复数的三角表示课件-高一下学期数学湘教版

第3章

复数3.4复数的三角表示问题1：你能说说复数的几何意义吗？

复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应

一一对应一一对应问题2：复数可以用平面向量表示，是否还可以用其他形式呢？比如用三角函数来表示复数？xyOabrZ:a+bi

如图,我们将以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角，记作argz.复数的三角表示当0≤θ＜2π时，我们称为复数z的辐角主值，即0≤argz＜2π.复数的辐角并不唯一，z的全部辐角argz＝θ＋2kπ(k∈Z).我们将r(cosθ+isinθ)的形式，称为复数的三角形式，其中

，cosθ=

，sinθ=.试一试：已知复数的模为r，辐角为θ，如何表示这个复数？

我们将r(cosθ+isinθ)的形式，称为复数的三角形式，其中

，cosθ=

，sinθ=.思考1：z=0时，辐角θ为多少?零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的如果z=0，则|z|=0，辐角θ可以取任意值，对每个值仍有z=r(cosθ+isinθ).思考2：两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)相等的充要条件是什么？|r1|=|r2|=0，或|r1|=|r2|>0且θ2=θ1+2kπ，k∈Z.

2.代数形式与三角形式的互化1.复数三角形式z＝r（cosθ＋isinθ）的特点（1）r≥0；（2）实部为余弦，虚部为正弦；（3）cosθ与isinθ之间用“＋”相连；（4）角要统一.要点归纳辨一辨例1把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)

；(2)i.解:(1)因为r==2，所以cosθ=

.又

对应的点在第一象限内，因而θ=.

所以(2)因为r=1，而θ=

，所以显然需要在0≤θ＜2π时，确定复数z的辐角主值，如何确定呢？1.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（B）A.z＝（sin45°＋icos45°）B.z＝（cos45°＋isin45°）C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）]D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）]

B1.代数形式化为三角形式的步骤： (1)先求复数的模r＝|z|，(2)确定Z(a，b)所在的象限，(3)根据象限求出辐角，(4)写出复数三角形式.2.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值.3.三角形式化为代数形式，直接计算三角函数值即可.复数三角形式与代数形式的互化的一般思路方法归纳对于两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，试计算z1·z2.提示：运用正余弦的和角公式.复数三角形式的乘法运算想一想：两个复数z1，

z2相乘，有什么几何意义?两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)与z2=r2(cosθ2+isinθ2)的乘法公式：上式表明，两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和.你能将公式推广到n个复数相乘吗？旋转、伸缩思考：如图，z1·z2对应向量OQ是如何由z1、z2对应的向量Z1、Z2变化得到的？→→→z1·z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]模数相乘，辐角相加

推广到n个复数相乘的情形，就是

z1·z2·…·

zn

=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]，其中n∈N+.如果r1=r2=…=rn=r，θ1=θ2=…=θn=θ，则有[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，其中n∈N+①棣莫弗公式

模数相乘，辐角相加z1·z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]

A.4（cos90°＋isin90°）B.4（cos30°＋isin30°）C.4（cos30°－isin30°）D.4（cos0°＋isin0°）

D1.将复数z对应向量旋转任意角度α，可以看做乘以哪个复数？结论：用cosα+isinα乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角α.2.当α=90°时，你能得到什么结论？结论：虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转90°.3.讨论i²=-1及（-i）²=-1的几何意义.议一议：复数乘法的几何意义

按照上面的几何解释，对于(－1)2=1，乘－1就是向后转，乘(－1)2就是后转两次，转回原来的方向.i²=-1及（-i）²=-1的几何意义：当-i自乘时，相当于将向量绕原点O逆时针旋转90°，此时向量变为（1,0），即实轴正方向单位向量，对应数值1.当i自乘时，相当于将向量绕原点O逆时针旋转90°，此时向量变为（-1,0），即实轴负方向单位向量，对应数值-1.

表示i自乘表示-i自乘i²=-1及（-i）²=-1的几何意义.复数三角形式的除法运算提示：乘分母的共轭复数分母有理化.两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，当z2≠0时，试计算.z1z2两个复数相