专题指对幂函数的图像与性质（期末复习讲义10大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教A版

专题07指对幂函数的图像与性质（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律6.1指数幂的运算与化简能熟练运用分数指数幂、负指数幂的运算法则进行化简计算。计算能力的基础考查。6.2对数的定义与运算性质（积、商、幂、换底公式）能进行对数式与指数式的互化，并能运用运算性质化简求值。高频计算题，公式记忆和运用是易错点。6.3指数函数与对数函数的图象与性质（定点、单调性）能根据底数a>1或0<a<1判断函数图象和单调性。所有比较大小、解不等式问题的基础。6.4利用指数/对数函数单调性比较大小能将幂值、对数值化归到同一函数，利用单调性比较。高频考点，常需引入中间量0或1。6.5简单的指数/对数不等式求解能利用单调性（注意底数决定不等号方向）解简单不等式。易错点在底数在(0,1)时不等号要反向。6.6幂函数的图象与性质（定义域、奇偶性、单调性、过定点）能掌握5类等常见幂函数的性质。常与指数、对数函数放在一起比较。6.7不同函数增长差异的比较能在图象上识别直线上升、指数爆炸、对数增长的区别。新教材素养题，考查直观想象6.8指数型/对数型复合函数的单调性能判断指对复合函数的单调性，掌握“同增异减”法则。中档难点。易错点是忽略内层函数f(x)本身的定义域及其单调性对整体的影响。6.9指数型/对数型复合函数的值域能通过换元法，将复合函数转化为二次函数等基本函数在特定区间上求值域。中档难点。易错点是在换元后，未能准确求出新元（内层函数f(x)）的取值范围（即新函数的定义域）知识点01根式的概念及性质（1）概念：式子na叫做___根式___，这里n叫做根指数，a（2）①__负数____没有偶次方根．②0的任何次方根都是0，记作n0=___0③(na)n=___a___④nan=a（n⑤nan=a=知识点02分数的指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn=nam负分数指数幂规定：a-mn=1性质0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义知识点03实数指数幂的运算性质（1）aras=ar+s（2）ars=ars（3）abr=arbr知识点04指数函数的一般形式9．一般地，函数y=ax（a>0,a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为知识点05指数函数的图象及性质a>10<a<1图象性质定义域R值域0,+过定点过点0,1，即x=0时，y=1函数值的变化当x>0时，y>1当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<当x<0时，y>单调性是R上的增函数是R上的减函数知识点06解指数不等式（1）指数不等式的类型为afx>①当a>1时，fx>gx②当0<a<1时，fx<g（2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．知识点07比较指数幂大小的方法（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．知识点08对数的定义如果ab=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作b=logaN，这里，a叫作对数的底数，N叫作

知识点09常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记作lgN，以无理数e=2.71828⋯为底数的对数称为自然对数，并且把log知识点10对数的基本性质及对数恒等式性质1负数和零没有对数性质21的对数是0，即loga1=0性质3底数的对数是1即logaa=1对数恒等式：alogaN=N，知识点11对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：（1）logaMN=（2）logaMN=（3）logaMn=推广：loga，，知识点12换底公式换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。知识点13对数函数的一般形式及定义域一般地，函数y=logaxa>0，且a≠1叫作对数函数，其中x是自变量，对数函数的定义域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0;若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1知识点14对数函数的图象及性质a>10<a<1图象性质定义域0,+值域R过定点过定点1,0，即x=1时，y=0函数值的变化当0<x<1时，y<0当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0当x>1时，y<0单调性是0,+∞上的增函数是0,+∞上的减函数知识点15解对数不等式（1）形如logafx>logagx的不等式，借助函数y=logax的单调性求解，如果（2）形如logafx>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式（3）形如logafx>logb（4）形如flogax>0的不等式，可用换元法（令t=logax），先解ft>0知识点16幂函数的定义及一般形式一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，知识点17幂函数的图象和性质（1）常见的五种幂函数的图象

