如图，在☉O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，

P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝

DP.

下列结论：①CD为☉O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有(

B

)A.3个B.2个BC.1个D.0个解析：连接OC，如图所示：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠APE＝∠DCP，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵EF⊥OA，∴∠OAC＋∠APE＝90°，∴∠OCA＋∠DCP＝90°，∴CD为☉O的切线，①正确；

∴∠CDP＝2∠A，③正确.6.

(2024河北保定一模)如图，已知☉O及☉O外一定点P，嘉嘉进行了

如下操作后，得出了四个结论：①点A是PO的中点；②直线PQ，PR都是☉O的切线；③点P到点Q、点R的距离相等；

对上述结论描述正确的是(

C

)A.

只有①正确B.

只有②正确C.

①②③正确D.

①②③④都正确C解析：由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂

直平分线，因此点A是PO的中点，故①正确；∵PO是☉A的直径，∴∠PQO＝∠PRO＝90°，

∴PQ⊥OQ，PR⊥OR，∴直线PQ，PR都是☉O的切线，故②正确；直线PQ，PR都是☉O的切线，根据切线长定理，可知PQ＝PR

，故③正确；

故④错误.

(1)求证：CD是☉O的切线；

(2)若四边形ABC