专题指对幂函数的图像与性质（期末复习讲义10大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教A版

专题07指对幂函数的图像与性质（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律6.1指数幂的运算与化简能熟练运用分数指数幂、负指数幂的运算法则进行化简计算。计算能力的基础考查。6.2对数的定义与运算性质（积、商、幂、换底公式）能进行对数式与指数式的互化，并能运用运算性质化简求值。高频计算题，公式记忆和运用是易错点。6.3指数函数与对数函数的图象与性质（定点、单调性）能根据底数a>1或0<a<1判断函数图象和单调性。所有比较大小、解不等式问题的基础。6.4利用指数/对数函数单调性比较大小能将幂值、对数值化归到同一函数，利用单调性比较。高频考点，常需引入中间量0或1。6.5简单的指数/对数不等式求解能利用单调性（注意底数决定不等号方向）解简单不等式。易错点在底数在(0,1)时不等号要反向。6.6幂函数的图象与性质（定义域、奇偶性、单调性、过定点）能掌握5类等常见幂函数的性质。常与指数、对数函数放在一起比较。6.7不同函数增长差异的比较能在图象上识别直线上升、指数爆炸、对数增长的区别。新教材素养题，考查直观想象6.8指数型/对数型复合函数的单调性能判断指对复合函数的单调性，掌握“同增异减”法则。中档难点。易错点是忽略内层函数f(x)本身的定义域及其单调性对整体的影响。6.9指数型/对数型复合函数的值域能通过换元法，将复合函数转化为二次函数等基本函数在特定区间上求值域。中档难点。易错点是在换元后，未能准确求出新元（内层函数f(x)）的取值范围（即新函数的定义域）知识点01根式的概念及性质（1）概念：式子na叫做______，这里n叫做根指数，a（2）①______没有偶次方根．②0的任何次方根都是0，记作n0=③(na)n=______④nan=a（n⑤nan=a=知识点02分数的指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn=（a>0,m,n∈负分数指数幂规定：a-mn=1性质0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂知识点03实数指数幂的运算性质（1）aras=（2）ars=.（3）abr=. 知识点04指数函数的一般形式9．一般地，函数（a>0,a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.知识点05指数函数的图象及性质a>10<a<1图象性质定义域R值域0,+过定点过点，即x=时，y=函数值的变化当x>0时，当x<0时，当x>0时，当x<0时，单调性是R上的是R上的知识点06解指数不等式（1）指数不等式的类型为afx>①当a>1时，；②当0<a<1时，．（2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．知识点07比较指数幂大小的方法（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用来判断；（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用来判断；（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断．知识点08对数的定义如果ab=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作，这里，a叫作对数的，N叫作对数的

知识点09常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记作，以无理数e=2.71828⋯为底数的对数称为自然对数，并且把知识点10对数的基本性质及对数恒等式性质1和没有对数性质21的对数是，即loga1=性质3底数的对数是即logaa=对数恒等式：alogaN=知识点11对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：（1）logaMN（2）logaM（3）logaM推广：loga，，知识点12换底公式换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。知识点13对数函数的一般形式及定义域一般地，函数叫作对数函数，其中是自变量，x的范围是对数函数的定义域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数;若自变量在底数上，应保证底数知识点14对数函数的图象及性质a>10<a<1图象性质定义域0,+值域R过定点过定点，即x=1时，y=0函数值的变化当0<x<1时，当x>1时，当0<x<1时，当x>1时，单调性是0,+∞上的是0,+∞上的知识点15解对数不等式（1）形如logafx>logagx的不等式，借助函数y=（2）形如logafx>b的不等式，应将b化为（3）形如logafx>（4）形如flogax>0的不等式，可用，先解ft>0，得到t知识点16幂函数的定义及一般形式一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点17幂函数的图象和性质（1）常见的五种幂函数的图象

（2）幂函数的性质①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点②如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞③如果α<0，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近（3）常见的五种幂函数的性质解析式y=xy=y=y=y=图象定义域值域奇偶性单调性定点1,1知识点18幂函数的奇偶性题型一指数与对数的运算【典例1】（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（

）A． B． C．1 D．【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期末）（多选）已知，，则下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值(1)；(2)．【典例4】（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式：(1)；(2)．【变式1】（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则（

）A．10 B．100 C．1000 D．10000【变式3】（24-25高一下·四川成都·期末）设，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【变式4】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算：(1)；(2)；(3)若，求的值.题型二指数函数的图象及其应用解｜题｜技｜巧（1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。（2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。（3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。【典例1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（