（2）幂函数的性质①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点②如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞③如果α<0，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近（3）常见的五种幂函数的性质解析式y=xy=y=y=y=图象定义域RRR{x∣x≠0}[0,+∞值域R[0,+∞R{y∣y≠0}[0,+∞奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性增(-∞,0]上减，0,+∞增(-∞,0)上减，(0,+增定点1,1知识点18幂函数的奇偶性题型一指数与对数的运算【典例1】（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案.【详解】由，得，而，则，所以.故选：D【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期末）（多选）已知，，则下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】对A，根据判断；对B，根据判断；对C，根据，，结合换底公式判断即可；对D，根据对数的运算判断即可.【详解】对于A，由，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由指对互换可知，因为，，那么，，由换底公式可得：，故C正确；对于D，因为，，所以，故D错误.故选：ABC【典例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得；（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得.【详解】（1）；（2）.【典例4】（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；.（2）利用对数的运算法则和性质，即可求解.【详解】（1）（2）【变式1】（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到.【详解】，.故选：C【变式2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则（

）A．10 B．100 C．1000 D．10000【答案】B【分析】由指数和对数的运算求解即可.【详解】因为，，所以，又，，所以，所以．故选：B【变式3】（24-25高一下·四川成都·期末）设，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解.【详解】依题意，，所以.故选：D【变式4】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算：(1)；(2)；(3)若，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值；（3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可.【详解】（1）原式（2）原式；（3）由得.题型二指数函数的图象及其应用解｜题｜技｜巧（1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。（2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。（3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。【典例1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项.【详解】指数函数的一般形式为（且），其具有以下性质：定义域为，值域为当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.图象恒过点.观察图像可知，D有可能是指数函数图象.故选：D【典例2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数的性质确定函数图象所过的定点.【详解】令，得，即函数的图象恒过定点.故选：D【变式1】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解.【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误；因为且，所以为增函数，当时，为增函数，此时的零点，故A错误；当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误.故选：C.【变式2】（25-26高一上·江西赣州·月考）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解.【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点，又由函数的图象过函数图象的定点，可得，即，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.【变式3】（24-25高一上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案.【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以；因为角的终边过点，所以，所以.故选：C题型三指数（型）函数的单调性解｜题｜技｜巧（1）当底数大于1时，指数函数单调递增；底数大于0小于1时，单调递减。（2）对于指数型复合函数，依据“同增异减”原则判断单调性。（3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。【典例1】（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项.【详解】令，，则，∵在上为增函数，在上为减函数，∴的减区间为.故选：B.【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数【答案】B【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断.【详解】由，其定义域为R，关于原点对称，，所以是奇函数.又，因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且，所以在R上单调递减，则在R上单调递增，那么在R上单调递增.故单调递增且是奇函数.故选：【典例3】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性求解判断.【详解】令，对称轴为，又是R上增函数，因为是上的增函数，所以，即，所以实数的取值范围为.故选：A.【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可.【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．故选：D.【变式2】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（

