直角三角形课件北师大版数学八年级下册

第1课时

第一章三角形的证明3.直角三角形情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹直角三角形的两个锐角互余.这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.新知初探贰新知初探探究一：直角三角形的性质与判定贰问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？△ABC

是直角三角形，∵∠A+∠B+∠C

=

180°，又∵∠C

=

90°，∴∠A+∠B=90°.问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?

为什么?新知初探贰∵∠A+∠B+∠C

=

180°，又∵∠A+∠B=90°，∴△ABC

是直角三角形定理1直角三角形的两个锐角互余.定理2有两个角互余的三角形是直角三角形.∴∠C

=

90°.上面两个定理的条件和结论有什么关系？新知初探贰acb勾弦股勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即

a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.新知初探贰如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？新知初探贰

证一证ABC已知：如图，在

△ABC中，AC

2+BC

2=AB

2.求证：△ABC是直角三角形．分析：构造一个直角三角形与

△ABC全等，你能自

己写出证明过程吗？新知初探贰证明：作Rt△DEF，使∠E=90°，DE=AC，FE=BC，则

DE

2+EF

2=DF

2(勾股定理).∵AC

2+BC

2=AB

2(已知)，DE=AC，FE=BC(作图)，∴AB

2=DF

2.∴AB=DF.∴△ABC≌△DFE(SSS).∴∠C=∠E=90°.∴△ABC

是直角三角形．DFE

┏ABC新知初探贰定义总结勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4)上面两个定理的条件和结论有什么关系？新知初探探究二：互逆命题与互逆定理贰合作探究观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢?与同伴交流.新知初探贰观察上面三组命题，你发现了什么?如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.说出下列命题的条件和结论：如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.新知初探贰归纳总结在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.新知初探贰1.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；内错角相等，两条直线平行.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.

成立不成立随堂练习新知初探贰

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.如：“定理1与定理2”“定理3与定理4”都为互逆定理.(1)命题有真有假，而定理都是真命题；(2)每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；(3)原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.归纳总结注意当堂达标叁当堂达标叁1.下列说法正确的是(

)A.每个定理都有逆定理B.每个命题都有逆命题C.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D.真命题的逆命题是真命题B当堂达标叁2.已知下列命题：①若

，则a＞b；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个A当堂达标叁3.下列定理中，没有逆定理的是()A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．两直线平行，内错角相等D．直角三角形两个锐角的和等于90°B当堂达标叁4.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是()A.

∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶6 B.

a∶b∶c=1∶

∶2C.

∠C=∠A-∠B D.

b2=a2-c2A当堂达标叁5.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=15,D是AB上一点,BD=9,CD=12.(1)求证:CD⊥AB;(2)求AC的长.解:(1)证明:∵BC=15,BD=9,CD=12,∴BD2+CD2=92+122=152=BC2,∴∠CDB=90°,∴CD⊥AB.(2)∵AB=AC,∴AC=AB=AD+BD=AD+9.在Rt△ACD中,∵AC2=AD2+CD2,∴(AD+9)2=AD2+122,∴AD=

,∴AC=

.课堂小结肆课堂小结肆直角三角形角的性质边的性质勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形定理1：直角三角形的两个锐角互余定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形课堂小结肆互逆命题与互逆定理互逆命题互逆定理一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.概念概念课后作业基础题：1.课后习题

第1,2,6题。提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题第2课时

直角三角形全等的判定

第一章

三角形证明3.直角三角形情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．(1)你能帮他想个办法吗？

(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？新知初探贰新知初探探究一：直角三角形全等的判定贰问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且

AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF新知初探贰做一做已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段

a，c(a＜c)，直角

α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.αac新知初探贰结果展示(1)先画

∠MCN＝∠α＝90°.(2)在射线

CM

上截取

CB＝a.AMCM(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.(4)连接AB，得到Rt△ABC.Bαac新知初探贰已知：如图，在△ABC

与△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，

AB=A′B′，AC=A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′证明：在△ABC中，ABCA′B′C′∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴BC＝B'C'.∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，同理，B'C'2＝A'B'2－A'C'2.∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理).∵∠C＝90°验证结论新知初探贰归纳总结文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：“斜边、直角边”判定方法在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′，BC=B′C′，ABCA′B′C′新知初探贰1.

已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，

求证：BC=AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA，

AC=BD.在

Rt△ABC

和

Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路随堂练习新知初探贰

变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.(1)

()(2)

()(3)

()(4)

()ABDCAD＝BC∠DAB＝∠CBABD＝AC∠DBA＝∠CABHLHLAASAAS新知初探探究二：典型例题贰例1

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度

AC与右边滑梯水平方向的长度

DF

相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形的对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°(直角三角形的两锐角互余)，∴∠B

+∠F

=

90°.解：根据题意，可知∠ABC=∠DEF

=90°，BADFCE新知初探贰证明：∵AD，AF

分别是两个钝角△ABC

和△ABE

的高，且

AD＝AF，AC＝AE，∴

Rt△ADC

≌

Rt△AFE

(HL).∴

CD

＝

EF.∵AD

＝

AF，AB

＝

AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF

(HL).∴

BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即

BC＝BE.

2.

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若

AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.随堂练习当堂达标叁当堂达标叁1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有(

)

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等D2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则

△ADB与△ADC

(填“全等”或“不全等”)，依据是

(用简写法).全等HL┑当堂达标叁3.如图，在

△ABC中，已知

BD⊥AC，CE⊥AB，

BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在

Rt△EBC

和

Rt△DCB

中，CE=BD，BC=CB，

∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).当堂达标叁4.

如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