）A． B．C． D．【变式2】（25-26高一上·江西赣州·月考）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【变式3】（24-25高一上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．题型三指数（型）函数的单调性解｜题｜技｜巧（1）当底数大于1时，指数函数单调递增；底数大于0小于1时，单调递减。（2）对于指数型复合函数，依据“同增异减”原则判断单调性。（3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。【典例1】（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数【典例3】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（

）A．在上单调递增且值域为B．在上单调递减且值域为C．在上单调递增且值域为D．在上单调递减且值域为【变式3】（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·吉林·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四指数（型）函数的值域与最值解｜题｜技｜巧（1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。（2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。（3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于0。【典例1】（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2.(1)求实数的值；(2)求不等式的解集.【变式1】（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若在上的最大值为0，求的值．题型五对数函数的图象与性质【典例1】（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【典例3】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式3】（25-26高一上·贵州·期末）若函数，则的大致图象可能为（

）A． B．C． D．【变式4】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．题型六对数（型）函数的单调性解｜题｜技｜巧看底数。对于复合函数，用“同增异减”的原则，把函数拆成外层对数函数和内层函数，分别判断它们的单调性，再综合起来看。（3）函数里有参数时，讨论参数对底数范围的影响，确定不同参数情况下函数的单调区间。【典例1】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的单调递减区间为（

）．A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·福建南平·期末）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数【变式2】（24-25高一上·河南周口·期末）若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．40．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七指对数函数中奇偶性的应用【典例1】（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一下·贵州毕节·期末）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上单调递增 D．在和上单调递减【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）已知是奇函数，则（

）A． B．在上单调递增C．的值域为 D．的解集为【变式2】（2024·重庆·模拟预测）（多选）函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【变式3】（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数，.下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．C．，使得D．，都有【变式4】（24-25高一下·山西运城·月考）（多选）已知函数，则（

）A．函数为偶函数B．函数的增区间为，减区间为C．函数的值域为D．若，则实数的取值范围为题型八指对数函数值的大小比较【典例1】（24-25高一上·河北邯郸·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山东泰安·期末）设，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【典例4】（24-25高一上·河南驻马店·期末）记，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【典例5】（24-25高一上·广东茂名·期末）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知，，则下列判断错误的是（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4】（23-24高一上·重庆·期末）已知，则以下关于的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式5】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【变式6】（24-25高一上·福建泉州·期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式7】（24-25高一上·山东聊城·期末）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．【变式8】（24-25高一上·福建莆田·期末）（多选）下列大小关系中正确的是（

）A． B．C． D．题型九幂函数的图象【典例1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）幂函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）（多选）已知幂函数，则下列说法正确的有（

）A．或3 B．一定为奇函数C．一定为减函数 D．必过点【变式3】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（

）A．函数为偶函数 B．若，则C． D．题型十幂函数的单调性与奇偶性【典例1】（24-25高一上·辽宁·期末）若幂函数是偶函数，则（

）A．-2 B．3 C．1 D．1或3【典例2】（24-25高一上·广东·期末）若幂函数在上是单调递增的，则（

）A． B．C．在上是单调递增函数 D．是偶函数【典例3】（25-26高一上·河北张家口·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．的图象过点C．是单调函数 D．无最值【变式1】（24-25高一上·宁夏石嘴山·月考）（多选）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（

）A． B．为偶函数C．为单调递增函数 D．的值域为【变式2】（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的取值为（

）A． B． C．或 D．【变式3】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（

）A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断期末基础通关练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·海南·期末）幂函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数3．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则（

）A．10 B．100 C．1000 D．100006．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．7．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知，则（

）A． B．C． D．二、多选题8．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知点在幂函数的图象上，则（

）A．偶函数 B．奇函数C．在上单调递减 D．在上单调递增9．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，，且，则（

）A． B．C． D．三、解答题10．（25-26高一上·贵州·期末）（1）已知，求的值；（2）计算的值.11．（24-25高一上·全国·周测）已知函数．(1)求函数的解析式；(2)解方程．12．（24-25高一上·广东·期末）计算以下的值：(1)；(2)；(3)化简：已知，求.期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·四川成都·期末）设，，，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，记，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·河南焦作·期末）已知幂函数的图象分别经过两点，则（

）A． B． C． D．二、多选题6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（

）A．不等式解集为B．的图图像关于轴对称C．是上的递增函数D．的值域为7．（24-25高一下·云南昆明·期中）若实数、满足，，则（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则（

）A． B．C． D．三、解答题9．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)已知函数，，求的值域.10．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点．(1)求函数的解析式；(2)求函数的值域；(3)若成立，求x的取值范围．11．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点．(1)求函数的值，并求的定义域和值域；(2)若，求实数的值．12．（24-25高一