）A．在上单调递增且值域为B．在上单调递减且值域为C．在上单调递增且值域为D．在上单调递减且值域为【答案】B【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.【详解】令，则视为由和构成的复合函数，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，由指数函数性质得在上单调递增，由复合函数性质得在上单调递减，而，故，故B正确.故选：B【变式3】（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可.【详解】令，则，当时，在R上单调递减，当时，在R上单调递增，由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得，所以的取值范围是.故选：A.【变式4】（24-25高一上·吉林·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的单调性，结合指数型复合函数的单调性即可求解.【详解】由于为单调递增函数，为开口向下的二次函数，且对称轴为，要使在区间上单调递减，则只需要在区间上单调递减，故，解得，故选：A题型四指数（型）函数的值域与最值解｜题｜技｜巧（1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。（2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。（3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于0。【典例1】（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案.【详解】令，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数的值域为.故选：D.【典例2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案.【详解】令，则，因为在上单调递增，所以，又单调递减，且，所以，即的值域是.故选：B.【典例3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2.(1)求实数的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据和两种情况讨论，求出函数在区间上的最值，即可得解；（2）根据指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）①当时，函数单调递减，有，，由题意有，整理为，方程无解，②当时，函数单调递增，有，，由题意有，整理为，解得（舍去）或，综上，实数的值为4；（2）由（1）知，有，不等式可化为，由指数函数的单调性可知，，可得.有或，故不等式的解集为.【变式1】（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对符合函数拆分，由二次函数的性质求出内函数的值域，再由指数函数求出外函数的值域，即可得到复合函数的值域.【详解】令，对称轴，开口向上，∴，∴，∵，∴函数在上单调递减，∴，故选：D【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可；【详解】令，则，则原函数可化为，因为，所以，当且仅当即时取等号，所以当时，；当时，，所以函数的值域为；故选：C.【变式3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若在上的最大值为0，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围；（2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值.【详解】（1）令，则该函数为增函数，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故，即.（2）令，则函数的最大值为0，①当即时，，解得；②当即时，，解得，舍去；综上，题型五对数函数的图象与性质【典例1】（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出使函数解析式有意义的的取值范围即可.【详解】因为函数，所以，解得且，所以函数的定义域为：且.故选：B.【典例2】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【答案】C【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出和的值，进而得到的值.然后利用均值不等式来求的最小值.【详解】对于对数函数，当时，（且）.对于指数函数，当时，（且）.所以当时，.即函数的图象恒过定点，所以，.已知，把，代入可得.将进行变形，.展开式子得.因为，，根据均值不等式，有.则.当且仅当时等号成立.故选：C【典例3】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案.【详解】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，，，所以，，由图可知当时，，所以A选项正确.故选：A【变式1】（24-25高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0求的取值范围即可.【详解】由题意：，所以所求函数的定义域为：.故选：B【变式2】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令即可求得定点坐标.【详解】令，得，此时，故定点坐标为.故选：A【变式3】（25-26高一上·贵州·期末）若函数，则的大致图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的零点和单调性进行排除，从而确定正确选项.【详解】令可得，当时，，排除选项CD.当时，且，排除选项A，又函数单调递增，B正确.故选：B.【变式4】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解.【详解】因为在同一坐标系中，所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，故选：C.题型六对数（型）函数的单调性解｜题｜技｜巧看底数。对于复合函数，用“同增异减”的原则，把函数拆成外层对数函数和内层函数，分别判断它们的单调性，再综合起来看。（3）函数里有参数时，讨论参数对底数范围的影响，确定不同参数情况下函数的单调区间。【典例1】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的单调递减区间为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由，求得，再由对数型复合函数的单调性即可判断；【详解】由，可得：或，易知当时，单调递减；再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减；故选：B【典例2】（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构建，根据对数函数性质可知函数在区间上单调递增，且在内恒成立，列式求解即可.【详解】构建，其图象开口向上，对称轴为，因为函数在区间上单调递增，且在定义域内单调递增，则函数在区间上单调递增，且在内恒成立，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.【典例3】（24-25高一上·福建南平·期末）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.【详解】由题，当时，单调递增，又是R上的单调函数，所以，解得.所以实数的取值范围为.故选：B.【变式1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数【答案】D【分析】利用复合函数的单调性可得出结论.【详解】对于函数，有，可得，即函数的定义域为，因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数.故选：D.【变式2】（24-25高一上·河南周口·期末）若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复合函数单调性得到，故，由于真数大于0，结合函数单调性得到不等式，求出答案.【详解】由题意得且，解得且，由于在上单调递减，而在上单调递减，由复合函数单调性可知，需在上单调递增，故，故，又真数大于0，故在上恒成立，由于在上单调递减，故只需，解得，故.故选：D【变式3】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复合函数的单调性，即可求参数的取值范围.【详解】函数为增函数，的对称轴为，开口向上，若函数在区间上单调递增，则且，解得：.故选：C40．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数为减函数，结合对数函数、二次函数的单调性及端点值的大小列不等式组，求解即可.【详解】由，且在上单调递减，得，即，解得，所以的取值范围是.故选：D题型七指对数函数中奇偶性的应用【典例1】（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值.【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得，函数，，是奇函数，所以.故选：A【典例2】（24-25高一下·贵州毕节·期末）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的定义直接判断.【详解】A选项：的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，A选项错误；B选项：的定义域为，且，即函数为偶函数，B选项错误；C选项：的定义域为，且，即函数为非奇非偶函数，C选项错误；D选项：，定义域为，且，即函数为奇函数，D选项正确；故选：D.【典例3】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上单调递增 D．在和上单调递减【答案】BCD【分析】求出函数的定义域，结合奇偶性、单调性逐项判断即得.【详解】函数，由，解得，因此的定义域为，显然，函数是奇函数，不是偶函数，A错误，B正确；函数，显然在单调递增，当时，，函数在上单调递增，于是在上单调递增，C正确；当或时，，函数在，上单调递减，于是在，上单调递减，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）已知是奇函数，则（

