2021大学初等数论挂科补考专用题库及高频考点答案

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一、单项选择题（每题2分，共20分）1.整数a,b,c满足a|b,b|c，则（）A.a|cB.c|aC.a=cD.无法确定2.若(a,b)=1，则(a+b,a-b)等于（）A.1或2B.aC.bD.a+b3.同余方程3x≡5(mod7)的解是（）A.x≡4(mod7)B.x≡1(mod7)C.x≡2(mod7)D.x≡3(mod7)4.模12的最小非负完全剩余系是（）A.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11B.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12C.-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5D.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,125.100!末尾有（）个0。A.20B.21C.24D.256.不定方程x+y=5有（）组正整数解。A.3B.4C.5D.67.若p为质数，则模p的原根个数为（）A.p-1B.pC.2D.18.欧拉函数φ(12)的值是（）A.4B.6C.8D.129.整数5模7的阶是（）A.3B.4C.5D.610.同余方程组x≡1(mod3),x≡2(mod5)的解是（）A.x≡7(mod15)B.x≡8(mod15)C.x≡11(mod15)D.x≡13(mod15)二、填空题（每题2分，共20分）1.最小的质数是______。2.360的正约数个数为______。3.15与25的最大公因数是______。4.同余方程5x≡3(mod8)的解是______。5.模11的最小正简化剩余系是______。6.1000!中2的最高次幂是______。7.不定方程3x+5y=11的所有整数解是______。8.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac≡______(modm)。9.欧拉定理是______。10.威尔逊定理是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.若a|b，b|c，则a|c。（）2.两个奇数的和一定是偶数。（）3.若(a,b)=1，则a与b一定互质。（）4.同余方程ax≡b(modm)一定有解。（）5.模m的完全剩余系中元素个数为m。（）6.1不是任何数的倍数。（）7.若p为质数，则对任意整数a，有a^p≡a(modp)。（）8.欧拉函数φ(n)是小于等于n且与n互质的正整数的个数。（）9.整数a模m的阶一定小于m。（）10.若(a,m)=1，则a在模m下一定有逆元。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求12与18的最大公因数和最小公倍数。2.解同余方程4x≡5(mod9)。3.说明什么是原根。4.简述中国剩余定理。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论如何判断一个数是否为质数。2.讨论同余方程解的存在性和唯一性。3.讨论欧拉函数的性质和应用。4.讨论中国剩余定理的应用。答案：一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.C6.A7.A8.C9.A10.A二、填空题1.22.243.54.x≡7(mod8)5.1,2,3,4,5,6,7,8,9,106.9977.x=2+5t,y=1-3t（t为整数）8.bd9.若(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)10.若p为质数，则(p-1)!≡-1(modp)三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.12=2^2×3，18=2×3^2，所以最大公因数为6，最小公倍数为36。2.4x≡5(mod9)，即4x=5+9k（k为整数），解得x=(5+9k)/4，当k=1时，x=7。3.若g是模m的原根，则g^0,g^1,g^2,…,g^φ(m)-1模m两两不同余。4.设m_1,m_2,…,m_n是两两互质的正整数，M=m_1m_2…m_n，M_i=M/m_i，i=1,2,…,n，若线性同余方程组x≡a_1(modm_1),x≡a_2(modm_2),…,x≡a_n(modm_n)有解，则解为x≡a_1M_1y_1+a_2M_2y_2+…+a_nM_ny_n(modM)，其中y_i是M_i在模m_i下的逆元。五、讨论题1.可以用试除法，从2开始到该数的平方根逐一判断是否能整除该数。2.