）A． B．在上单调递增C．的值域为 D．的解集为【答案】AC【分析】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式.【详解】因为是奇函数，定义域，所以当时，恒成立，即，A正确；所以，记，当时，单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误；因为且，所以且，所以或所以或所以的值域为，C正确；因为，且在上单调递减所以等价于又因为单调递减，所以所以的解集为.D错误.故选：AC【变式2】（2024·重庆·模拟预测）（多选）函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.【详解】因为函数的定义域为R，又，所以函数为偶函数，由恒成立，可知函数的定义域为，又，所以，即函数为奇函数，对于A，因为，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误；对于B，因为函数的定义域为，又，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立；所以函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，故C正确；对于D，令，则函数的定义域为，又，所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误.故选：BC．【变式3】（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数，.下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．C．，使得D．，都有【答案】AD【分析】首先判断、的奇偶性，即可判断A，根据指数的运算判断B，利用作差法得到，即可判断C，再判断的单调性，结合C即可判断D.【详解】函数，的定义域均为，且，，所以为偶函数，为奇函数，则,所以为奇函数，故A正确；因为，，所以，故B错误；因为，所以，所以不存在，使得，故C错误；因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，又，所以，都有，故D正确；故选：AD【变式4】（24-25高一下·山西运城·月考）（多选）已知函数，则（

）A．函数为偶函数B．函数的增区间为，减区间为C．函数的值域为D．若，则实数的取值范围为【答案】ABD【分析】A利用偶函数的定义；B利用复合函数的单调性求出在上的单调性，再利用对称性即可；C先求出当时，即可得出的范围，再结合对称性即可；D利用以及对称性和单调性即可.【详解】对于A选项，函数的定义域为，由，有，可得函数为偶函数，故A选项正确；对于B选项，当时，，由函数在上单调递增，在上单调递增，可得函数在上单调递增（复合函数的单调性），又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，故B选项正确；对于C选项，当时，由，得，有，可得，又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误；对于D选项，由及函数是偶函数，且函数的增区间为，减区间为，，可得，故D选项正确．故选：ABD.题型八指对数函数值的大小比较【典例1】（24-25高一上·河北邯郸·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合指数函数及对数函数的单调性即可比较a，b，c的大小．【详解】因为，所以，又，所以故选：【典例2】（24-25高一上·山东泰安·期末）设，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为在上递增，且，所以，即，因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以.故选：A【典例3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对数的单调性，基本不等式的公式，即可求解.【详解】，又，则，因为，则，故，综上所述，.故选：D.【典例4】（24-25高一上·河南驻马店·期末）记，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用作差法依次判断的大小关系.【详解】因为，所以.因为，所以.因为，所以.综上可知：.故选：A.【典例5】（24-25高一上·广东茂名·期末）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过构造函数或者利用对数的运算性质转换来逐步分析它们的大小.【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.利用换底公式，则，.计算.根据基本不等式，对于和，有.而，即.所以，也就是，即.

比较与的大小，同样利用换底公式，，.计算.由基本不等式，对于和，.且，即.所以，也就是，即.

综上可得.故选：B.【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，所以，又因为，所以，综上，.故选：B【变式2】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知，，则下列判断错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用对数函数的单调性可判断AC选项；求出、的范围，结合不等式的基本性质可判断B选项；利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为对数函数在上为增函数，则，A对；对于B选项，因为对数函数在上为增函数，则，，即，，所以，，B错；对于C选项，，即，C对；对于D选项，，D对.故选：B.【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先证明（，），再由换底公式及对数函数的性质判断即可.【详解】若，，则，即，而，，，又因为，，所以，，所以.故选：B【变式4】（23-24高一上·重庆·期末）已知，则以下关于的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且，由零点存在性定理可得，，又，因此，，可得，，，，，，，．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.【变式5】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过分析指对函数的底数，知道对应函数的单调性，由单调性估计的值的范围，从而知道它们之间的大小关系.【详解】∵且，函数在上单调递减，∴；∵且，函数在上单调递减，∴，∴；∵幂函数恒大于0，∴；∴，故选：C.【变式6】（24-25高一上·福建泉州·期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到，得到，根据得到，而，从而比较出大小.【详解】因为，所以，，故，，，又，所以，，故，，，因为，，所以，，故，，，，结合正弦函数图象，的正弦值，随着角度的增加，正弦值可约等于也在成比例的增加，其中，，故，事实上，查阅正弦表，可知，故，综上，故选：A【点睛】关键点点睛：得到，，而，利用中间值比较出大小【变式7】（24-25高一上·山东聊城·期末）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用对数运算可知，，且，，进而计算，结合对数函数单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D.【详解】根据题意，，，对于A，，A正确；对于B，，因为，所以等号不成立，即，B错误；对于C，由，，，则，由，可得，C正确；对于D，由于，，所以，，则，，且，由于为减函数，所以，由于为增函数，所以，所以，即，则，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于D项，将等价转化为，进而利用指数函数和幂函数的单调性判断是关键.【变式8】（24-25高一上·福建莆田·期末）（多选）下列大小关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据对数函数的性质判断A；根据诱导公式以及正弦函数的性质判断B；由指数幂的运算、幂函数的单调性判断CD.【详解】因为，所以A正确；因为，所以，所以B正确；因为，所以，C错误；因为在上单调递增，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，D正确.故选：ABD.题型九幂函数的图象【典例1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）幂函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的性质进行判断.【详解】因为，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称；又，所以在上单调递减.故选：C【典例2】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可.【详解】因为幂函数的图象不过原点，则，解得.故选：B.【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象.【详解】因为，当时，，所以过定点，设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得，所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确，故选：C.【变式2】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）（多选）已知幂函数，则下列说法正确的有（

）A．或3 B．一定为奇函数C．一定为减函数 D．必过点【答案】ABD【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断.【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确；对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确；对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误；对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确.故选：ABD【变式3】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（

）A．函数为偶函数 B．若，则C． D．【答案】C【分析】令，根据函数过点，代入求出的值，即可求出函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】令，由，得，解得，则，所以的定义域为，则为非奇非偶函数，故A错误；因为，所以在上单调递增，则当时，，故B错误；当且时，，，则，，又，所以，则，所以，故C正确；当时，即，故D错误.故选：C题型十幂函数的单调性与奇偶性【典例1】（24-25高一上·辽宁·期末）若幂函数是偶函数，则（

）A．-2 B．3 C．1 D．1或3【答案】C【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出或，结合函数奇偶性排除，得到答案.【详解】因为是幂函数，所以，解得或.当时，是偶函数，符合题意；当时，是奇函数，不符合题意.故选：C【典例2】（24-25高一上·广东·期末）若幂函数在上是单调递增的，则（

）A． B．C．在上是单调递增函数 D．是偶函数【答案】C【分析】先根据幂函数性质得到，，代入计算得到AB错误；根据的单调性和奇偶性得到C正确，D错误.【详解】由题意得且，解得或（舍去），故，A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确；D选项，，故不是偶函数，D错误.故选：C【典例3】（25-26高一上·河北张家口·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．的图象过点C．是单调函数 D．无最值【答案】D【分析】先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，当时，，定义域为，为奇函数，且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值；当时，，定义域为，为奇函数，且在定义域上为增函数，无最值.综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确.故选：D.【变式1】（24-25高一上·宁夏石嘴山·月考）（多选）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（

）A． B．为偶函数C．为单调递增函数 D．的值域为【答案】ABD【分析】由幂函数定义可得，然后可得奇偶性，单调性，值域.【详解】对于A，因为幂函数，则，故A正确；对于B，由A，为偶函数，故B正确；对于C，在上单调递减，在上单调递增，则不为定义域上的单调递增函数，故C错误；对于D，注意到，则的值域为，故D正确.故选：ABD【变式2】（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的取值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据幂函数的定义和性质及可求解.【详解】为幂函数，，解得或．又在上单调递减，，故，故选：A．【变式3】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（

）A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断【答案】C【分析】由函数为幂函数可得或，再结合函数的性质确定，结合单调性的性质可得结论.【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或；因为对任意且，都有，可知函数在上单调递增，当时，，此时函数在上单调递减，矛盾，当时，，函数在上单调递增，满足条件，所以，，函数为奇函数，函数在上单调递增，由，可得，所以，即，所以.故选：C.期末基础通关练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的特点以及分母不等于0即可得到不等式组，解出即可.【详解】函数的定义域需满足，解得且，故选：D2．（24-25高一上·海南·期末）幂函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C【分析】根据函数为幂函数得，进而判断幂函数的奇偶性和单调性，即可得答案.【详解】由题设，则为非奇非偶函数，且在上单调递增.故选：C3．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定与0和1的大小，即可；【详解】因为，，，所以.故选：C.4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数单调性比较出大小，求出答案.【详解】在上单调递增，又，故.故选：A5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则（

）A．10 B．100 C．1000 D．10000【答案】B【分析】由指数和对数的运算求解即可.【详解】因为，，所以，又，，所以，所以．故选：B6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数函数的单调性确定的取值范围，由指数函数的图像及单调性确定的取值范围即可比较大小.【详解】由对数函数在上单调递增，所以，所以，对数函数在上单调递增，所以，所以，因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减，所以，所以，所以：故选：B7．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解.【详解】，则，即.故选：C.二、多选题8．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知点在幂函数的图象上，则（

）A．偶函数 B．奇函数C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】BC【分析】代入点的坐标求解，即可根据奇偶性的定义判断AB，根据基本函数的单调性判断CD.【详解】设幂函数，代入可得，故，因此，对于A，由于函数的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，且在上单调递减,故AD错误，BC正确.故选：BC.9．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式可得，利用1的代换计算可判断A；利用配方法可求最小值判断B；利用对数运算可判断C；利用平方法可求得，可判断D.【详解】由题意，，当且仅当时，取等号，对于A、，当且仅当时，取等号，故A正确；对于B、，当且仅当时，取等号，故B正确；对于C、，当且仅当时，取等号，故C正确；对于D、因为，且，则，当且仅当时，取等号，故D错误.故选：ABC.三、解答题10．（25-26高一上·贵州·期末）（1）已知，求的值；（2）计算的值.【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）利用指数运算及完全平方公式计算即可；（2）利用指数运算法则及对数的运算法则计算即可.【详解】（1），则两边同时平方可得，，故.（2）.11．（24-25高一上·全国·周测）已知函数．(1)求函数的解析式；(2)解方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式；（2）求出的值，然后直接解方程即可.【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为，在等式中，用替代可得，所以，解得，（2）因为，由可得，整理得，可得或，解得或.12．（24-25高一上·广东·期末）计算以下的值：(1)；(2)；(3)化简：已知，求.【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）利用指数运算法则计算可得结果；（2）根据对数运算法则直接计算即可；（3）利用诱导公式化简可得，再将其代入计算可得结果.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）由，得，即，所以.期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域.【详解】选项A，函数的定义为，故A错误；选项B，由得，故的定义域为，故B错误；选项C，由得，故的定义域为，故C错误；选项D，由得，故的定义域为，故D正确，故选：D2．（24-25高一上·四川成都·期末）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数单调性证明，再证明，，，由此可得结论.【详解】因为函数为增函数，又，，所以，故，所以，，又，所以，又，所以.故选：C.3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得的定义域，进而判断奇偶性，利用复合函数的单调性判断在的单调性，通过比较的大小可得结论.【详解】函数的定义域为，又因为，所以函数为偶函数，设，则，因为在为单调递增函数，函数在为单调递减函数，所以在为单调递减函数，，又，又，所以，所以，即.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小关系的问题，解题关键是能够根据对数函数单调性确定自变量的大小关系，进而结合函数的单调性确定函数值的大小.4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先分别分析，的取值范围，再分析的取值范围，最后比较三者大小.【详解】因为对数函数在上单调递增，且，，所以.对数函数在上单调递增，且，，所以.进一步比较和的大小，利用换底公式，..因为（基本不等式），，所以，即.指数函数单调递增，，，，且，，所以.综上可得，即.故选：A.5．（24-25高一上·河南焦作·期末）已知幂函数的图象分别经过两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将点的坐标代入函数解析式中可得，表示出，然后逐个分析判断.【详解】把两点分别代入可得，所以，，对于A，，若，则，得，此方程无解，所以不成立，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，，因为在上递减，且，所以，即，所以，所以不成立，所以C错误，对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误.故选：B．二、多选题6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（

）A．不等式解集为B．的图图像关于轴对称C．是上的递增函数D．的值域为【答案】ACD【分析】化去绝对值再利用指数函数的单调性解不等式可判断A；判断函数的奇偶性可判断B；根据复合函数单调性判断C；通过求含指数函数的复合函数的值域判断D.【详解】对于A，由得，即，解得.故A正确；对于B，因为，所以函数是奇函数，其图像关于原点对称，不关于y轴对称，故B不正确；对于C，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，因此函数是增函数，故C正确；对于D，由，所以函数的值域为，故D正确.故选：ACD.7．（24-25高一下·云南昆明·期中）若实数、满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】设函数，利用其为增函数，有一个零点得到，即可判断A；由已知可得，可得，即可判断B；由及，可得，即可判断C；由B可得，进而得到，即可判断D.【详解】设函数，显然为增函数，，，由已知，故，故A错误；由，有，故，则，故，故B正确；由，得，故，故C正确；由，得，则，设,,因为在递增，所以,，故D正确.故选：BCD.8．（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得.【详解】由，可得，则，对于A，由是增函数，是减函数，可得，故，故A正确；对于B，因为，所以，又在区间上单调递增，则在区间上单调递增，所以，则有，故B错误；对于C，由，又在区间上单调递减，可得，故有是减函数，则，又由在上是增函数可得，，因此，故C正确；对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得，因此，两边取对数可得，故D正确.故选：ACD．【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法：（1）利用基本函数的单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；（2）借助中间值进行比较，常用和.三、解答题9．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)已知函数，，求的值域.【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据是指数函数，由求解；（2）由（1）得到，令，由求解.【详解】（1）因为函数是指数函数，所以，解得；（2）由（1）知，令，则，因为在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值51，所以的值域为.10．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点．(1)求函数的解析式；(2)求函数的值域；(3)若成立，求x的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根据的图像经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可.（2）先列出函数的解析式，然后结合内层二次函数的值域与外层指数函数的单调性求复合函数的值域即可.（3）先化简不等式，然后结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可.【详解】（1）因为（，且）的图像过点，所以，解得，所以．又函数是函数的反函数，所以．（2）由（1）可知，因为是减函数，所以，所以函数的值域为．（3）因为在上单调递减，，即，所以，解得，所以x的取值范围为.11．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点．(1)求函数的值，并求的定义域和值域；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，定义域为，(2)或4【分析】（1）根据函数过一点得参数的值，再根据对数复合函数求定义域与值域即可；（2）根据对数恒等式化简方程得关于的一元二次方程，解方程得实数的值，检验的值使得有意义即可．【详解】（1）由题意得，所以，所以，由得或，则的定义域为，因为，所以的值域为．（2）由得：所以，则方程的解为或4，经检验或4，符合定义域为，所以或4.12．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是定义在上的奇函数，.(1)求的值及的定义域；(2)若，求的取值范围；(3)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用求得，，再用奇偶性定义检验，代入即可求出函数的定义域；（2）利用（1）已得，代入不等式，利用对数函数的单调性即可求出的取值范围；（3）将函数的解析式化简整理成，令，故，令，判断其单调性得，即得，从而有，利用对数函数单调性即得的取值范围.【详解】（1）为上的奇函数，故解得，又，解得，当，时，，由可得：是奇函数.此时，由，得，故的定义域为.（2）由可得，，故，即，故的取值范围是.（3）由的解析式可知，故，令，故，令，不妨设，则，故，所以在上单调递增，故，，故，解得.即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性确定函数解析式以及恒成立问题，属于较难题.解题的关键在于根据函数奇偶性，取特值代入确定参数值后必须利用奇偶性定义进行检验；对于恒成立问题，一般是将待求参数分离到不等式的一边，将问题转化成求另一边函数的值域来解决.期末综合拓展练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选：D2．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；法二：根据数形结合解出.【详解】法一：设，所以令，则，此时，A有可能；令，则，此时，C有可能；令，则，此时，D有可能；故选：B．法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B．3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C．